Isometría del plano euclidiano

En geometría , una isometría del plano euclidiano es una isometría del plano euclidiano , o más informalmente, una forma de transformar el plano que preserva propiedades geométricas como la longitud. Hay cuatro tipos: traslaciones , rotaciones , reflexiones y reflexiones de deslizamiento (ver más abajo § Clasificación).

El conjunto de isometrías del plano euclidiano forma un grupo bajo composición : el grupo euclidiano en dos dimensiones. Se genera por reflexiones en líneas, y cada elemento del grupo euclidiano está compuesto de como máximo tres reflexiones distintas.

Discusión informal

Informalmente, una isometría del plano euclidiano es cualquier forma de transformar el plano sin "deformarlo". Por ejemplo, supongamos que el plano euclidiano está representado por una lámina de plástico transparente colocada sobre un escritorio. Ejemplos de isometrías incluyen:

• Moviendo la hoja una pulgada hacia la derecha.
• Girar la hoja diez grados alrededor de algún punto marcado (que permanece inmóvil).
• Voltear la sábana para mirarla desde atrás. Observe que si se dibuja una imagen en un lado de la hoja, luego de darle la vuelta a la hoja, vemos la imagen especular de la imagen.

Estos son ejemplos de traslaciones , rotaciones y reflexiones respectivamente. Existe otro tipo de isometría, llamada reflexión de planeo (ver más abajo en la clasificación de isometrías del plano euclidiano).

Sin embargo, doblar, cortar o fundir la lámina no se consideran isometrías. Tampoco lo son las alteraciones menos drásticas como doblarse, estirarse o torcerse.

Definicion formal

Una isometría del plano euclidiano es una transformación del plano que preserva la distancia. Es decir, es un mapa.

$${\displaystyle M:{\textbf {R}}^{2}\to {\textbf {R}}^{2}}$$

tal que para cualquier punto p y q en el plano,

$${\displaystyle d(p,q)=d(M(p),M(q)),}$$

donde d ( p , q ) es la distancia euclidiana habitual entre p y q .

Clasificación

Se puede demostrar que existen cuatro tipos de isometrías del plano euclidiano. ( Nota : las notaciones para los tipos de isometrías que se enumeran a continuación no están completamente estandarizadas).

Reflexiones

Reflexión

Reflexiones , o isometrías especulares , denotadas por F _{c , v} , donde c es un punto en el plano y v es un vector unitario en R ² . ( F es para "voltear".) tienen el efecto de reflejar el punto p en la línea L que es perpendicular a v y que pasa por c . La línea L se llama eje de reflexión o espejo asociado. Para encontrar una fórmula para F _{c , v} , primero usamos el producto escalar para encontrar el componente t de p − c en ladirección v ,

$${\displaystyle t=(p-c)\cdot v=(p_{x}-c_{x})v_{x}+(p_{y}-c_{y})v_{y},}$$

y luego obtenemos el reflejo de p por resta,

$${\displaystyle F_{c,v}(p)=p-2tv.}$$

La combinación de rotaciones alrededor del origen y reflexiones alrededor de una recta que pasa por el origen se obtiene con todas las matrices ortogonales (es decir, con determinante 1 y −1) formando el grupo ortogonal O (2). En el caso de un determinante de −1 tenemos:

$${\displaystyle R_{0,\theta }(p)={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &\mathbf {-} \cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\end{bmatrix}}.}$$

xθθx

Traducciones

Traducción

Las traslaciones , denotadas por T _v , donde v es un vector en R ^2, tienen el efecto de desplazar el plano en la dirección de v . Es decir, para cualquier punto p del plano,

$${\displaystyle T_{v}(p)=p+v,}$$

o en términos de coordenadas ( x , y ),

$${\displaystyle T_{v}(p)={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\end{bmatrix}}.}$$

Una traslación puede verse como una combinación de dos reflexiones paralelas.

