Similitud (geometría)

Propiedad de objetos que son versiones escaladas o reflejadas entre sí.

Cifras similares

En la geometría euclidiana , dos objetos son similares si tienen la misma forma , o si uno tiene la misma forma que la imagen especular del otro. Más precisamente, uno se puede obtener del otro escalando uniformemente (aumentando o reduciendo), posiblemente con traslación , rotación y reflexión adicionales . Esto significa que cualquiera de los objetos se puede cambiar de escala, reposicionar y reflejar para que coincida precisamente con el otro objeto. Si dos objetos son similares, cada uno es congruente con el resultado de una escala uniforme particular del otro.

Por ejemplo, todos los círculos son similares entre sí, todos los cuadrados son similares entre sí y todos los triángulos equiláteros son similares entre sí. Por otro lado, no todas las elipses son similares entre sí, los rectángulos no son todos similares entre sí y los triángulos isósceles no son todos similares entre sí. Esto se debe a que dos elipses pueden tener diferentes proporciones de ancho a alto, dos rectángulos pueden tener diferentes proporciones de largo a ancho y dos triángulos isósceles pueden tener diferentes ángulos de base.

Las figuras que se muestran en el mismo color son similares.

Si dos ángulos de un triángulo tienen medidas iguales a las medidas de dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes. Los lados correspondientes de polígonos semejantes están en proporción y los ángulos correspondientes de polígonos semejantes tienen la misma medida.

Dos formas congruentes son similares, con un factor de escala de 1. Sin embargo, algunos libros de texto escolares excluyen específicamente los triángulos congruentes de su definición de triángulos similares al insistir en que los tamaños deben ser diferentes para que los triángulos califiquen como similares. ^{[ cita necesaria ]}

Triángulos semejantes

Dos triángulos, △ ABC y △ A'B'C' son similares si y solo si los ángulos correspondientes tienen la misma medida: esto implica que son similares si y solo si las longitudes de los lados correspondientes son proporcionales . ^[1] Se puede demostrar que dos triángulos que tienen ángulos congruentes ( triángulos equiangulares ) son similares, es decir, se puede demostrar que los lados correspondientes son proporcionales. Esto se conoce como teorema de similitud AAA. ^[2] Tenga en cuenta que la "AAA" es una mnemónica: cada una de las tres A se refiere a un "ángulo". Debido a este teorema, varios autores simplifican la definición de triángulos semejantes para exigir únicamente que los tres ángulos correspondientes sean congruentes. ^[3]

Hay varios criterios, cada uno de los cuales es necesario y suficiente para que dos triángulos sean similares:

• Dos pares cualesquiera de ángulos son congruentes, ^[4] lo que en geometría euclidiana implica que los tres ángulos son congruentes: ^[a]

Si ∠ BAC es igual en medida a ∠ B'A'C', y ∠ ABC es igual en medida a ∠ A'B'C', entonces esto implica que ∠ ACB es igual en medida a ∠ A'C'B' y los triángulos son semejantes.

• Todos los lados correspondientes son proporcionales: ^[5]

$${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {A'B'}}}={\frac {\overline {BC}}{\overline {B'C'}}}={\frac {\overline {AC}}{\overline {A'C'}}}.}$$

Esto equivale a decir que un triángulo (o su imagen especular) es una ampliación del otro.

• Dos pares de lados cualesquiera son proporcionales y los ángulos incluidos entre estos lados son congruentes: ^[6]

$${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {A'B'}}}={\frac {\overline {BC}}{\overline {B'C'}}},\quad \angle ABC\cong \angle A'B'C'.}$$

Esto se conoce como criterio de similitud SAS. ^[7] El "SAS" es un mnemónico: cada una de las dos S se refiere a un "lado"; la A se refiere a un "ángulo" entre los dos lados.

