Espiral logarítmica

Curva de crecimiento autosemejante

Espiral logarítmica ( paso 10°)

Una sección del conjunto de Mandelbrot siguiendo una espiral logarítmica

Una espiral logarítmica , espiral equiangular o espiral de crecimiento es una curva espiral autosemejante que aparece a menudo en la naturaleza. El primero en describir una espiral logarítmica fue Alberto Durero (1525), quien la llamó "línea eterna" ("ewige Linie"). ^{[1] [2]} Más de un siglo después, la curva fue discutida por Descartes (1638), y luego investigada extensamente por Jacob Bernoulli , quien la llamó Spira mirabilis , "la espiral maravillosa".

La espiral logarítmica se puede distinguir de la espiral de Arquímedes por el hecho de que las distancias entre las espiras de una espiral logarítmica aumentan en progresión geométrica , mientras que en una espiral de Arquímedes estas distancias son constantes.

Definición

En coordenadas polares la espiral logarítmica se puede escribir como ^[3] ${\displaystyle (r,\varphi )}$

$${\displaystyle r=ae^{k\varphi },\quad \varphi \in \mathbb {R} ,}$$

$${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{k}}\ln {\frac {r}{a}},}$$

los logaritmos naturales ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle k\neq 0}$

En coordenadas cartesianas

La espiral logarítmica con la ecuación polar.

$${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$$

${\displaystyle (x=r\cos \varphi ,\,y=r\sin \varphi )}$

$${\displaystyle x=ae^{k\varphi }\cos \varphi ,\qquad y=ae^{k\varphi }\sin \varphi .}$$

plano complejo ${\displaystyle (z=x+iy,\,e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi )}$

$${\displaystyle z=ae^{(k+i)\varphi }.}$$

Spira mirabilis y Jacob Bernoulli

Spira mirabilis , en latín "espiral milagrosa", es otro nombre para la espiral logarítmica. Aunque esta curva ya había sido nombrada por otros matemáticos, el nombre específico (espiral "milagrosa" o "maravillosa") se lo dio Jacob Bernoulli , porque estaba fascinado por una de sus propiedades matemáticas únicas: el tamaño de la espiral. aumenta pero su forma permanece inalterada con cada curva sucesiva, una propiedad conocida como autosimilitud . Posiblemente como resultado de esta propiedad única, la spira mirabilis ha evolucionado en la naturaleza, apareciendo en ciertas formas de crecimiento, como conchas de nautilo y cabezas de girasol . Jacob Bernoulli quería grabar una espiral de este tipo en su lápida junto con la frase " Eadem mutata resurgo " ("Aunque cambiado, resucitaré igual"), pero, por error,se colocó allí una espiral de Arquímedes . ^{[4] [5]}

Propiedades

Definición de ángulo de pendiente y sector.

Animación que muestra el ángulo constante entre un círculo de intersección centrado en el origen y una espiral logarítmica.

La espiral logarítmica tiene las siguientes propiedades (ver Espiral ): ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }\;,\;k\neq 0,}$

• Ángulo de paso : ${\displaystyle \tan \alpha =k\quad ({\color {red}{\text{constant !}}})}$
  con ángulo de inclinación (ver diagrama y animación). ${\displaystyle \alpha }$
  (En el caso del ángulo sería 0 y la curva un círculo con radio ). ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle a}$
• Curvatura : ${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{r{\sqrt {1+k^{2}}}}}={\frac {\cos \alpha }{r}}}$
• Longitud de arco : ${\displaystyle L(\varphi _{1},\varphi _{2})={\frac {\sqrt {k^{2}+1}}{k}}{\big (}r(\varphi _{2})-r(\varphi _{1}){\big )}={\frac {r(\varphi _{2})-r(\varphi _{1})}{\sin \alpha }}}$
  Especialmente si . ${\displaystyle \ L(-\infty ,\varphi _{2})={\frac {r(\varphi _{2})}{\sin \alpha }}\quad ({\color {red}{\text{finite !}}})\;}$ ${\displaystyle k>0}$
  Esta propiedad fue descubierta por primera vez por Evangelista Torricelli incluso antes de que se inventara el cálculo . ^[6]
• Área sectorial: ${\displaystyle A={\frac {r(\varphi _{2})^{2}-r(\varphi _{1})^{2}}{4k}}}$
• Inversión: la inversión circular ( ) asigna la espiral logarítmica a la espiral logarítmica ${\displaystyle r\to 1/r}$ ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$ ${\displaystyle r={\tfrac {1}{a}}e^{-k\varphi }\,.}$

