Un papel pintado es un objeto matemático que cubre todo un plano euclidiano repitiendo un motivo indefinidamente, de manera que determinadas isometrías mantienen inalterado el dibujo . A cada fondo de pantalla le corresponde un grupo de transformaciones congruentes , siendo la composición de funciones la operación grupal. Por lo tanto, un grupo de papel tapiz (o grupo de simetría plana o grupo cristalográfico plano ) es una clasificación matemática de un patrón repetitivo bidimensional , basada en las simetrías del patrón. Estos patrones aparecen con frecuencia en la arquitectura y el arte decorativo , especialmente en textiles , teselados , azulejos y papel pintado físico .
Cualquier mosaico periódico puede verse como un fondo de pantalla. Más concretamente, podemos considerar como papel pintado un revestimiento de azulejos idénticos de borde a borde, necesariamente periódico, y concebir a partir de él un papel pintado decorando de la misma manera todos los elementos del mosaico, y eventualmente borrar parcial o totalmente los límites entre estos azulejos. . Por el contrario, a partir de cada papel pintado podemos construir un mosaico de este tipo mediante azulejos idénticos de borde a borde, que llevan cada uno adornos idénticos, no siendo necesariamente visibles los contornos idénticos de estos azulejos en el papel pintado original. Estos límites repetidos delinean una superficie repetitiva agregada aquí con líneas discontinuas.
Estos pseudo mosaicos conectados a un papel pintado determinado son infinitos. Por ejemplo, la imagen 1 muestra dos modelos de cuadrados repetitivos en dos posiciones diferentes, que tienen otro cuadrado repetitivo . Podríamos concebir indefinidamente dichos cuadrados repetitivos cada vez más grandes. Infinidad de formas de zonas repetitivas son posibles para este mosaico pitagórico , en infinidad de posiciones en este papel pintado. Por ejemplo, en rojo en la esquina inferior derecha de la imagen 1, podríamos deslizar su paralelogramo repetitivo en una u otra posición. En común con las dos primeras imágenes: un cuadrado repetitivo concéntrico con cada pequeño mosaico cuadrado, siendo su centro común un punto de simetría del papel tapiz.
Entre mosaicos idénticos de borde a borde, un borde no es necesariamente un segmento de una línea recta. En la esquina superior izquierda de la imagen 3, el punto C es un vértice de un pseudorombo repetitivo con rayas gruesas en toda su superficie, llamado pseudorombo debido a un rombo concéntrico repetitivo construido a partir de él quitando un poco de superficie. en algún lugar para agregarlo en otro lugar y mantener el área sin cambios. Mediante el mismo proceso en la imagen 4, se construye un hexágono regular repetitivo lleno de franjas verticales a partir de una zona repetitiva rómbica . Por el contrario, a partir de mosaicos geométricos elementales de borde a borde, un artista como M. C. Escher creó superficies atractivas repetidas muchas veces. En la imagen 2, el área mínima de una superficie repetitiva sin tener en cuenta los colores, cada zona repetitiva en líneas discontinuas consta de cinco piezas en una disposición determinada, para ser un cuadrado o un hexágono , como en una prueba del teorema de Pitágoras .
En el presente artículo, un patrón es un paralelogramo repetitivo de área mínima en una posición determinada del papel tapiz. La imagen 1 muestra dos patrones en forma de paralelogramo (un cuadrado es un paralelogramo particular). La imagen 3 muestra patrones rómbicos (un rombo es un paralelogramo particular).
En esta página, todos los patrones repetitivos (de área mínima) se construyen a partir de dos traslaciones que generan el grupo de todas las traslaciones bajo las cuales el fondo de pantalla es invariante . Con el símbolo en forma de círculo ⵔ de composición de funciones , un par como o genera el grupo de todas las traslaciones que transforman el mosaico pitagórico en sí mismo.