Simbólicamente, escribimos la similitud y disimilitud de dos triángulos △ ABC y △ A'B'C' de la siguiente manera: ^[8]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\triangle ABC&\sim \triangle A'B'C'\\\triangle ABC&\nsim \triangle A'B'C'\end{aligned}}}$$

Hay varios resultados elementales sobre triángulos semejantes en geometría euclidiana: ^[9]

• Dos triángulos equiláteros cualesquiera son semejantes.
• Dos triángulos, ambos semejantes a un tercer triángulo, son semejantes entre sí ( transitividad de semejanza de triángulos).
• Las altitudes correspondientes de triángulos semejantes tienen la misma razón que los lados correspondientes.
• Dos triángulos rectángulos son semejantes si la hipotenusa y otro lado tienen longitudes en la misma proporción. ^[10] Hay varias condiciones equivalentes en este caso, como que los triángulos rectángulos tengan un ángulo agudo de la misma medida, o que las longitudes de los catetos (lados) estén en la misma proporción.

Dado un triángulo △ ABC y un segmento DE se puede, con regla y compás , encontrar un punto F tal que △ ABC ~ △ DEF . La afirmación de que existe el punto F que satisface esta condición es el postulado de Wallis ^{[11] y es lógicamente equivalente al} postulado de las paralelas de Euclides . ^[12] En geometría hiperbólica (donde el postulado de Wallis es falso) los triángulos similares son congruentes.

En el tratamiento axiomático de la geometría euclidiana dado por George David Birkhoff (ver los axiomas de Birkhoff ), el criterio de similitud SAS dado anteriormente se utilizó para reemplazar tanto el postulado de las paralelas de Euclides como el axioma SAS que permitió el acortamiento dramático de los axiomas de Hilbert . ^[7]

Los triángulos similares proporcionan la base para muchas demostraciones sintéticas (sin el uso de coordenadas) en geometría euclidiana. Entre los resultados elementales que se pueden demostrar de esta manera se encuentran: el teorema de la bisectriz del ángulo , el teorema de la media geométrica , el teorema de Ceva , el teorema de Menelao y el teorema de Pitágoras . Los triángulos semejantes también proporcionan las bases de la trigonometría de triángulos rectángulos . ^[13]

Otros polígonos similares

Rectángulos similares

El concepto de similitud se extiende a polígonos de más de tres lados. Dados dos polígonos similares, los lados correspondientes tomados en la misma secuencia (incluso en el sentido de las agujas del reloj para un polígono y en sentido antihorario para el otro) son proporcionales y los ángulos correspondientes tomados en la misma secuencia tienen la misma medida. Sin embargo, la proporcionalidad de los lados correspondientes no es por sí sola suficiente para probar la similitud de polígonos más allá de los triángulos (de lo contrario, por ejemplo, todos los rombos serían similares). Asimismo, la igualdad de todos los ángulos en secuencia no es suficiente para garantizar la similitud (de lo contrario, todos los rectángulos serían similares). Una condición suficiente para la similitud de polígonos es que los lados y las diagonales correspondientes sean proporcionales.

Para n dado , todos los n -gons regulares son similares.

Curvas similares

Varios tipos de curvas tienen la propiedad de que todos los ejemplos de ese tipo son similares entre sí. Éstas incluyen:

• Rectas (dos rectas cualesquiera son pares congruentes )
• Segmentos de linea
• circulos
• Parábolas ^[14]
• Hipérbolas de una excentricidad específica ^[15]
• Elipses de una excentricidad específica ^[15]
• catenarias
• Gráficas de la función logaritmo para diferentes bases.
• Gráficas de la función exponencial para diferentes bases.
• Las espirales logarítmicas son autosemejantes

En el espacio euclidiano

Una similitud (también llamada transformación de similitud o similitud ) de un espacio euclidiano es una biyección f del espacio sobre sí mismo que multiplica todas las distancias por el mismo número real positivo r , de modo que para dos puntos cualesquiera x e y tenemos

${\displaystyle d(f(x),f(y))=r\,d(x,y),}$

donde d ( x , y ) es la distancia euclidiana de xay . ^[16] El escalar r tiene muchos nombres en la literatura, entre ellos; la relación de similitud , el factor de estiramiento y el coeficiente de similitud . Cuando r = 1 una similitud se llama isometría ( transformación rígida ). Dos conjuntos se llaman semejantes si uno es imagen del otro bajo una semejanza.

