Intersección (geometría)

Forma formada a partir de puntos comunes a otras formas.

El punto rojo representa el punto en el que se cruzan las dos líneas.

En geometría , una intersección es un punto, línea o curva común a dos o más objetos (como líneas, curvas, planos y superficies). El caso más simple en geometría euclidiana es la intersección línea-línea entre dos líneas distintas , que es un punto (a veces llamado vértice ) o no existe (si las líneas son paralelas ). Otros tipos de intersección geométrica incluyen:

• Intersección línea-plano
• Intersección línea-esfera
• Intersección de un poliedro con una recta.
• Intersección de segmentos de línea
• Curva de intersección

La determinación de la intersección de planos (objetos geométricos lineales incrustados en un espacio de dimensiones superiores ) es una tarea simple de álgebra lineal , es decir, la solución de un sistema de ecuaciones lineales . En general, la determinación de una intersección conduce a ecuaciones no lineales , que pueden resolverse numéricamente , por ejemplo mediante la iteración de Newton . Los problemas de intersección entre una recta y una sección cónica (círculo, elipse, parábola, etc.) o una cuádrica (esfera, cilindro, hiperboloide, etc.) conducen a ecuaciones cuadráticas que se pueden resolver fácilmente. Las intersecciones entre cuádricas conducen a ecuaciones de cuarto grado que pueden resolverse algebraicamente .

En un avión

Dos lineas

Para determinar el punto de intersección de dos rectas no paralelas

${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y=c_{1},\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}}$

se obtienen, a partir de la regla de Cramer o sustituyendo una variable, las coordenadas del punto de intersección  : ${\displaystyle (x_{s},y_{s})}$

${\displaystyle x_{s}={\frac {c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}},\quad y_{s}={\frac {a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}.\ }$

(Si las líneas son paralelas y estas fórmulas no se pueden usar porque implican dividir por 0). ${\displaystyle a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0}$

Dos segmentos de recta

Intersección de dos segmentos de recta.

Para dos segmentos de línea no paralelos no necesariamente hay un punto de intersección (ver diagrama), porque el punto de intersección de las líneas correspondientes no necesita estar contenido en los segmentos de línea. Para comprobar la situación se utilizan representaciones paramétricas de las líneas: ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}$ ${\displaystyle (x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4})}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

${\displaystyle (x(s),y(s))=(x_{1}+s(x_{2}-x_{1}),y_{1}+s(y_{2}-y_{1})),}$

${\displaystyle (x(t),y(t))=(x_{3}+t(x_{4}-x_{3}),y_{3}+t(y_{4}-y_{3})).}$

Los segmentos de recta se cruzan sólo en un punto común de las rectas correspondientes si los parámetros correspondientes cumplen la condición . Los parámetros son la solución del sistema lineal. ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle s_{0},t_{0}}$ ${\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1}$ ${\displaystyle s_{0},t_{0}}$

${\displaystyle s(x_{2}-x_{1})-t(x_{4}-x_{3})=x_{3}-x_{1},}$

${\displaystyle s(y_{2}-y_{1})-t(y_{4}-y_{3})=y_{3}-y_{1}\ .}$

Se puede resolver para s y t usando la regla de Cramer (ver arriba). Si se cumple la condición se inserta o en la representación paramétrica correspondiente y se obtiene el punto de intersección . ${\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1}$ ${\displaystyle s_{0}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

Ejemplo: Para los segmentos de recta se obtiene el sistema lineal ${\displaystyle (1,1),(3,2)}$ ${\displaystyle (1,4),(2,-1)}$

${\displaystyle 2s-t=0}$

${\displaystyle s+5t=3}$

y . Eso significa: las líneas se cruzan en el punto . ${\displaystyle s_{0}={\tfrac {3}{11}},t_{0}={\tfrac {6}{11}}}$ ${\displaystyle ({\tfrac {17}{11}},{\tfrac {14}{11}})}$

Observación: Considerando líneas, en lugar de segmentos, determinados por pares de puntos, cada condición se puede eliminar y el método produce el punto de intersección de las líneas (ver arriba). ${\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1}$

Intersección línea-círculo

Una línea y un círculo

Para la intersección de

• linea y circulo ${\displaystyle ax+by=c}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$

uno resuelve la ecuación lineal para x o y y la sustituye en la ecuación del círculo y obtiene la solución (usando la fórmula de una ecuación cuadrática) con ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}$