Un papel pintado permanece en su conjunto inalterado bajo ciertas isometrías , empezando por ciertas traslaciones que confieren al papel pintado un carácter repetitivo. Una de las razones por las que ciertas traducciones no cambian es que cubre todo el avión. ¡Ningún objeto matemático en nuestra mente está pegado a una pared inmóvil! Por el contrario, un observador o su ojo está inmóvil frente a una transformación , que se desliza o gira o voltea un papel tapiz, eventualmente podría distorsionarlo, pero eso estaría fuera de nuestro tema.
Si una isometría deja sin cambios un fondo de pantalla determinado, entonces la isometría inversa también lo mantiene sin cambios, como la traslación en las imágenes 1, 3 o 4, o una rotación de ± 120° alrededor de un punto como S en las imágenes 3 o 4. Si tienen ambas cosas, propiedad de dejar inalterado un papel tapiz, dos isometrías compuestas en uno u otro orden tienen entonces esta misma propiedad de dejar inalterado el papel tapiz. Para ser exhaustivos sobre los conceptos de grupo y subgrupos bajo la composición de funciones, representada por el símbolo en forma de círculo ⵔ, aquí hay una perogrullada tradicional en matemáticas: todo permanece en sí mismo bajo la transformación de identidad . Esta función de identidad se puede llamar traslación de vector cero o rotación de 360°.
Un deslizamiento puede ser representado por una o varias flechas si son paralelas y de la misma longitud y el mismo sentido, de la misma manera un papel tapiz puede ser representado por unos pocos patrones o por un solo patrón , considerado como un pseudo mosaico imaginado repetido de borde a borde. ‑borde con un número infinito de réplicas. La imagen 3 muestra dos patrones con dos contenidos diferentes, y el de líneas discontinuas oscuras o una de sus imágenes debajo representa el mismo fondo de pantalla en la siguiente imagen 4, sin tener en cuenta los colores. Ciertamente un color se percibe subjetivamente mientras que un papel pintado es un objeto ideal, sin embargo cualquier color puede verse como una etiqueta que caracteriza determinadas superficies, podríamos pensar en un código de color hexadecimal como una etiqueta específica de determinadas zonas. Cabe añadir que un teorema muy conocido trata de los colores.
Los grupos se registran en el catálogo examinando las propiedades de un paralelogramo, de borde a borde con sus réplicas. Por ejemplo, sus diagonales se cruzan en sus puntos medios comunes, el centro y el punto de simetría de cualquier paralelogramo, no necesariamente el punto de simetría de su contenido. Otro ejemplo, el punto medio de un lado completo compartido por dos patrones es el centro de un nuevo paralelogramo repetitivo formado por los dos juntos, centro que no es necesariamente el punto de simetría del contenido de este doble paralelogramo. Otro posible punto de simetría, dos patrones simétricos entre sí con respecto a su vértice común, forman juntos una nueva superficie repetitiva, cuyo centro no es necesariamente el punto de simetría de su contenido.
Ciertas simetrías rotacionales sólo son posibles para determinadas formas de patrón. Por ejemplo, en la imagen 2, un mosaico pitagórico a veces se llama mosaicos de molinete debido a su simetría rotacional de 90 grados alrededor del centro de un mosaico, ya sea pequeño o grande, o alrededor del centro de cualquier réplica de mosaico, por supuesto. Además, cuando dos triángulos equiláteros forman de borde a borde un patrón rómbico, como en la imagen 4 o 5 ( futura imagen 5 ), se obtiene una simetría rotacional de 120 grados alrededor de un vértice de un ángulo de 120°, formado por dos lados del patrón. No siempre es un punto de simetría del contenido del hexágono regular formado por tres patrones que comparten un vértice, porque no siempre contiene el mismo motivo.
El grupo de papel tapiz más simple, Grupo p 1, se aplica cuando no hay más simetría que el hecho de que un patrón se repite en intervalos regulares en dos dimensiones, como se muestra en la sección en p1 a continuación.