Como mapa , una similitud de la relación r toma la forma ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},}$

${\displaystyle f(x)=rAx+t,}$

donde es una matriz ortogonal n × n y es un vector de traslación. ${\displaystyle A\in O^{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{n}}$

Las similitudes preservan planos, rectas, perpendicularidad, paralelismo, puntos medios, desigualdades entre distancias y segmentos de recta. ^[17] Las similitudes preservan los ángulos pero no necesariamente preservan la orientación, las similitudes directas preservan la orientación y las similitudes opuestas la cambian. ^[18]

Las similitudes del espacio euclidiano forman un grupo bajo la operación de composición llamado grupo de similitudes S. ^[19] Las similitudes directas forman un subgrupo normal de S y el grupo euclidiano E ( n ) de isometrías también forma un subgrupo normal. ^[20] El grupo de similitudes S es en sí mismo un subgrupo del grupo afín , por lo que cada similitud es una transformación afín .

Se puede ver el plano euclidiano como el plano complejo , ^[b] es decir, como un espacio bidimensional sobre los reales . Las transformaciones de similitud 2D se pueden expresar en términos de aritmética compleja y están dadas por

• ${\displaystyle f(z)=az+b}$(similitudes directas), y
• ${\displaystyle f(z)=a{\overline {z}}+b}$(similitudes opuestas),

donde a y b son números complejos, a ≠ 0 . Cuando | a |= 1 , estas similitudes son isometrías.

Relación de área y relación de volumen

El teselado del triángulo grande muestra que es similar al triángulo pequeño con una relación de área de 5. La relación de similitud es Esto se puede utilizar para construir un mosaico infinito no periódico . ${\displaystyle {\tfrac {5}{h}}={\tfrac {h}{1}}={\sqrt {5}}.}$

La razón entre las áreas de figuras similares es igual al cuadrado de la razón de las longitudes correspondientes de esas figuras (por ejemplo, cuando el lado de un cuadrado o el radio de un círculo se multiplica por tres, su área se multiplica por nueve - es decir, por tres al cuadrado). Las alturas de triángulos semejantes están en la misma proporción que los lados correspondientes. Si un triángulo tiene un lado de longitud b y una altura dibujada hacia ese lado de longitud h , entonces un triángulo similar con un lado correspondiente de longitud kb tendrá una altura dibujada hacia ese lado de longitud kh . El área del primer triángulo es mientras que el área del triángulo semejante será ${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}bh,}$

$${\displaystyle A'={\frac {1}{2}}\cdot kb\cdot kh=k^{2}A.}$$

La razón entre los volúmenes de figuras similares es igual al cubo de la razón de las longitudes correspondientes de esas figuras (por ejemplo, cuando la arista de un cubo o el radio de una esfera se multiplica por tres, su volumen se multiplica por 27 - es decir, por tres al cubo).

La ley del cuadrado-cubo de Galileo se aplica a sólidos similares. Si la relación de similitud (relación de lados correspondientes) entre los sólidos es k , entonces la relación de áreas superficiales de los sólidos será k ² , mientras que la relación de volúmenes será k ³ .

Similitud con un centro.

Ejemplos de similitudes directas que tienen cada uno un centro .

Si una semejanza tiene exactamente un punto invariante : un punto que la semejanza mantiene sin cambios, entonces este único punto se llama " centro " de la semejanza.