${\displaystyle x_{1/2}={\frac {ac\pm b{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}{a^{2}+b^{2}}}\ ,}$

${\displaystyle y_{1/2}={\frac {bc\mp a{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}{a^{2}+b^{2}}}\ ,}$

si Si esta condición se cumple con desigualdad estricta, hay dos puntos de intersección; en este caso, la recta se llama recta secante del círculo y el segmento de recta que conecta los puntos de intersección se llama cuerda del círculo. ${\displaystyle r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}>0\ .}$

Si se cumple, existe solo un punto de intersección y la línea es tangente al círculo. Si la desigualdad débil no se cumple, la recta no corta al círculo. ${\displaystyle r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}=0}$

Si el punto medio del círculo no es el origen, consulte. ^[1] La intersección de una línea y una parábola o hipérbola puede tratarse de manera análoga.

dos circulos

La determinación de los puntos de intersección de dos círculos.

• ${\displaystyle (x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}=r_{1}^{2},\ \quad (x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}=r_{2}^{2}}$

se puede reducir al caso anterior de intersección de una recta y un círculo. Restando las dos ecuaciones dadas se obtiene la ecuación lineal:

${\displaystyle 2(x_{2}-x_{1})x+2(y_{2}-y_{1})y=r_{1}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}.}$

Esta línea especial es la línea radical de los dos círculos.

Intersección de dos círculos con centros en el eje x, su línea radical es de color rojo oscuro

Caso especial  : ${\displaystyle \;x_{1}=y_{1}=y_{2}=0}$
en este caso el origen es el centro del primer círculo y el segundo centro se encuentra en el eje x (ver diagrama). La ecuación de la recta radical se simplifica a y los puntos de intersección se pueden escribir como con ${\displaystyle \;2x_{2}x=r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}\;}$ ${\displaystyle (x_{0},\pm y_{0})}$

${\displaystyle x_{0}={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}}{2x_{2}}},\quad y_{0}={\sqrt {r_{1}^{2}-x_{0}^{2}}}\ .}$

En el caso de los círculos no tienen puntos en común. En el caso de las circunferencias tienen un punto en común y la recta radical es una tangente común. ${\displaystyle r_{1}^{2}<x_{0}^{2}}$
${\displaystyle r_{1}^{2}=x_{0}^{2}}$

Cualquier caso general como se escribió anteriormente puede transformarse mediante un desplazamiento y una rotación en un caso especial.

La intersección de dos discos (los interiores de los dos círculos) forma una forma llamada lente .

intersección círculo-elipse

Dos secciones cónicas

El problema de la intersección de una elipse/hipérbola/parábola con otra sección cónica conduce a un sistema de ecuaciones cuadráticas , que en casos especiales puede resolverse fácilmente mediante la eliminación de una coordenada. Se pueden utilizar las propiedades especiales de las secciones cónicas para obtener una solución . En general, los puntos de intersección se pueden determinar resolviendo la ecuación mediante una iteración de Newton. Si a) ambas cónicas están dadas implícitamente (mediante una ecuación), es necesaria una iteración de Newton bidimensional. b) una implícitamente y la otra paramétricamente dada, es necesaria una iteración de Newton unidimensional. Consulte la siguiente sección.

Dos curvas suaves

Una intersección transversal de dos curvas.

tocando la intersección (izquierda), tocando (derecha)

Dos curvas en (espacio bidimensional), que son continuamente diferenciables (es decir, no hay curvatura pronunciada), tienen un punto de intersección, si tienen un punto del plano en común y tienen en este punto (ver diagrama): ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

a) diferentes rectas tangentes ( intersección transversal , después de transversalidad ), o

b) la recta tangente en común y se cruzan ( tocándose la intersección , después de la tangencia ).

Si ambas curvas tienen un punto S y la recta tangente en común pero no se cruzan, solo se tocan en el punto S.