Los siguientes ejemplos son patrones con más formas de simetría:
Los ejemplos A y B tienen el mismo grupo de fondos de pantalla; se llama p4m en la notación IUCr y *442 en la notación orbifold . El ejemplo C tiene un grupo de fondos de pantalla diferente, llamado p4g o 4*2. El hecho de que A y B tengan el mismo grupo de papel tapiz significa que tienen las mismas simetrías, independientemente de los detalles de los diseños, mientras que C tiene un conjunto diferente de simetrías a pesar de cualquier similitud superficial.
El número de grupos de simetría depende del número de dimensiones de los patrones. Los grupos de papel tapiz se aplican al caso bidimensional, de complejidad intermedia entre los grupos de frisos más simples y los grupos espaciales tridimensionales . Diferencias sutiles pueden ubicar patrones similares en diferentes grupos, mientras que patrones que son muy diferentes en estilo, color, escala u orientación pueden pertenecer al mismo grupo.
La prueba de que sólo existen 17 grupos distintos de tales simetrías planas fue realizada por primera vez por Evgraf Fedorov en 1891 [1] y luego obtenida de forma independiente por George Pólya en 1924. [2] La prueba de que la lista de grupos de papel tapiz está completa sólo llegó después de que se hubiera resuelto el caso mucho más difícil de los grupos espaciales. Los diecisiete grupos de fondos de pantalla posibles se enumeran a continuación en el § Los diecisiete grupos.
La simetría de un patrón es, en términos generales, una forma de transformar el patrón para que luzca exactamente igual después de la transformación. Por ejemplo, la simetría traslacional está presente cuando el patrón se puede trasladar (en otras palabras, desplazar) una distancia finita y aparecer sin cambios. Piense en desplazar un conjunto de franjas verticales horizontalmente una franja. El patrón no ha cambiado. Estrictamente hablando, una verdadera simetría sólo existe en patrones que se repiten exactamente y continúan indefinidamente. Un conjunto de, digamos, sólo cinco franjas no tiene simetría traslacional: cuando se desplaza, la franja de un extremo "desaparece" y se "agrega" una nueva franja en el otro extremo. Sin embargo, en la práctica la clasificación se aplica a patrones finitos y las pequeñas imperfecciones pueden ignorarse.
Los tipos de transformaciones que aquí son relevantes se denominan isometrías del plano euclidiano . Por ejemplo:
Sin embargo, el ejemplo C es diferente . Sólo tiene reflejos en direcciones horizontales y verticales, no en ejes diagonales. Si uno cruza una línea diagonal, no obtiene el mismo patrón, sino que el patrón original se desplazó una cierta distancia. Esto es parte de la razón por la que el grupo de fondos de pantalla de A y B es diferente del grupo de fondos de pantalla de C.
Otra transformación es "Glide", una combinación de reflexión y traslación paralela a la línea de reflexión.
Matemáticamente, un grupo de papel tapiz o grupo cristalográfico plano es un tipo de grupo topológicamente discreto de isometrías del plano euclidiano que contiene dos traslaciones linealmente independientes .
Dos de estos grupos de isometría son del mismo tipo (del mismo grupo de papel tapiz) si son iguales hasta una transformación afín del plano . Así, por ejemplo, una traslación del plano (y por tanto una traslación de los espejos y centros de rotación) no afecta al grupo de papel pintado. Lo mismo se aplica a un cambio de ángulo entre vectores de traslación, siempre que no agregue ni elimine ninguna simetría (este es solo el caso si no hay espejos ni reflejos de deslizamiento , y la simetría rotacional es como máximo de orden 2).
A diferencia del caso tridimensional , se pueden restringir de manera equivalente las transformaciones afines a aquellas que preservan la orientación .
Del teorema de Bieberbach se deduce que todos los grupos de papel tapiz son diferentes incluso como grupos abstractos (a diferencia de, por ejemplo, los grupos de frisos , de los cuales dos son isomorfos con Z ).
Los patrones 2D con simetría de doble traslación se pueden clasificar según su tipo de grupo de simetría .
Las isometrías del plano euclidiano se dividen en cuatro categorías (consulte el artículo Isometría del plano euclidiano para obtener más información).