En la primera imagen debajo del título, a la izquierda, una u otra similitud reduce un polígono regular a uno concéntrico , cuyos vértices están cada uno en un lado del polígono anterior. Esta reducción rotacional se repite , por lo que el polígono inicial se extiende hasta convertirse en un abismo de polígonos regulares. El centro de la similitud es el centro común de los polígonos sucesivos. Un segmento rojo une un vértice del polígono inicial a su imagen bajo la similitud, seguido de un segmento rojo que va a la siguiente imagen del vértice, y así sucesivamente hasta formar una espiral . En realidad podemos ver más de tres similitudes directas en esta primera imagen, porque todo polígono regular es invariante bajo ciertas similitudes directas, más precisamente ciertas rotaciones cuyo centro es el centro del polígono, y una composición de similitudes directas es también una semejanza. Por ejemplo, vemos la imagen del pentágono regular inicial bajo una homotecia de razón negativa –k , que es una similitud de ángulo de ±180° y una razón positiva igual a k .

Debajo del título a la derecha, la segunda imagen muestra una similitud descompuesta en una rotación y una homotecia. La similitud y la rotación tienen el mismo ángulo de +135 grados módulo 360 grados . La similitud y la homotecia tienen la misma razón de inverso multiplicativo de la razón ( raíz cuadrada de 2 ) de la similitud inversa . El punto S es el centro común de las tres transformaciones: rotación, homotecia y semejanza. Por ejemplo, el punto W es la imagen de F bajo la rotación y el punto T es la imagen de W bajo la homotecia, más brevemente ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}},}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

$${\displaystyle T=H(W)=(R(F))=(H\circ R)(F)=D(F),}$$

RHDD

Esta similitud directa que transforma el triángulo △ EFA en el triángulo △ ATB se puede descomponer en una rotación y una homotecia del mismo centro S de varias maneras. Por ejemplo, D = R ○ H = H ○ R , estando la última descomposición solo representada en la imagen. Para obtener D también podemos componer en cualquier orden una rotación de un ángulo de –45° y una homotecia de razón ${\displaystyle {\tfrac {-{\sqrt {2}}}{2}}.}$

Con " M " como "Espejo" y " I " como "Indirecto", si M es la reflexión con respecto a la recta CW , entonces M ○ D = I es la similitud indirecta que transforma el segmento BF como D en el segmento CT , pero transforma el punto E en B y el punto A en A mismo. El cuadrado ACBT es la imagen de ABEF bajo la semejanza I de la razón. El punto A es el centro de esta semejanza porque cualquier punto K siendo invariante bajo ella sólo cumple lo posible si AK = 0 , en caso contrario se escribe A = K. ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}.}$ ${\displaystyle AK={\tfrac {AK}{\sqrt {2}}},}$

¿Cómo construir el centro S de similitud directa D a partir del cuadrado ABEF , cómo encontrar el punto S centro de una rotación de ángulo de +135° que transforma el rayo SE → en el rayo SA → ? Este es un problema de ángulos inscritos más una cuestión de orientación . El conjunto de puntos P tales que PE → , PA → = +135° es un arco de círculo EA que une E y A , del cual los dos radios que conducen a E y A forman un ángulo central de 2(180° – 135° ) = 2 × 45° = 90° . Este conjunto de puntos es el cuarto azul del círculo de centro F dentro del cuadrado ABEF . De la misma manera, el punto S es miembro del cuarto azul del círculo de centro T dentro del cuadrado BCAT . Entonces el punto S es el punto de intersección de estos dos cuartos de círculo.

En espacios métricos generales.

Triángulo de Sierpiński . Un espacio que tiene una dimensión de autosemejanza que es aproximadamente 1,58. (De la dimensión de Hausdorff ). ${\displaystyle {\tfrac {\log 3}{\log 2}}=\log _{2}3,}$

En un espacio métrico general ( X , d ) , una similitud exacta es una función f del espacio métrico X hacia sí mismo que multiplica todas las distancias por el mismo escalar positivo r , llamado factor de contracción de f , de modo que para dos puntos cualesquiera x y tenemos​

$${\displaystyle d(f(x),f(y))=rd(x,y).}$$

Las versiones más débiles de similitud tendrían, por ejemplo, que f fuera una función bi- Lipschitz y el escalar r un límite

$${\displaystyle \lim {\frac {d(f(x),f(y))}{d(x,y)}}=r.}$$

Esta versión más débil se aplica cuando la métrica es una resistencia efectiva en un conjunto topológicamente autosimilar.