Debido a que las intersecciones que se tocan rara vez aparecen y son difíciles de manejar, las siguientes consideraciones omiten este caso. En cualquier caso, a continuación se presuponen todas las condiciones diferenciales necesarias. La determinación de los puntos de intersección siempre conduce a una o dos ecuaciones no lineales que pueden resolverse mediante la iteración de Newton. A continuación se presenta una lista de los casos aparecidos:

intersección de una curva paramétrica y una curva implícita

intersección de dos curvas implícitas

• Si ambas curvas se dan explícitamente : , al igualarlas se obtiene la ecuación ${\displaystyle y=f_{1}(x),\ y=f_{2}(x)}$

${\displaystyle f_{1}(x)=f_{2}(x)\ .}$

• Si ambas curvas están dadas paramétricamente : ${\displaystyle C_{1}:(x_{1}(t),y_{1}(t)),\ C_{2}:(x_{2}(s),y_{2}(s)).}$

Al equipararlos se obtienen dos ecuaciones en dos variables:

${\displaystyle x_{1}(t)=x_{2}(s),\ y_{1}(t)=y_{2}(s)\ .}$

• Si una curva es paramétrica y la otra implícitamente : ${\displaystyle C_{1}:(x_{1}(t),y_{1}(t)),\ C_{2}:f(x,y)=0.}$

Este es el caso más simple además del caso explícito. Hay que insertar la representación paramétrica de en la ecuación de la curva y se obtiene la ecuación: ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle f(x,y)=0}$ ${\displaystyle C_{2}}$

${\displaystyle f(x_{1}(t),y_{2}(t))=0\ .}$

• Si ambas curvas están implícitamente dadas: ${\displaystyle C_{1}:f_{1}(x,y)=0,\ C_{2}:f_{2}(x,y)=0.}$

Aquí, un punto de intersección es una solución del sistema.

${\displaystyle f_{1}(x,y)=0,\ f_{2}(x,y)=0\ .}$

Cualquier iteración de Newton necesita valores iniciales convenientes, que pueden derivarse mediante una visualización de ambas curvas. Una curva dada de forma paramétrica o explícita se puede visualizar fácilmente, porque para cualquier parámetro t o x respectivamente es fácil calcular el punto correspondiente. Para curvas dadas implícitamente esta tarea no es tan fácil. En este caso hay que determinar un punto de curva con ayuda de valores iniciales y una iteración. Ver . ^[2]

Ejemplos:

1: y círculo (ver diagrama). ${\displaystyle C_{1}:(t,t^{3})}$ ${\displaystyle C_{2}:(x-1)^{2}+(y-1)^{2}-10=0}$

La iteración de Newton para la función. ${\displaystyle t_{n+1}:=t_{n}-{\frac {f(t_{n})}{f'(t_{n})}}}$

${\displaystyle f(t)=(t-1)^{2}+(t^{3}-1)^{2}-10}$Tiene que hacerse. Como valores iniciales se pueden elegir −1 y 1,5.

Los puntos de intersección son: (−1.1073, −1.3578), (1.6011, 4.1046)

2: ${\displaystyle C_{1}:f_{1}(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=0,}$

${\displaystyle C_{2}:f_{2}(x,y)=(x-0.5)^{2}+(y-0.5)^{2}-1=0}$(ver diagrama).

La iteración de Newton

${\displaystyle {x_{n+1} \choose y_{n+1}}={x_{n}+\delta _{x} \choose y_{n}+\delta _{y}}}$se debe realizar, ¿dónde está la solución del sistema lineal? ${\displaystyle {\delta _{x} \choose \delta _{y}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{pmatrix}}{\delta _{x} \choose \delta _{y}}={-f_{1} \choose -f_{2}}}$en el punto . Como valores iniciales se pueden elegir (−0,5, 1) y (1, −0,5). ${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$

El sistema lineal se puede resolver mediante la regla de Cramer.

Los puntos de intersección son (−0,3686, 0,9953) y (0,9953, −0,3686).

Dos polígonos

intersección de dos polígonos: prueba de ventana

Si uno quiere determinar los puntos de intersección de dos polígonos , puede verificar la intersección de cualquier par de segmentos de línea de los polígonos (ver arriba). Para polígonos con muchos segmentos, este método requiere bastante tiempo. En la práctica, se acelera el algoritmo de intersección mediante el uso de pruebas de ventana . En este caso, se dividen los polígonos en pequeños subpolígonos y se determina la ventana más pequeña (rectángulo con lados paralelos a los ejes de coordenadas) para cualquier subpolígono. Antes de comenzar con la laboriosa determinación del punto de intersección de dos segmentos de recta, se comprueba cualquier par de ventanas en busca de puntos comunes. Ver. ^[3]

En el espacio (tres dimensiones)

En el espacio tridimensional existen puntos de intersección (puntos comunes) entre curvas y superficies. En las siguientes secciones consideramos únicamente la intersección transversal .