Ejemplos para ${\displaystyle a=1,2,3,4,5}$

• Rotar, escalar : Al girar la espiral en ángulo se obtiene la espiral , que es la espiral original escalada uniformemente (en el origen) en . ${\displaystyle \varphi _{0}}$ ${\displaystyle r=ae^{-k\varphi _{0}}e^{k\varphi }}$ ${\displaystyle e^{-k\varphi _{0}}}$
  Escalar por da la misma curva. ${\displaystyle \;e^{kn2\pi }\;,n=\pm 1,\pm 2,...,\;}$
• Autosemejanza : Resultado de la propiedad anterior:
  Una espiral logarítmica escalada es congruente (por rotación) con la curva original.
  Ejemplo: El diagrama muestra espirales con ángulo de pendiente y . Por lo tanto, todas son copias a escala del rojo. Pero también se pueden generar girando la roja en ángulos respectivamente. Todas las espirales no tienen puntos en común (ver propiedad sobre función exponencial compleja ). ${\displaystyle \alpha =20^{\circ }}$ ${\displaystyle a=1,2,3,4,5}$ ${\displaystyle -109^{\circ },-173^{\circ },-218^{\circ },-253^{\circ }}$
• Relación con otras curvas: Las espirales logarítmicas son congruentes con sus propias involutas , evolutas y las curvas pedales en función de sus centros.
• Función exponencial compleja : La función exponencial asigna exactamente todas las líneas no paralelas al eje real o imaginario en el plano complejo, a todas las espirales logarítmicas en el plano complejo con centro en : ${\displaystyle 0}$
  $${\displaystyle z(t)=\underbrace {(kt+b)\;+it} _{\text{line}}\quad \to \quad e^{z(t)}=e^{kt+b}\cdot e^{it}=\underbrace {e^{b}e^{kt}(\cos t+i\sin t)} _{\text{log. spiral}}}$$
  El ángulo de paso de la espiral logarítmica es el ángulo entre la línea y el eje imaginario. ${\displaystyle \alpha }$

Casos especiales y aproximaciones.

La espiral áurea es una espiral logarítmica que crece hacia afuera en un factor de la proporción áurea por cada 90 grados de rotación (ángulo de inclinación de aproximadamente 17,03239 grados). Puede aproximarse mediante una "espiral de Fibonacci", formada por una secuencia de cuartos de círculo con radios proporcionales a los números de Fibonacci .

En naturaleza

Corte de la concha de un nautilo que muestra las cámaras dispuestas en una espiral aproximadamente logarítmica. La espiral trazada (curva discontinua azul) se basa en el parámetro de tasa de crecimiento , lo que da como resultado un paso de . ${\displaystyle b=0.1759}$ ${\displaystyle \arctan b\approx 10^{\circ }}$

En varios fenómenos naturales se pueden encontrar curvas que se acercan a ser espirales logarítmicas. A continuación se muestran algunos ejemplos y razones:

• El acercamiento de un halcón a su presa en la persecución clásica , suponiendo que la presa viaja en línea recta. Su visión más nítida es en ángulo con respecto a su dirección de vuelo; este ángulo es el mismo que el paso de la espiral. ^[7]
• El acercamiento de un insecto a una fuente de luz. Están acostumbrados a tener la fuente de luz en un ángulo constante con respecto a su trayectoria de vuelo. Normalmente el Sol (o la Luna para las especies nocturnas) es la única fuente de luz y volar en esa dirección resultará en una línea prácticamente recta. ^[8]
• Los brazos de las galaxias espirales . ^[9] La Vía Láctea tiene varios brazos espirales, cada uno de los cuales es aproximadamente una espiral logarítmica con una inclinación de aproximadamente 12 grados. ^[10] Sin embargo, aunque las galaxias espirales a menudo han sido modeladas como espirales logarítmicas, espirales de Arquímedes o espirales hiperbólicas , sus ángulos de paso varían con la distancia desde el centro galáctico, a diferencia de las espirales logarítmicas (para las cuales este ángulo no varía), y también en varianza con las otras espirales matemáticas utilizadas para modelarlos. ^[11]
• Los nervios de la córnea (es decir, los nervios corneales de la capa subepitelial terminan cerca de la capa epitelial superficial de la córnea en un patrón de espiral logarítmico). ^[12]
• Las bandas de ciclones tropicales , como los huracanes. ^[13]
• Muchas estructuras biológicas , incluidas las conchas de los moluscos . ^[14] En estos casos, la razón puede ser la construcción a partir de formas similares en expansión, como es el caso de las figuras poligonales .
• Se pueden formar playas en espiral logarítmica como resultado de la refracción y difracción de las olas en la costa. Half Moon Bay (California) es un ejemplo de este tipo de playa. ^[15]