Un subconjunto autosemejante de un espacio métrico ( X , d ) es un conjunto K para el cual existe un conjunto finito de similitudes { f _s } _{s ∈ S} con factores de contracción 0 ≤ r _s < 1 tal que K es el compacto único subconjunto de X para el cual

Un conjunto autosemejante construido con dos similitudes: ${\displaystyle {\begin{aligned}z'&=0.1[(4+i)z+4]\\z'&=0.1[(4+7i)z^{*}+5-2i]\end{aligned}}}$

$${\displaystyle \bigcup _{s\in S}f_{s}(K)=K.}$$

Estos conjuntos autosemejantes tienen una medida autosemejante μ ^D con dimensión D dada por la fórmula

$${\displaystyle \sum _{s\in S}(r_{s})^{D}=1}$$

que a menudo (pero no siempre) es igual a la dimensión de Hausdorff y la dimensión de embalaje del conjunto . Si los solapamientos entre los f _s ( K ) son "pequeños", tenemos la siguiente fórmula simple para la medida:

$${\displaystyle \mu ^{D}(f_{s_{1}}\circ f_{s_{2}}\circ \cdots \circ f_{s_{n}}(K))=(r_{s_{1}}\cdot r_{s_{2}}\cdots r_{s_{n}})^{D}.\,}$$

Topología

En topología , se puede construir un espacio métrico definiendo una similitud en lugar de una distancia . La similitud es una función tal que su valor es mayor cuando dos puntos están más cerca (al contrario de la distancia, que es una medida de disimilitud : cuanto más cerca están los puntos, menor es la distancia).

La definición de similitud puede variar entre autores, dependiendo de las propiedades que se deseen. Las propiedades comunes básicas son

1. Positivo definido:

$${\displaystyle \forall (a,b),S(a,b)\geq 0}$$

1. Principalmente por la similitud de un elemento sobre sí mismo ( auto-similitud ):

$${\displaystyle S(a,b)\leq S(a,a)\quad {\text{and}}\quad \forall (a,b),S(a,b)=S(a,a)\Leftrightarrow a=b}$$

Se pueden invocar más propiedades, como por ejemplo:

• Reflectividad : o ${\displaystyle \forall (a,b)\ S(a,b)=S(b,a),}$
• Finitud : ${\displaystyle \forall (a,b)\ S(a,b)<\infty .}$

El valor superior suele fijarse en 1 (lo que crea la posibilidad de una interpretación probabilística de la similitud).

Tenga en cuenta que, en el sentido topológico utilizado aquí, una similitud es una especie de medida . Este uso no es lo mismo que la transformación de similitud de las secciones § En espacio euclidiano y § En espacios métricos generales de este artículo.

autosimilitud

Autosemejanza significa que un patrón es no trivialmente similar a sí mismo, por ejemplo, el conjunto {..., 0,5, 0,75, 1, 1,5, 2, 3, 4, 6, 8, 12, ...} de números. de la forma {2 ⁱ , 3·2 ⁱ } donde i abarca todos los números enteros. Cuando este conjunto se traza en una escala logarítmica, tiene simetría traslacional unidimensional : sumar o restar el logaritmo de dos al logaritmo de uno de estos números produce el logaritmo de otro de estos números. En el conjunto de números dado, esto corresponde a una transformación de similitud en la que los números se multiplican o dividen por dos.