Una recta y un plano.

Intersección línea-plano

La intersección de una recta y un plano en posición general en tres dimensiones es un punto.

Comúnmente una recta en el espacio se representa de forma paramétrica y un plano mediante una ecuación . Al insertar la representación del parámetro en la ecuación se obtiene la ecuación lineal. ${\displaystyle (x(t),y(t),z(t))}$ ${\displaystyle ax+by+cz=d}$

${\displaystyle ax(t)+by(t)+cz(t)=d\ ,}$

para parámetro del punto de intersección . ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle (x(t_{0}),y(t_{0}),z(t_{0}))}$

Si la ecuación lineal no tiene solución, la recta se encuentra en el plano o es paralela a él.

tres aviones

Si una línea está definida por dos planos que se cruzan y debe ser intersectada por un tercer plano , se debe evaluar el punto de intersección común de los tres planos. ${\displaystyle \varepsilon _{i}:\ {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\ i=1,2}$ ${\displaystyle \varepsilon _{3}:\ {\vec {n}}_{3}\cdot {\vec {x}}=d_{3}}$

Tres planos con vectores normales lineales independientes tienen el punto de intersección ${\displaystyle \varepsilon _{i}:\ {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\ i=1,2,3}$ ${\displaystyle {\vec {n}}_{1},{\vec {n}}_{2},{\vec {n}}_{3}}$

${\displaystyle {\vec {p}}_{0}={\frac {d_{1}({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3})+d_{2}({\vec {n}}_{3}\times {\vec {n}}_{1})+d_{3}({\vec {n}}_{1}\times {\vec {n}}_{2})}{{\vec {n}}_{1}\cdot ({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3})}}\ .}$

Para la prueba se debe establecer utilizando las reglas de un producto triple escalar . Si el triple producto escalar es igual a 0, entonces los planos o no tienen la triple intersección o es una línea (o un plano, si los tres planos son iguales). ${\displaystyle {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {p}}_{0}=d_{i},\ i=1,2,3,}$

Una curva y una superficie.

intersección de curva con superficie ${\displaystyle (t,t^{2},t^{3})}$ ${\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}=1}$

De manera análoga al caso plano, los siguientes casos conducen a sistemas no lineales, que pueden resolverse mediante una iteración de Newton uni o tridimensional. ^[4]

• curva paramétrica y ${\displaystyle C:(x(t),y(t),z(t))}$

superficie paramétrica ${\displaystyle S:(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\ ,}$

• curva paramétrica y ${\displaystyle C:(x(t),y(t),z(t))}$

superficie implícita ${\displaystyle S:f(x,y,z)=0\ .}$

Ejemplo:

curva paramétrica y ${\displaystyle C:(t,t^{2},t^{3})}$

superficie implícita (s. imagen). ${\displaystyle S:x^{4}+y^{4}+z^{4}-1=0}$

Los puntos de intersección son: (−0,8587, 0,7374, −0,6332), (0,8587, 0,7374, 0,6332).

Una intersección línea-esfera es un caso especial simple.

Como en el caso de una línea y un plano, la intersección de una curva y una superficie en posición general consta de puntos discretos, pero una curva puede estar parcial o totalmente contenida en una superficie.

Una recta y un poliedro.

Dos superficies

Dos superficies que se cruzan transversalmente dan una curva de intersección . El caso más sencillo es la línea de intersección de dos planos no paralelos.

Una esfera y un plano.

Cuando la intersección de una esfera y un plano no es vacía ni es un solo punto, es un círculo. Esto se puede ver de la siguiente manera:

Sea S una esfera con centro O , P un plano que corta a S. Dibuje OE perpendicular a P y encontrándose con P en E. Sean A y B dos puntos diferentes en la intersección. Entonces AOE y BOE son triángulos rectángulos con un lado común, OE , y las hipotenusas AO y BO iguales. Por tanto, los lados restantes AE y BE son iguales. Esto prueba que todos los puntos de la intersección están a la misma distancia del punto E en el plano P , es decir, todos los puntos de la intersección se encuentran en una circunferencia C con centro E. ^[5] Esto prueba que la intersección de P y S está contenida en C. Tenga en cuenta que OE es el eje del círculo.