En aplicaciones de ingeniería

• Las antenas espirales logarítmicas son antenas independientes de la frecuencia, es decir, antenas cuyo patrón de radiación, impedancia y polarización permanecen prácticamente sin modificaciones en un amplio ancho de banda. ^[17]
• Cuando se fabrican mecanismos mediante máquinas de fabricación sustractiva (como cortadoras láser ), puede haber una pérdida de precisión cuando el mecanismo se fabrica en una máquina diferente debido a la diferencia de material eliminado (es decir, el corte ) por cada máquina en el corte. proceso. Para ajustar esta variación de corte, se ha utilizado la propiedad autosimilar de la espiral logarítmica para diseñar un mecanismo de cancelación de corte para cortadoras láser. ^[18]
• Los engranajes cónicos en espiral logarítmicos son un tipo de engranaje cónico en espiral cuya línea central del diente del engranaje es una espiral logarítmica. Una espiral logarítmica tiene la ventaja de proporcionar ángulos iguales entre la línea central del diente y las líneas radiales, lo que le da más estabilidad a la transmisión del engrane. ^[19]

• En la escalada en roca , los dispositivos de leva accionados por resorte están hechos de levas metálicas cuyas superficies de agarre exteriores tienen forma de arcos de espirales logarítmicas. Cuando el dispositivo se inserta en una grieta de roca, la rotación de estas levas expande su ancho combinado para igualar el ancho de la grieta, mientras mantiene un ángulo constante contra la superficie de la roca (en relación con el centro de la espiral, donde se ejerce la fuerza). aplicado). El ángulo de paso de la espiral se elige para optimizar la fricción del dispositivo contra la roca. ^[20]

Ver también

• Espiral de Arquímedes
• epispiral
• Lista de espirales
• Problema de los ratones , un problema geométrico que pregunta por el camino que siguen los ratones que se persiguen y cuya solución es una espiral logarítmica
• Teorema de Tait-Kneser