Rotaciones

Rotación

Rotaciones , denotadas por R _c,θ , donde c es un punto en el plano (el centro de rotación) y θ es el ángulo de rotación. En términos de coordenadas, las rotaciones se expresan más fácilmente dividiéndolas en dos operaciones. Primero, una rotación alrededor del origen viene dada por

$${\displaystyle R_{0,\theta }(p)={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\end{bmatrix}}.}$$

Estas matrices son las matrices ortogonales (es decir, cada una es una matriz cuadrada G cuya transpuesta es su inversa , es decir ), con determinante 1 (la otra posibilidad para matrices ortogonales es −1, que da una imagen especular, ver más abajo). Forman el grupo ortogonal especial SO(2). ${\displaystyle GG^{T}=G^{T}G=I_{2}.}$

Se puede lograr una rotación alrededor de c trasladando primero c al origen, luego realizando la rotación alrededor del origen y finalmente trasladando el origen de regreso a c . Eso es,

$${\displaystyle R_{c,\theta }=T_{c}\circ R_{0,\theta }\circ T_{-c},}$$

o en otras palabras,

$${\displaystyle R_{c,\theta }(p)=c+R_{0,\theta }(p-c).}$$

Alternativamente, se realiza una rotación alrededor del origen, seguida de una traslación:

$${\displaystyle R_{c,\theta }(p)=c-R_{0,\theta }c+R_{0,\theta }(p).}$$

Una rotación puede verse como una combinación de dos reflexiones no paralelas.

Transformaciones rígidas

El conjunto de traslaciones y rotaciones juntas forman los movimientos rígidos o desplazamientos rígidos . Este conjunto forma un grupo bajo composición, el grupo de movimientos rígidos , un subgrupo del grupo completo de isometrías euclidianas.

Reflejos de deslizamiento

reflejo de deslizamiento

Las reflexiones de deslizamiento , denotadas por G _{c , v , w} , donde c es un punto en el plano, v es un vector unitario en R ² y w es un vector no nulo perpendicular a v, son una combinación de una reflexión en la línea. descrito por c y v , seguido de una traducción a lo largo de w . Eso es,

$${\displaystyle G_{c,v,w}=T_{w}\circ F_{c,v},}$$

o en otras palabras,

$${\displaystyle G_{c,v,w}(p)=w+F_{c,v}(p).}$$

(También es cierto que

$${\displaystyle G_{c,v,w}(p)=F_{c,v}(p+w);}$$

es decir, obtenemos el mismo resultado si hacemos la traslación y la reflexión en orden opuesto.)

Alternativamente, multiplicamos por una matriz ortogonal con determinante −1 (correspondiente a una reflexión en una línea que pasa por el origen), seguida de una traslación. Esta es una reflexión deslizante, excepto en el caso especial de que la traslación sea perpendicular a la línea de reflexión, en cuyo caso la combinación es en sí misma simplemente una reflexión en una línea paralela.

La isometría identidad , definida por I ( p ) = p para todos los puntos p es un caso especial de traslación, y también un caso especial de rotación. Es la única isometría que pertenece a más de uno de los tipos descritos anteriormente.

En todos los casos multiplicamos el vector de posición por una matriz ortogonal y sumamos un vector; si el determinante es 1 tenemos una rotación, una traslación o la identidad, y si es −1 tenemos una reflexión de deslizamiento o una reflexión.

Una isometría "aleatoria", como tomar una hoja de papel de una mesa y recostarla al azar, " casi con seguridad " es una rotación o un reflejo de deslizamiento (tienen tres grados de libertad ). Esto se aplica independientemente de los detalles de la distribución de probabilidad , siempre que θ y la dirección del vector agregado sean independientes y estén distribuidas uniformemente y la longitud del vector agregado tenga una distribución continua. Una traducción pura y una reflexión pura son casos especiales con sólo dos grados de libertad, mientras que la identidad es aún más especial, sin grados de libertad.

Isometrías como grupo de reflexión.

Los reflejos, o isometrías especulares, se pueden combinar para producir cualquier isometría. Así, las isometrías son un ejemplo de grupo de reflexión .

Combinaciones de espejos

En el plano euclidiano tenemos las siguientes posibilidades.

Isometrías como espejos

• [ d  ] Identidad

Dos reflejos en el mismo espejo devuelven cada punto a su posición original. Todos los puntos se dejan fijos. Cualquier par de espejos idénticos tiene el mismo efecto.

• [ d b ] Reflexión

Como Alice descubrió a través del espejo , un solo espejo hace que las manos izquierda y derecha cambien. (En términos formales, la orientación topológica se invierte). Los puntos del espejo se dejan fijos. Cada espejo tiene un efecto único.

