Disco (matemáticas)

Figura plana, delimitada por un círculo.

Disco con

  circunferencia C

  diámetro D

  radio R

  centro u origen O

En geometría , un disco ( también escrito disco ) ^[1] es la región en un plano delimitada por un círculo . Se dice que un disco está cerrado si contiene el círculo que constituye su límite y abierto si no lo contiene. ^[2]

Para un radio, un disco abierto generalmente se denota como y un disco cerrado es . Sin embargo, en el campo de la topología , el disco cerrado generalmente se denota como mientras que el disco abierto es . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle D_{r}}$ ${\displaystyle {\overline {D_{r}}}}$ ${\displaystyle D^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} D^{2}}$

Fórmulas

En coordenadas cartesianas , el disco abierto de centro y radio R viene dado por la fórmula: ^[1] ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle D=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}<R^{2}\}}$

mientras que el disco cerrado del mismo centro y radio viene dado por:

${\displaystyle {\overline {D}}=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\leq R^{2}\}.}$

El área de un disco cerrado o abierto de radio R es π R ² (ver área de un disco ). ^[3]

Propiedades

El disco tiene simetría circular . ^[4]

El disco abierto y el disco cerrado no son topológicamente equivalentes (es decir, no son homeomórficos ), ya que tienen propiedades topológicas diferentes entre sí. Por ejemplo, todo disco cerrado es compacto mientras que todo disco abierto no es compacto. ^[5] Sin embargo, desde el punto de vista de la topología algebraica , comparten muchas propiedades: ambos son contráctiles ^[6] y, por lo tanto, son homotópicos equivalentes a un solo punto. Esto implica que sus grupos fundamentales son triviales y que todos los grupos de homología son triviales excepto el 0, que es isomorfo a Z. La característica de Euler de un punto (y por tanto también la de un disco cerrado o abierto) es 1. ^[7]

Cada mapa continuo desde el disco cerrado hasta sí mismo tiene al menos un punto fijo (no requerimos que el mapa sea biyectivo o incluso sobreyectivo ); este es el caso n =2 del teorema del punto fijo de Brouwer . ^[8] La afirmación es falsa para el disco abierto: ^[9]

Considere, por ejemplo, la función que asigna cada punto del disco unitario abierto a otro punto del disco unitario abierto a la derecha del dado. Pero para el disco unitario cerrado, fija cada punto del semicírculo. ${\displaystyle f(x,y)=\left({\frac {x+{\sqrt {1-y^{2}}}}{2}},y\right)}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,x>0.}$

Como distribución estadística

La distancia promedio a una ubicación desde puntos en un disco.

En estadística, ocasionalmente se encuentra una distribución uniforme en un disco circular unitario. Ocurre más comúnmente en la investigación de operaciones en matemáticas de planificación urbana, donde puede usarse para modelar una población dentro de una ciudad. Otros usos pueden aprovechar el hecho de que es una distribución para la cual es fácil calcular la probabilidad de que se satisfaga un conjunto dado de desigualdades lineales. ( Las distribuciones gaussianas en el plano requieren cuadratura numérica ).

"Un argumento ingenioso a través de funciones elementales" muestra que la distancia euclidiana media entre dos puntos del disco es128/45π≈ 0,90541 , ^[10] mientras que la integración directa en coordenadas polares muestra que la distancia media al cuadrado es 1 .

Si se nos da una ubicación arbitraria a una distancia q del centro del disco, también es interesante determinar la distancia promedio b ( q ) desde los puntos de la distribución hasta esta ubicación y el cuadrado promedio de dichas distancias. El último valor se puede calcular directamente como q ² +1/2.

Distancia media a un punto interno arbitrario.

La distancia promedio desde un disco a un punto interno.

Para encontrar b ( q ) necesitamos mirar por separado los casos en los que la ubicación es interna o externa, es decir, en los que q ≶ 1 , y encontramos que en ambos casos el resultado sólo puede expresarse en términos de integrales elípticas completas .

Si consideramos una ubicación interna, nuestro objetivo (mirando el diagrama) es calcular el valor esperado de r bajo una distribución cuya densidad es1/πpara 0 ≤ r ≤ s (θ) , integrando en coordenadas polares centradas en la ubicación fija para la cual el área de una celda es r d r dθ  ; por eso

$${\displaystyle b(q)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\textrm {d}}\theta \int _{0}^{s(\theta )}r^{2}{\textrm {d}}r={\frac {1}{3\pi }}\int _{0}^{2\pi }s(\theta )^{3}{\textrm {d}}\theta .}$$

Aquí s (θ) se puede encontrar en términos de q y θ usando la Ley de los cosenos . Los pasos necesarios para evaluar la integral, junto con varias referencias, se encontrarán en el artículo de Lew et al.; ^[10] el resultado es que

$${\displaystyle b(q)={\frac {4}{9\pi }}{\biggl \{}4(q^{2}-1)K(q^{2})+(q^{2}+7)E(q^{2}){\biggr \}}}$$

KE^[11] b (0) =2/3segundo (1) =32/9π≈ 1,13177

Distancia media a un punto externo arbitrario.