Referencias

1. Alberto Durero (1525). Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien, Ebenen unnd gantzen corporen.
2. Martillo, Øyvind (2016). "El sucio secreto de Durero". La forma perfecta: historias en espiral . Publicaciones internacionales Springer. págs. 173-175. doi :10.1007/978-3-319-47373-4_41.
3. Priya Hemenway (2005). Proporción divina: Φ Phi en el arte, la naturaleza y la ciencia . ISBN de Sterling Publishing Co. 978-1-4027-3522-6.
4. Livio, Mario (2002). La proporción áurea: la historia de Phi, el número más asombroso del mundo . Nueva York: Libros de Broadway. ISBN 978-0-7679-0815-3.
5. Yates, RC: Manual sobre curvas y sus propiedades , JW Edwards (1952), "Evolutes". pag. 206.
6. Carl Benjamín Boyer (1949). La historia del cálculo y su desarrollo conceptual. Publicaciones de Courier Dover. pag. 133.ISBN​ 978-0-486-60509-8.
7. Chin, Gilbert J. (8 de diciembre de 2000). "Biología de organismos: volando a lo largo de una espiral logarítmica". Ciencia . 290 (5498): 1857. doi :10.1126/science.290.5498.1857c. S2CID  180484583.
8. John Himmelman (2002). Descubriendo polillas: joyas nocturnas en tu propio patio trasero. Down East Enterprise Inc. pag. 63.ISBN​ 978-0-89272-528-1.
9. G. Bertin y CC Lin (1996). Estructura espiral en las galaxias: una teoría de ondas de densidad. Prensa del MIT. pag. 78.ISBN​ 978-0-262-02396-2.
10. David J. Darling (2004). El libro universal de las matemáticas: de Abracadabra a las paradojas de Zenón. John Wiley e hijos. pag. 188.ISBN​ 978-0-471-27047-8.
11. Sávchenko, SS; Reshetnikov, vicepresidente (septiembre de 2013). "Variaciones del ángulo de inclinación en galaxias espirales". Avisos mensuales de la Real Sociedad Astronómica . 436 (2): 1074–1083. arXiv : 1309.4308 . doi : 10.1093/mnras/stt1627 .
12. CQ Yu CQ y MI Rosenblatt, "Neurofluorescencia corneal transgénica en ratones: un nuevo modelo para la investigación in vivo de la estructura y regeneración nerviosa", Invest Ophthalmol Vis Sci. Abril de 2007; 48(4):1535-42.
13. Andrew Gray (1901). Tratado de física, volumen 1. Churchill. págs. 356–357.
14. Michael Cortie (1992). "La forma, función y síntesis de la concha de los moluscos". En István Hargittai y Clifford A. Pickover (ed.). Simetría espiral . Científico mundial. pag. 370.ISBN​ 978-981-02-0615-4.
15. Allan Thomas Williams y Anton Micallef (2009). Gestión de playas: principios y práctica. Escaneo terrestre. pag. 14.ISBN​ 978-1-84407-435-8.
16. "mecanismos de cancelación de cortes". hpi.de.​ Consultado el 26 de diciembre de 2020 .
17. Mayes, PE (1992). "Antenas independientes de la frecuencia y sus derivados de banda ancha". Actas del IEEE . 80 (1): 103–112. Código Bib : 1992IEEEP..80..103M. doi :10.1109/5.119570.
18. Roumen, Thijs; Apel, Ingo; Shigeyama, Jotaro; Mahoma, Abdullah; Baudisch, Patrick (20 de octubre de 2020). "Mecanismos de cancelación de corte: hacer que los mecanismos de corte por láser funcionen en diferentes cortadoras láser". Actas del 33º Simposio anual de ACM sobre tecnología y software de interfaz de usuario . Evento virtual EE. UU.: ACM. págs. 293–303. doi :10.1145/3379337.3415895. ISBN 978-1-4503-7514-6. S2CID  222805227.
19. Jiang, Jianfeng; Luo, Qingsheng; Wang, Liting; Qiao, Lijun; Li, Minghao (2020). "Revisión sobre engranajes cónicos en espiral logarítmicos". Revista de la Sociedad Brasileña de Ciencias e Ingenierías Mecánicas . 42 (8): 400. doi :10.1007/s40430-020-02488-y. ISSN  1678-5878.
20. Todesco, Gian Marco (2018). "Engranajes extraños". En Emmer, Michele; Abate, Marco (eds.). Imagine Math 6: entre cultura y matemáticas . Publicaciones internacionales Springer. págs. 179-193. doi :10.1007/978-3-319-93949-0_16. ISBN 9783319939490.

• Weisstein, Eric W. "Espiral logarítmica". MundoMatemático .
• Jim Wilson, Espiral equiangular (o espiral logarítmica) y sus curvas relacionadas, Universidad de Georgia (1999)
• Alexander Bogomolny , Spira Mirabilis - Espiral maravillosa, en el corte del nudo

enlaces externos

• Historia y matemáticas de Spira mirabilis.
• Imagen astronómica del día de la NASA: el huracán Isabel contra la galaxia Whirlpool (25 de septiembre de 2003)
• Imagen astronómica del día de la NASA: el tifón Rammasun contra la galaxia Molinete (17 de mayo de 2008)
• SpiralZoom.com, un sitio web educativo sobre la ciencia de la formación de patrones, espirales en la naturaleza y espirales en la imaginación mítica.
• Exploración en línea usando JSXGraph (JavaScript)
• Conferencia de YouTube sobre el problema de los ratones de Zenón y las espirales logarítmicas