Consideremos ahora un punto D del círculo C. Dado que C se encuentra en P , también lo hace D. Por otro lado, los triángulos AOE y DOE son triángulos rectángulos con un lado común, OE , y los catetos EA y ED iguales. Por lo tanto, las hipotenusas AO y DO son iguales e iguales al radio de S , de modo que D se encuentra en S. Esto prueba que C está contenido en la intersección de P y S.

Como corolario, en una esfera hay exactamente un círculo que se puede trazar a través de tres puntos dados. ^[6]

La prueba se puede ampliar para mostrar que todos los puntos de un círculo están a una distancia angular común de uno de sus polos. ^[7]

Compárese también las secciones cónicas , que pueden producir óvalos .

dos esferas

Para demostrar que una intersección no trivial de dos esferas es un círculo, supongamos (sin pérdida de generalidad) que una esfera (con radio ) está centrada en el origen. Los puntos en esta esfera satisfacen ${\displaystyle R}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}.}$

También sin pérdida de generalidad, supongamos que la segunda esfera, con radio , está centrada en un punto en el eje x positivo, a una distancia del origen. Sus puntos satisfacen ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}.}$

La intersección de las esferas es el conjunto de puntos que satisfacen ambas ecuaciones. Restar las ecuaciones da

${\displaystyle {\begin{aligned}(x-a)^{2}-x^{2}&=r^{2}-R^{2}\\a^{2}-2ax&=r^{2}-R^{2}\\x&={\frac {a^{2}+R^{2}-r^{2}}{2a}}.\end{aligned}}}$

En el caso singular , las esferas son concéntricas. Hay dos posibilidades: si , las esferas coinciden y la intersección es la esfera completa; si , las esferas están separadas y la intersección está vacía. Cuando a es distinto de cero, la intersección se encuentra en un plano vertical con esta coordenada x, que puede cruzar ambas esferas, ser tangente a ambas esferas o externa a ambas esferas. El resultado se desprende de la prueba anterior para intersecciones esfera-plano. ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle R=r}$ ${\displaystyle R\not =r}$

Ver también

• Intersección línea-plano
• Intersección línea-esfera
• Intersección línea-cilindro
• Geometría analítica#Intersecciones
• Geometría Computacional
• Ecuación de una recta
• Intersección (teoría de conjuntos)
• Teoría de la intersección

Notas

1. Erich Hartmann: Geometría y algoritmos para DISEÑO AYUDADO POR COMPUTADORA. Apuntes de conferencias, Technische Universität Darmstadt, octubre de 2003, p. 17
2. Erich Hartmann: Geometría y algoritmos para DISEÑO AYUDADO POR COMPUTADORA. Apuntes de conferencias, Technische Universität Darmstadt, octubre de 2003, p. 33
3. Erich Hartmann: CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie. Apuntes de conferencias, TU Darmstadt, 1997, p. 79 (PDF; 3,4 MB)
4. Erich Hartmann: Geometría y algoritmos para DISEÑO AYUDADO POR COMPUTADORA. Apuntes de conferencias, Technische Universität Darmstadt, octubre de 2003, p. 93
5. La prueba sigue a Hobbs, Prop. 304
6. Hobbs, Proposición 308
7. Hobbs, Proposición 310

Referencias

• Hobbs, California (1921). Geometria solida. GH Kent. págs. 397 y siguientes.

Otras lecturas

• Haines, Eric (6 de junio de 2021). "Intersecciones (página de recursos de trazado de rayos)". Representación en tiempo real . Consultado el 14 de diciembre de 2023 . una cuadrícula de rutinas de intersección para varios objetos populares, que apunta a recursos en libros y en la web.
• Nicholas M. Patrikalakis y Takashi Maekawa, Interrogación de formas para diseño y fabricación asistidos por computadora , Springer, 2002, ISBN 3540424547 , 9783540424543, págs. 408. [1] 
• Sykes, M.; Comstock, CE (1922). Geometria solida. Rand McNally. págs. 81 y siguientes.