• [ dp ] Rotación

Dos espejos distintos que se cruzan tienen un único punto en común, que permanece fijo. Todos los demás puntos giran a su alrededor el doble del ángulo entre los espejos. Dos espejos cualesquiera con el mismo punto fijo y el mismo ángulo dan la misma rotación, siempre que se utilicen en el orden correcto.

• [ d d ] Traducción

Dos espejos distintos que no se cruzan deben ser paralelos. Cada punto se mueve la misma cantidad, el doble de la distancia entre los espejos y en la misma dirección. No se dejan puntos fijos. Dos espejos cualesquiera con la misma dirección paralela y la misma distancia entre sí dan la misma traslación, siempre que se utilicen en el orden correcto.

• [ d q ] Reflejo de deslizamiento

Tres espejos. Si están todos paralelos, el efecto es el mismo que el de un solo espejo (desliza un par para cancelar el tercero). En caso contrario podemos encontrar una disposición equivalente donde dos son paralelos y el tercero perpendicular a ellos. El efecto es un reflejo combinado con una traslación paralela al espejo. No se dejan puntos fijos.

Tres espejos son suficientes

Agregar más espejos no agrega más posibilidades (en el avión), porque siempre se pueden reorganizar para causar cancelación.

Prueba

Una isometría está completamente determinada por su efecto sobre tres puntos independientes (no colineales). Entonces supongamos que p ₁ , p ₂ , p ₃ se asignan a q ₁ , q ₂ , q ₃ ; Podemos generar una secuencia de espejos para lograr esto de la siguiente manera. Si p ₁ y q ₁ son distintos, elija su bisectriz perpendicular como espejo. Ahora p ₁ se asigna a q ₁ ; y pasaremos todos los demás espejos por q ₁ , dejándolo fijo. Llame a las imágenes de p ₂ y p ₃ bajo esta reflexión p ₂ ′ y p ₃ ′. Si q ₂ es distinto de p ₂ ′, biseque el ángulo en q ₁ con un espejo nuevo. Con p ₁ y p ₂ ahora en su lugar, p ₃ está en p ₃ ″; y si no está en su lugar, un espejo final a través de q ₁ y q ₂ lo volteará a q ₃ . Por tanto, como máximo tres reflexiones son suficientes para reproducir cualquier isometría plana. QED

Reconocimiento

Podemos reconocer cuál de estas isometrías tenemos según si conserva manos o las intercambia, y si tiene al menos un punto fijo o no, como se muestra en la siguiente tabla (omitiendo la identidad).

Estructura de grupo

Las isometrías que requieren un número impar de espejos (reflexión y reflexión de deslizamiento) siempre invierten hacia la izquierda y hacia la derecha. Las isometrías pares (identidad, rotación y traslación) nunca lo hacen; corresponden a movimientos rígidos y forman un subgrupo normal del grupo euclidiano completo de isometrías. Ni el grupo completo ni el subgrupo par son abelianos ; por ejemplo, invertir el orden de composición de dos espejos paralelos invierte la dirección de la traslación que producen.

Prueba

La identidad es una isometría; nada cambia, por lo que la distancia no puede cambiar. Y si una isometría no puede cambiar la distancia, tampoco pueden hacerlo dos (o tres, o más) seguidas; por tanto, la composición de dos isometrías es nuevamente una isometría y el conjunto de isometrías está cerrado bajo composición. La isometría de identidad es también una identidad para la composición, y la composición es asociativa ; por lo tanto, las isometrías satisfacen los axiomas de un semigrupo . Para un grupo , también debemos tener una inversa para cada elemento. Para anular un reflejo, simplemente lo componemos consigo mismo (Los reflejos son involuciones ). Y como toda isometría se puede expresar como una secuencia de reflexiones, su inversa se puede expresar como esa secuencia invertida. Observe que la cancelación de un par de reflexiones idénticas reduce el número de reflexiones en un número par, preservando la paridad de la secuencia; Observe también que la identidad tiene paridad uniforme. Por tanto, todas las isometrías forman un grupo, e incluso las isometrías un subgrupo. (Las isometrías impares no incluyen la identidad, por lo que no son un subgrupo). Este subgrupo es un subgrupo normal, porque al intercalar una isometría par entre dos impares se obtiene una isometría par. QED

Dado que el subgrupo par es normal, es el núcleo de un homomorfismo de un grupo cociente , donde el cociente es isomorfo a un grupo que consta de una reflexión y la identidad. Sin embargo, el grupo completo no es un producto directo , sino sólo un producto semidirecto , del subgrupo par y del grupo cociente.