La distancia promedio desde un disco a un punto externo.

Volviendo a una ubicación externa, podemos establecer la integral de manera similar, esta vez obteniendo

$${\displaystyle b(q)={\frac {2}{3\pi }}\int _{0}^{{\textrm {sin}}^{-1}{\tfrac {1}{q}}}{\biggl \{}s_{+}(\theta )^{3}-s_{-}(\theta )^{3}{\biggr \}}{\textrm {d}}\theta }$$

s ₊ (θ)s _– (θ)s

$${\displaystyle s^{2}-2qs\,{\textrm {cos}}\theta +q^{2}\!-\!1=0.}$$

$${\displaystyle b(q)={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{{\textrm {sin}}^{-1}{\tfrac {1}{q}}}{\biggl \{}3q^{2}{\textrm {cos}}^{2}\theta {\sqrt {1-q^{2}{\textrm {sin}}^{2}\theta }}+{\Bigl (}1-q^{2}{\textrm {sin}}^{2}\theta {\Bigr )}^{\tfrac {3}{2}}{\biggl \}}{\textrm {d}}\theta .}$$

u = q sinθ

$${\displaystyle {\begin{aligned}b(q)&={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{1}{\biggl \{}3{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}+{\frac {(1-u^{2})^{\tfrac {3}{2}}}{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}}{\biggr \}}{\textrm {d}}u\\[0.6ex]&={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{1}{\biggl \{}4{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}-{\frac {q^{2}-1}{q}}{\frac {\sqrt {1-u^{2}}}{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}}{\biggr \}}{\textrm {d}}u\\[0.6ex]&={\frac {4}{3\pi }}{\biggl \{}{\frac {4q}{3}}{\biggl (}(q^{2}+1)E({\tfrac {1}{q^{2}}})-(q^{2}-1)K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr )}-(q^{2}-1){\biggl (}qE({\tfrac {1}{q^{2}}})-{\frac {q^{2}-1}{q}}K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr )}{\biggr \}}\\[0.6ex]&={\frac {4}{9\pi }}{\biggl \{}q(q^{2}+7)E({\tfrac {1}{q^{2}}})-{\frac {q^{2}-1}{q}}(q^{2}+3)K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr \}}\end{aligned}}}$$

^[12]

Por lo tanto nuevamente b (1) =32/9π, mientras que también ^[13]

$${\displaystyle \lim _{q\to \infty }b(q)=q+{\tfrac {1}{8q}}.}$$

Ver también

• Disco unitario , un disco con radio uno
• Anillo (matemáticas) , la región entre dos círculos concéntricos
• Bola (matemáticas) , el término habitual para el análogo tridimensional de un disco.
• Álgebra de discos , un espacio de funciones en un disco
• segmento circular
• Disco ortocentroide , que contiene ciertos centros de un triángulo

Referencias

1. Clapham, Christopher; Nicholson, James (2014), Diccionario Oxford de Matemáticas Conciso, Oxford University Press, pág. 138, ISBN 9780199679591.
2. Arnold, BH (2013), Conceptos intuitivos en topología elemental, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, p. 58, ISBN 9780486275765.
3. Rotman, Joseph J. (2013), Viaje a las matemáticas: introducción a las pruebas, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, p. 44, ISBN 9780486151687.
4. Altmann, Simon L. (1992). Iconos y Simetrías . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 9780198555995. simetría circular del disco.
5. Maudlin, Tim (2014), Nuevos fundamentos de la geometría física: la teoría de las estructuras lineales, Oxford University Press, p. 339, ISBN 9780191004551.
6. Cohen, Daniel E. (1989), Teoría combinatoria de grupos: un enfoque topológico, Textos estudiantiles de la London Mathematical Society, vol. 14, Cambridge University Press, pág. 79, ISBN 9780521349369.
7. En dimensiones superiores, la característica de Euler de una bola cerrada sigue siendo igual a +1, pero la característica de Euler de una bola abierta es +1 para bolas de dimensiones pares y -1 para bolas de dimensiones impares. Véase Klain, Daniel A.; Rota, Gian-Carlo (1997), Introducción a la probabilidad geométrica , Lezioni Lincee, Cambridge University Press, págs. 46–50.
8. Arnold (2013), pág. 132.
9. Arnold (2013), ej. 1, pág. 135.
10. JS Lew et al., "Sobre las distancias promedio en un disco circular" (1977).
11. Abramowitz y Stegun , 17.3.
12. Gradshteyn y Ryzhik 3.155.7 y 3.169.9, teniendo debidamente en cuenta la diferencia de notación con Abramowitz y Stegun. (Compare A&S 17.3.11 con G&R 8.113.) Este artículo sigue la notación de A&S.
13. Abramowitz y Stegun, 17.3.11 y siguientes.