La condición de traslaciones linealmente independientes significa que existen vectores linealmente independientes v y w (en R 2 ) tales que el grupo contiene tanto T v como T w .
El propósito de esta condición es distinguir los grupos de papel tapiz de los grupos de frisos , que poseen una traslación pero no dos linealmente independientes, y de los grupos de puntos discretos bidimensionales , que no tienen ninguna traslación. En otras palabras, los grupos de papel tapiz representan patrones que se repiten en dos direcciones distintas, en contraste con los grupos de frisos, que solo se repiten a lo largo de un eje.
(Es posible generalizar esta situación. Se podrían, por ejemplo, estudiar grupos discretos de isometrías de R n con m traducciones linealmente independientes, donde m es cualquier número entero en el rango 0 ≤ m ≤ n .)
La condición de discreción significa que hay algún número real positivo ε, tal que para cada traslación T v en el grupo, el vector v tiene una longitud de al menos ε (excepto, por supuesto, en el caso de que v sea el vector cero, pero las traslaciones independientes condición impide esto, ya que cualquier conjunto que contenga el vector cero es linealmente dependiente por definición y, por lo tanto, no está permitido).
El propósito de esta condición es asegurar que el grupo tenga un dominio fundamental compacto, o en otras palabras, una "celda" de área finita distinta de cero, que se repite a lo largo del plano. Sin esta condición, se podría tener, por ejemplo, un grupo que contenga la traducción T x para cada número racional x , que no correspondería a ningún patrón de papel tapiz razonable.
Una consecuencia importante y no trivial de la condición de discreción en combinación con la condición de traslaciones independientes es que el grupo sólo puede contener rotaciones de orden 2, 3, 4 o 6; es decir, cada rotación en el grupo debe ser una rotación de 180°, 120°, 90° o 60°. Este hecho se conoce como teorema de restricción cristalográfica , [3] y puede generalizarse a casos de dimensiones superiores.
La cristalografía tiene 230 grupos espaciales para distinguir, muchos más que los 17 grupos de papel tapiz, pero muchas de las simetrías en los grupos son las mismas. Por tanto, se puede utilizar una notación similar para ambos tipos de grupos, la de Carl Hermann y la de Charles-Victor Mauguin . Un ejemplo de nombre de fondo de pantalla completo en estilo Hermann-Mauguin (también llamado notación IUCr ) es p31m, con cuatro letras o dígitos; lo más habitual es un nombre abreviado como cmm o pg.
Para los grupos de papel tapiz, la notación completa comienza con p o c , para una celda primitiva o una celda centrada en la cara ; estos se explican a continuación. A esto le sigue un dígito, n , que indica el orden más alto de simetría rotacional: 1 vez (ninguno), 2 veces, 3 veces, 4 veces o 6 veces. Los dos símbolos siguientes indican simetrías relativas a un eje de traslación del patrón, denominado "principal"; si hay un espejo perpendicular a un eje de traslación ese es el principal (o si hay dos, uno de ellos). Los símbolos son m , g o 1 , para espejo, reflejo deslizante o ninguno. El eje del espejo o reflejo deslizante es perpendicular al eje principal para la primera letra y paralelo o inclinado 180°/ n (cuando n > 2) para la segunda letra. Muchos grupos incluyen otras simetrías implícitas en las dadas. La notación corta elimina dígitos o una m que se puede deducir, siempre que eso no deje confusión con otro grupo.
Una celda primitiva es una región mínima repetida por traslaciones reticulares. Todos los grupos de simetría del papel tapiz, excepto dos, se describen con respecto a los ejes de celda primitivos, una base de coordenadas que utiliza los vectores de traducción de la red. En los dos casos restantes, la descripción de la simetría es con respecto a celdas centradas que son más grandes que la celda primitiva y, por lo tanto, tienen repetición interna; las direcciones de sus lados son diferentes de las de los vectores de traducción que abarcan una celda primitiva. La notación de Hermann-Mauguin para grupos espaciales cristalinos utiliza tipos de células adicionales.
Aquí están todos los nombres que se diferencian en notación corta y completa.
