En geometría , el teorema de Hjelmslev , llamado así en honor a Johannes Hjelmslev , es la afirmación de que si los puntos P, Q, R... de una línea se asignan isométricamente a los puntos P´, Q´, R´... de otra línea en el mismo plano, entonces los puntos medios de los segmentos PP´, QQ´, RR´... también se encuentran en una línea.
La demostración es fácil si se asume la clasificación de isometrías planas . Si la isometría dada es impar, en cuyo caso es necesariamente o una reflexión en una línea o una reflexión de deslizamiento (el producto de tres reflexiones en una línea y dos perpendiculares a ella), entonces la afirmación es verdadera para cualquier punto en el plano: el punto medio de PP´ se encuentra sobre el eje de la reflexión (de deslizamiento) para cualquier P. Si la isometría es par, compóngala con la reflexión en la línea PQR para obtener una isometría impar con el mismo efecto en P, Q, R... y aplique la observación anterior.
La importancia del teorema reside en el hecho de que tiene una demostración diferente que no presupone el postulado de las paralelas y, por lo tanto, es válida también en geometría no euclidiana . Con su ayuda, la aplicación que asigna cada punto P del plano al punto medio del segmento P´P´´, donde P´y P´´ son las imágenes de P bajo una rotación (en cualquier sentido) de un ángulo agudo dado alrededor de un centro dado, se ve como una aplicación de colineación de todo el plano hiperbólico de una manera unívoca sobre el interior de un disco, proporcionando así una buena noción intuitiva de la estructura lineal del plano hiperbólico. De hecho, esto se llama transformación de Hjelmslev .