Composición

La composición de isometrías mezcla tipos de diversas maneras. Podemos pensar en la identidad como dos espejos o ninguno; De cualquier manera, no tiene ningún efecto en la composición. Y dos reflexiones dan una traslación o una rotación, o la identidad (que son ambas, de manera trivial). La reflexión compuesta con cualquiera de estos podría cancelarse en una sola reflexión; de lo contrario, proporciona la única isometría de tres espejos disponible, una reflexión deslizante. Un par de traducciones siempre se reduce a una sola traducción; entonces los casos desafiantes implican rotaciones. Sabemos que una rotación compuesta por una rotación o una traslación debe producir una isometría uniforme. La composición con traslación produce otra rotación (en la misma cantidad, con el punto fijo desplazado), pero la composición con rotación puede producir traslación o rotación. A menudo se dice que la composición de dos rotaciones produce una rotación, y Euler demostró un teorema en ese sentido en 3D; sin embargo, esto sólo es cierto para rotaciones que comparten un punto fijo.

Traslación, rotación y subgrupos ortogonales.

Por tanto, tenemos dos nuevos tipos de subgrupos de isometría: todas las traslaciones y rotaciones que comparten un punto fijo. Ambos son subgrupos del subgrupo par, dentro del cual las traducciones son normales. Debido a que las traslaciones son un subgrupo normal, podemos factorizarlas dejando el subgrupo de isometrías con un punto fijo, el grupo ortogonal .

Adición de traducción con espejos.

Prueba

Si dos rotaciones comparten un punto fijo, entonces podemos girar el par de espejos de la segunda rotación para cancelar los espejos internos de la secuencia de cuatro (dos y dos), dejando solo el par externo. Así, la composición de dos rotaciones con un punto fijo común produce una rotación por la suma de los ángulos alrededor del mismo punto fijo.

Si dos traslaciones son paralelas, podemos deslizar el par de espejos de la segunda traslación para cancelar el espejo interior de la secuencia de cuatro, como en el caso de la rotación. Así, la composición de dos traslaciones paralelas produce una traslación por la suma de las distancias en la misma dirección. Ahora supongamos que las traslaciones no son paralelas y que la secuencia especular es A ₁ , A ₂ (la primera traducción) seguida de B ₁ , B ₂ (la segunda). Entonces A ₂ y B ₁ deben cruzarse, digamos en c ; y, al reasociarnos, somos libres de girar este par interno alrededor de c . Si pivotamos 90°, sucede algo interesante: ahora A ₁ y A ₂ ′ se cruzan en un ángulo de 90°, digamos en p , y también lo hacen B ₁ ′ y B ₂ , digamos en q . Nuevamente reasociando, giramos el primer par alrededor de p para hacer que B ₂ ″ pase por q , y giramos el segundo par alrededor de q para hacer que A ₁ ″ pase por p . Los espejos interiores ahora coinciden y se cancelan, y los espejos exteriores quedan paralelos. Así, la composición de dos traducciones no paralelas produce también una traducción. Además, los tres puntos de pivote forman un triángulo cuyos bordes dan la regla de suma de vectores de cabeza a cola : 2( p c ) + 2( c q ) = 2( p q ) . QED

Construcción de grupos anidados

La estructura de subgrupos sugiere otra forma de componer una isometría arbitraria:

Elige un punto fijo y un espejo a través de él.

1. Si la isometría es impar, utiliza el espejo; de lo contrario no lo hagas.
2. Si es necesario, gire alrededor del punto fijo.
3. Si es necesario, traduce.

Esto funciona porque las traslaciones son un subgrupo normal del grupo completo de isometrías, siendo el cociente el grupo ortogonal; y las rotaciones alrededor de un punto fijo son un subgrupo normal del grupo ortogonal, con cociente de una sola reflexión.

Subgrupos discretos

Grupo diédrico de simetrías pentágono regulares.