Psicología

La intuición de la semejanza geométrica ya aparece en los niños humanos, como se puede comprobar en sus dibujos. ^[21]

Ver también

• Congruencia (geometría)
• Similitud en espiral
• Distancia de Hamming (similitud de secuencia o cadena)
• transformación de helmert
• Geometría inversa
• índice jaccard
• Proporcionalidad
• Teorema básico de proporcionalidad
• Similitud semántica
• Búsqueda de similitud
• Similitud (filosofía)
• Espacio de similitud en taxonomía numérica
• Homoeoide (capa de elipsoides concéntricos similares)
• Solución de triángulos

Notas

1. Sibley 1998, pág. 35.
2. Stahl 2003, pág. 127. Esto también se prueba en los Elementos de Euclides , Libro VI, Proposición 4.
3. Por ejemplo, Venema 2006, p. 122 y Henderson y Taimiņa 2005, p. 123.
4. Elementos de Euclides , Libro VI, Proposición 4.
5. Elementos de Euclides , Libro VI, Proposición 5.
6. Elementos de Euclides , Libro VI, Proposición 6.
7. Venema 2006, pág. 143.
8. Posamentier, Alfred S .; Lehmann, Ingmar (2012). Los secretos de los triángulos . Libros de Prometeo. pag. 22.
9. Jacobs 1974, págs. 384–393.
10. Hadamard, Jacques (2008). Lecciones de geometría, vol. I: Geometría plana. Sociedad Matemática Estadounidense. Teorema 120, pág. 125.ISBN​ 978-0-8218-4367-3.
11. Nombrado en honor a John Wallis (1616-1703)
12. Venema 2006, pag. 122.
13. Venema 2006, pag. 145.
14. una prueba de academia.edu
15. La forma de una elipse o hipérbola depende sólo de la relación b/a
16. Inteligente 1998, pag. 92.
17. Yale 1968, pág. 47 Teorema 2.1.
18. Pedoe 1988, págs. 179-181.
19. Yale 1968, pág. 46.
20. Pedoe 1988, pag. 182.
21. Cox, Dana Christine (2008). Comprensión de la similitud: uniendo contextos geométricos y numéricos para el razonamiento proporcional (Ph.D.). Kalamazoo, Michigan: Universidad de Western Michigan. ISBN 978-0-549-75657-6. S2CID  61331653.

1. Esta afirmación no es cierta en geometría no euclidiana donde la suma de los ángulos del triángulo no es 180 grados.
2. Este término tradicional, como se explica en su artículo, es inapropiado. Esta es en realidad la línea compleja unidimensional.

Referencias

• Henderson, David W .; Taimiņa, Daina (2005). Experimentar la geometría/euclidiana y no euclidiana con la historia (3ª ed.). Pearson Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-143748-7.
• Jacobs, Harold R. (1974). Geometría . WH Freeman y compañía ISBN 0-7167-0456-0.
• Pedoe, Dan (1988) [1970]. Geometría/Un curso integral . Dover. ISBN 0-486-65812-0.
• Sibley, Thomas Q. (1998). El punto de vista geométrico/Un estudio de geometrías . Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-87450-1.
• Inteligente, James R. (1998). Geometrías modernas (5ª ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-35188-3.
• Stahl, Saúl (2003). Geometría/De Euclides a los Nudos . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-032927-1.
• Venema, Gerard A. (2006). Fundamentos de la Geometría . Pearson Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-143700-5.
• Yale, Paul B. (1968). Geometría y Simetría . Holden-Day.

Otras lecturas

• Cederberg, Judith N. (2001) [1989]. "Capítulo 3.12: Transformaciones de similitud". Un curso de geometrías modernas . Saltador. págs. 183–189. ISBN 0-387-98972-2.
• Coxeter, HSM (1969) [1961]. "§5 Similitud en el plano euclidiano". págs. 67–76. "§7 Isometría y similitud en el espacio euclidiano". págs. 96-104. Introducción a la Geometría . John Wiley e hijos .
• Ewald, Günter (1971). Geometría: una introducción . Publicación de Wadsworth . págs.106, 181.
• Martín, George E. (1982). "Capítulo 13: Similitudes en el avión". Geometría de transformación: una introducción a la simetría . Saltador. págs. 136-146. ISBN 0-387-90636-3.

enlaces externos

• Demostración animada de triángulos semejantes.
• Un teorema fundamental de similitud: un boceto ilustrativo de geometría dinámica