Los nombres restantes son p1 , p2 , p3 , p3m1 , p31m , p4 y p6 .
La notación Orbifold para grupos de papel tapiz, defendida por John Horton Conway (Conway, 1992) (Conway 2008), no se basa en cristalografía, sino en topología. Uno puede plegar el mosaico periódico infinito del plano en su esencia, un orbifold , y luego describirlo con algunos símbolos.
El grupo indicado en notación cristalográfica por cmm será, en la notación de Conway, 2*22 . El 2 antes del * dice que hay un centro de rotación doble sin espejo a través de él. El * mismo dice que hay un espejo. Los primeros 2 después del * dicen que hay un centro de rotación doble en un espejo. Los 2 finales dicen que hay un segundo centro de rotación doble independiente en un espejo, uno que no es un duplicado del primero bajo simetrías.
El grupo indicado por pgg será 22× . Hay dos centros de rotación puramente dobles y un eje de reflexión deslizante. Compare esto con pmg, Conway 22* , donde la notación cristalográfica menciona un deslizamiento, pero que está implícito en las otras simetrías del orbifold.
También se incluye la notación entre corchetes de Coxeter , basada en grupos reflexivos de Coxeter , y modificada con superíndices más que representan rotaciones, rotaciones impropias y traslaciones.
Un orbifold puede verse como un polígono con cara, aristas y vértices que se pueden desplegar para formar un conjunto posiblemente infinito de polígonos que forman la esfera , el plano o el plano hiperbólico . Cuando coloca el plano en mosaico, obtendrá un grupo de papel tapiz y cuando coloca en mosaico la esfera o el plano hiperbólico, obtendrá un grupo de simetría esférica o un grupo de simetría hiperbólica . El tipo de espacio del mosaico de polígonos se puede encontrar calculando la característica de Euler , χ = V − E + F , donde V es el número de esquinas (vértices), E es el número de aristas y F es el número de caras. Si la característica de Euler es positiva, entonces el orbifold tiene una estructura elíptica (esférica); si es cero, entonces tiene una estructura parabólica, es decir, un grupo de papel tapiz; y si es negativo tendrá estructura hiperbólica. Cuando se enumera el conjunto completo de posibles orbifolds, se encuentra que solo 17 tienen la característica de Euler 0.
Cuando un orbifold se replica por simetría para llenar el plano, sus características crean una estructura de vértices, aristas y caras poligonales, que deben ser consistentes con la característica de Euler. Al invertir el proceso, se pueden asignar números a las características del orbifold, pero fracciones, en lugar de números enteros. Debido a que el orbifold en sí es un cociente de la superficie completa por el grupo de simetría, la característica de Euler orbifold es un cociente de la característica de Euler de superficie por el orden del grupo de simetría.
La característica orbifold de Euler es 2 menos la suma de los valores de las características, asignados de la siguiente manera:
Para un grupo de papel tapiz, la suma de la característica debe ser cero; por lo tanto, la suma de características debe ser 2.
Ahora la enumeración de todos los grupos de fondos de pantalla se convierte en una cuestión de aritmética, de enumerar todas las cadenas de características con valores que suman 2.
Las cadenas de características con otras sumas no son una tontería; implican mosaicos no planos, no discutidos aquí. (Cuando la característica orbifold de Euler es negativa, el mosaico es hiperbólico ; cuando es positivo, esférico o malo ).
Para saber qué grupo de papeles pintados corresponde a un diseño determinado, se puede utilizar la siguiente tabla. [4]
Vea también esta descripción general con diagramas.
Cada uno de los grupos de esta sección tiene dos diagramas de estructura celular, que deben interpretarse de la siguiente manera (lo importante es la forma, no el color):
En los diagramas del lado derecho, las diferentes clases de equivalencia de elementos de simetría están coloreadas (y rotadas) de manera diferente.
El área marrón o amarilla indica un dominio fundamental , es decir, la parte más pequeña del patrón que se repite.
Los diagramas de la derecha muestran la celda de la red correspondiente a las traslaciones más pequeñas; los de la izquierda a veces muestran un área más grande.