Los subgrupos analizados hasta ahora no sólo son infinitos, sino que también son continuos ( grupos de Lie ). Cualquier subgrupo que contenga al menos una traducción distinta de cero debe ser infinito, pero los subgrupos del grupo ortogonal pueden ser finitos. Por ejemplo, las simetrías de un pentágono regular consisten en rotaciones por múltiplos enteros de 72° (360°/5), junto con reflejos en los cinco espejos que bisecan perpendicularmente los bordes. Este es un grupo, D ₅ , con 10 elementos. Tiene un subgrupo, C ₅ , de la mitad de tamaño, omitiendo los reflejos. Estos dos grupos son miembros de dos familias, D _n y C _n , para cualquier n > 1. Juntas, estas familias constituyen los grupos en roseta .

Las traducciones no se pliegan sobre sí mismas, pero podemos tomar múltiplos enteros de cualquier traducción finita, o sumas de múltiplos de dos traducciones independientes, como un subgrupo. Estos generan la red de un mosaico periódico del plano.

También podemos combinar estos dos tipos de grupos discretos (las rotaciones y reflexiones discretas alrededor de un punto fijo y las traslaciones discretas) para generar grupos de frisos y grupos de papel tapiz . Curiosamente, sólo unos pocos de los grupos de punto fijo son compatibles con traducciones discretas. De hecho, la compatibilidad reticular impone una restricción tan severa que, hasta el isomorfismo , tenemos sólo 7 grupos distintos de frisos y 17 grupos distintos de papel tapiz. Por ejemplo, las simetrías del pentágono, D ₅ , son incompatibles con una red discreta de traslaciones. (Cada dimensión superior también tiene sólo un número finito de tales grupos cristalográficos , pero el número crece rápidamente; por ejemplo, 3D tiene 230 grupos y 4D tiene 4783.)

Isometrías en el plano complejo.

En términos de números complejos , las isometrías del plano son de la forma

$${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} \\z&\mapsto &a+\omega z\end{array}}}$$

o de la forma

$${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} \\z&\mapsto &a+\omega {\overline {z}}{\mbox{,}}\end{array}}}$$

para algunos números complejos a y ω con |ω| = 1. Esto es fácil de demostrar: si a = f (0) y ω = f (1) − f (0) y si se define

$${\displaystyle {\begin{array}{rccc}g\colon &\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} \\&z&\mapsto &{\frac {f(z)-a}{\omega }}{\mbox{,}}\end{array}}}$$

entonces g es una isometría, g (0) = 0 y g (1) = 1 . Entonces es fácil ver que g es la identidad o la conjugación, y el enunciado que se demuestra se deriva de esto y del hecho de que f ( z ) = a + ωg ( z ) .

Esto evidentemente está relacionado con la clasificación anterior de isometrías planas, ya que:

• funciones del tipo z → a + z son traducciones;
• funciones del tipo z → ω z son rotaciones (cuando |ω| = 1);
• la conjugación es un reflejo.

Tenga en cuenta que una rotación alrededor del punto complejo p se obtiene mediante aritmética compleja con

$${\displaystyle z\mapsto \omega (z-p)+p=\omega z+p(1-\omega )}$$

donde la última expresión muestra el mapeo equivalente a la rotación en 0 y una traslación. Por lo tanto, dada la isometría directa, se puede resolver para obtener como centro para una rotación equivalente, siempre que , es decir, siempre que la isometría directa no sea una traslación pura. Como afirma Cederberg, "una isometría directa es una rotación o una traslación". ^[1] ${\displaystyle z\mapsto \omega z+a,}$ ${\displaystyle p(1-\omega )=a}$ ${\displaystyle p=a/(1-\omega )}$ ${\displaystyle \omega \neq 1}$

Ver también

• Teorema de Beckman-Quarles , una caracterización de las isometrías como las transformaciones que preservan las distancias unitarias
• Congruencia (geometría)
• Coordinar rotaciones y reflexiones.
• Teorema de Hjelmslev , la afirmación de que los puntos medios de pares de puntos correspondientes en una isometría de rectas son colineales

Referencias

1. Cederberg, Judith N. (2001). Un curso de geometrías modernas . págs. 136-164. ISBN 978-0-387-98972-3., cita de la página 151

enlaces externos

• Isometrías planas