Las dos traslaciones (lados de la celda) pueden tener longitudes diferentes y formar cualquier ángulo.
(Los primeros tres tienen un eje de simetría vertical y los dos últimos tienen cada uno un eje diagonal diferente).
![Uno de los colores del mosaico cuadrado chato; las líneas de reflexión del deslizamiento están en la dirección superior izquierda/inferior derecha; ignorando los colores hay mucha más simetría que solo pg, entonces es p4g (ver allí esta imagen con triángulos del mismo color)[5]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Tile_33434.svg/1280px-Tile_33434.svg.png)
Sin los detalles dentro de las bandas en zigzag el tapete está pmg; con los detalles pero sin la distinción entre marrón y negro es pgg.
Haciendo caso omiso de los bordes ondulados de las baldosas, el pavimento queda pgg.
La simetría rotacional de orden 2 con centros de rotación en los centros de los lados del rombo es consecuencia de las otras propiedades.
El patrón corresponde a cada uno de los siguientes:
Un patrón p 4 puede considerarse como una repetición en filas y columnas de mosaicos cuadrados iguales con simetría rotacional cuádruple. También se puede considerar como un patrón de tablero de ajedrez de dos de esos mosaicos, un factor √ 2 más pequeño y girados 45°.
Esto corresponde a una cuadrícula sencilla de filas y columnas de cuadrados iguales con los cuatro ejes de reflexión. También corresponde a un patrón de tablero de ajedrez de dos de estos cuadrados.
Ejemplos mostrados con las traslaciones más pequeñas horizontal y vertical (como en el diagrama):
Ejemplos mostrados con la diagonal de traducción más pequeña:
Un patrón p 4 g puede considerarse como un patrón de tablero de ajedrez de copias de una baldosa cuadrada con simetría rotacional cuádruple y su imagen especular. Alternativamente, se puede considerar (desplazando media baldosa) como un patrón de tablero de ajedrez de copias de una baldosa simétrica horizontal y verticalmente y su versión girada 90°. Tenga en cuenta que ninguno de los dos se aplica a un patrón de tablero de ajedrez simple de mosaicos blancos y negros; este es el grupo p4m (con celdas de traslación diagonales).
Imaginemos un mosaico del plano con triángulos equiláteros de igual tamaño, cuyos lados corresponden a las traslaciones más pequeñas. Luego, la mitad de los triángulos están en una orientación y la otra mitad al revés. Este grupo de papel tapiz corresponde al caso en que todos los triángulos de la misma orientación son iguales, mientras que ambos tipos tienen simetría rotacional de orden tres, pero los dos no son iguales, no son imagen especular entre sí, y no ambos son simétricos (si los dos son iguales es p 6 , si son la imagen especular del otro es p 31 m , si ambos son simétricos es p 3 m 1 ; si dos de los tres se aplican entonces el tercero también, y es p 6 m ). Para una imagen determinada son posibles tres de estos mosaicos, cada uno con centros de rotación como vértices, es decir, para cualquier mosaico son posibles dos desplazamientos. En términos de la imagen: los vértices pueden ser los triángulos rojo, azul o verde.
De manera equivalente, imagine un mosaico del plano con hexágonos regulares, con lados iguales a la distancia de traslación más pequeña dividida por √ 3 . Entonces este grupo de papel tapiz corresponde al caso de que todos los hexágonos son iguales (y en la misma orientación) y tienen simetría rotacional de orden tres, mientras que no tienen simetría de imagen especular (si tienen simetría rotacional de orden seis es p 6 , si son simétricas con respecto a las diagonales principales es p 31 m , si son simétricas con respecto a las rectas perpendiculares a los lados es p 3 m 1 ; si se aplican dos de las tres entonces la tercera también es p 6 m ). Para una imagen determinada, son posibles tres de estos mosaicos, cada uno con un tercio de los centros de rotación como centros de los hexágonos. En términos de la imagen: los centros de los hexágonos pueden ser los triángulos rojos, azules o verdes.
Como para p3 , imagina una teselación del plano con triángulos equiláteros de igual tamaño, con los lados correspondientes a las traslaciones más pequeñas. Luego, la mitad de los triángulos están en una orientación y la otra mitad al revés. Este grupo de papel tapiz corresponde al caso en el que todos los triángulos de la misma orientación son iguales, mientras que ambos tipos tienen simetría rotacional de orden tres, y ambos son simétricos, pero los dos no son iguales, y no son una imagen especular del otro. Para una imagen determinada, son posibles tres de estos teselados, cada uno con centros de rotación como vértices. En términos de la imagen: los vértices pueden ser los triángulos rojo, azul o verde.
Al igual que para p 3 y p 3 m 1 , imagina un mosaico del plano con triángulos equiláteros de igual tamaño, con los lados correspondientes a las traslaciones más pequeñas. Luego, la mitad de los triángulos están en una orientación y la otra mitad al revés. Este grupo de papel tapiz corresponde al caso en el que todos los triángulos de la misma orientación son iguales, mientras que ambos tipos tienen simetría rotacional de orden tres y son imágenes especulares entre sí, pero no son simétricos ni iguales. Para una imagen determinada, sólo es posible una teselación de este tipo. En términos de la imagen: los vértices deben ser los triángulos rojos, no los triángulos azules.
Un patrón con esta simetría puede considerarse como un mosaico del plano con mosaicos triangulares iguales con simetría C 3 , o de manera equivalente, un mosaico del plano con mosaicos hexagonales iguales con simetría C 6 (con los bordes de los mosaicos no necesariamente separados). del patrón).
Un patrón con esta simetría puede considerarse como un mosaico del plano con mosaicos triangulares iguales con simetría D 3 , o de manera equivalente, un mosaico del plano con mosaicos hexagonales iguales con simetría D 6 (con los bordes de los mosaicos no necesariamente separados). del patrón). Así, los ejemplos más simples son una celosía triangular con o sin líneas de conexión, y un mosaico hexagonal con un color para delinear los hexágonos y otro para el fondo.
Existen cinco tipos de celosías o celosías de Bravais , correspondientes a los cinco posibles grupos de papel pintado de la propia celosía. El grupo de papel tapiz de un patrón con este entramado de simetría traslacional no puede tener más, pero puede tener menos simetría que el entramado mismo.
El grupo de simetría real debe distinguirse del grupo de papel tapiz. Los grupos de fondos de pantalla son colecciones de grupos de simetría. Hay 17 de estas colecciones, pero para cada colección hay infinitos grupos de simetría, en el sentido de grupos reales de isometrías. Estos dependen, además del grupo de papel tapiz, de una serie de parámetros para los vectores de traslación, la orientación y posición de los ejes de reflexión y los centros de rotación.
Los números de grados de libertad son:
Sin embargo, dentro de cada grupo de papel tapiz, todos los grupos de simetría son algebraicamente isomórficos.
Algunos isomorfismos de grupos de simetría:
Tenga en cuenta que cuando una transformación disminuye la simetría, una transformación del mismo tipo (la inversa) obviamente para algunos patrones aumenta la simetría. Una propiedad tan especial de un patrón (por ejemplo, la expansión en una dirección produce un patrón con simetría cuádruple) no se cuenta como una forma de simetría adicional.
El cambio de colores no afecta el grupo de fondos de pantalla si dos puntos que tienen el mismo color antes del cambio también tienen el mismo color después del cambio, y dos puntos cualesquiera que tienen colores diferentes antes del cambio también tienen colores diferentes después del cambio .
Si se aplica lo primero, pero no lo segundo, como cuando se convierte una imagen en color a una en blanco y negro, las simetrías se conservan, pero pueden aumentar, de modo que el grupo de fondos de pantalla puede cambiar.
Varias herramientas gráficas de software le permitirán crear patrones 2D utilizando grupos de simetría de papel tapiz. Generalmente puedes editar el mosaico original y sus copias en todo el patrón se actualizan automáticamente.
