Polígono regular

Polígono equiangular y equilátero

En geometría euclidiana , un polígono regular es un polígono que es equiangular directo (todos los ángulos tienen la misma medida) y equilátero (todos los lados tienen la misma longitud). Los polígonos regulares pueden ser convexos , estrellados o sesgados . En el límite , una secuencia de polígonos regulares con un número creciente de lados se aproxima a un círculo , si el perímetro o área es fijo, o a un apeirogon regular (efectivamente, una línea recta ), si la longitud del borde es fija.

Propiedades generales

Polígonos regulares convexos y en forma de estrella con de 3 a 12 vértices etiquetados con sus símbolos de Schläfli

Estas propiedades se aplican a todos los polígonos regulares, ya sean convexos o estrellados .

Un polígono regular de n lados tiene simetría rotacional de orden n .

Todos los vértices de un polígono regular se encuentran en un círculo común (el círculo circunscrito ); es decir, son puntos concíclicos. Es decir, un polígono regular es un polígono cíclico .

Junto con la propiedad de los lados de igual longitud, esto implica que todo polígono regular también tiene un círculo inscrito o incírculo que es tangente a cada lado en el punto medio. Por tanto, un polígono regular es un polígono tangencial .

Un polígono regular de n lados se puede construir con compás y regla si y sólo si los factores primos impares de n son primos de Fermat distintos . Ver polígono construible .

Un polígono regular de n lados se puede construir con origami si y sólo si para algunos , donde cada distinto es un primo de Pierpont . ^[1] ${\displaystyle n=2^{a}3^{b}p_{1}\cdots p_{r}}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle p_{i}}$

Simetría

El grupo de simetría de un polígono regular de n lados es el grupo diédrico D _n (de orden 2 n ): D ₂ , D 3 , D 4 , ... Consiste en las rotaciones en C _n , junto con la simetría de reflexión en n ejes . que pasan por el centro. Si n es par, entonces la mitad de estos ejes pasan por dos vértices opuestos y la otra mitad por el punto medio de lados opuestos. Si n es impar, entonces todos los ejes pasan por un vértice y el punto medio del lado opuesto.

Polígonos convexos regulares

Todos los polígonos simples regulares (un polígono simple es aquel que no se cruza en ninguna parte) son convexos. Los que tienen el mismo número de lados también son semejantes .

Un polígono regular convexo de n lados se denota por su símbolo de Schläfli { n }. Para n < 3, tenemos dos casos degenerados :

monógono {1}

Degenerar en el espacio ordinario . (La mayoría de las autoridades no consideran el monógono como un verdadero polígono, en parte por esto y también porque las fórmulas siguientes no funcionan y su estructura no es la de ningún polígono abstracto ).

Digón {2}; un "segmento de recta doble"

Degenerar en el espacio ordinario . (Algunas autoridades no consideran el digón como un verdadero polígono debido a esto).

En determinados contextos todos los polígonos considerados serán regulares. En tales circunstancias, se acostumbra eliminar el prefijo regular. Por ejemplo, todas las caras de los poliedros uniformes deben ser regulares y las caras se describirán simplemente como triángulo, cuadrado, pentágono, etc.

Como corolario de la fórmula de la cuerda anular , el área delimitada por el círculo circunstante y el círculo incírculo de cada polígono regular unitario convexo es π /4

Anglos

Para un n -gon convexo regular, cada ángulo interior tiene una medida de:

${\displaystyle {\frac {180(n-2)}{n}}}$grados;

${\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{n}}}$radianes; o

${\displaystyle {\frac {(n-2)}{2n}}}$vueltas completas ,

y cada ángulo exterior (es decir, suplementario al ángulo interior) tiene una medida de grados, siendo la suma de los ángulos exteriores igual a 360 grados o 2π radianes o una vuelta completa. ${\displaystyle {\tfrac {360}{n}}}$

Cuando n se acerca al infinito, el ángulo interno se acerca a 180 grados. Para un polígono regular con 10.000 lados (un miriágono ), el ángulo interno es 179,964°. A medida que aumenta el número de lados, el ángulo interno puede acercarse mucho a 180° y la forma del polígono se acerca a la de un círculo. Sin embargo, el polígono nunca puede convertirse en un círculo. El valor del ángulo interno nunca puede llegar a ser exactamente igual a 180°, ya que la circunferencia se convertiría efectivamente en una línea recta (ver apeirogon ). Por esta razón, un círculo no es un polígono con un número infinito de lados.

Diagonales

Para n > 2, el número de diagonales es ; es decir, 0, 2, 5, 9, ..., para un triángulo, cuadrado, pentágono, hexágono, .... Las diagonales dividen el polígono en 1, 4, 11, 24,... piezas OEIS : A007678 . ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-3)}$

Para un n -gon regular inscrito en un círculo de radio unitario, el producto de las distancias desde un vértice dado a todos los demás vértices (incluidos los vértices adyacentes y los vértices conectados por una diagonal) es igual a n .

Puntos en el avión

Para un n -gon regular simple con circunradio R y distancias d _i desde un punto arbitrario en el plano hasta los vértices, tenemos ^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}+3R^{4}={\biggl (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}+R^{2}{\biggr )}^{2}.}$

Para potencias superiores de distancias desde un punto arbitrario en el plano hasta los vértices de un -gón regular, si ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle S_{n}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}}$,

entonces ^[3]

${\displaystyle S_{n}^{(2m)}=\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor m/2\right\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}\left(S_{n}^{(2)}-R^{2}\right)^{k}\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m-2k}}$,

y

${\displaystyle S_{n}^{(2m)}=\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor m/2\right\rfloor }{\frac {1}{2^{k}}}{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}\left(S_{n}^{(4)}-\left(S_{n}^{(2)}\right)^{2}\right)^{k}\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m-2k}}$,

donde es un entero positivo menor que . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

Si es la distancia desde un punto arbitrario en el plano al centroide de un -gón regular con circunradio , entonces ^[3] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}=n{\Biggl (}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor m/2\right\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}L^{2k}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{m-2k}{\Biggr )}}$,

donde = 1, 2,… ,. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n-1}$

Puntos interiores

Para un n -gón regular, la suma de las distancias perpendiculares desde cualquier punto interior a los n lados es n veces la apotema ^{[4] : p. 72} (siendo la apotema la distancia desde el centro a cualquier lado). Ésta es una generalización del teorema de Viviani para el caso n = 3. ^{[5] [6]}

Circunradio

Pentágono regular ( n = 5) con lado s , circunradio R y apotema a

Gráficas de lado ,  s ; apotema ,  a ; y área ,  A de polígonos regulares de n lados y circunradio 1, con base ,  b de un rectángulo de la misma área . La línea verde muestra el caso n = 6 .

El circunradio R desde el centro de un polígono regular hasta uno de los vértices está relacionado con la longitud del lado s o con la apotema a por

${\displaystyle R={\frac {s}{2\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {a}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\quad _{,}\quad a={\frac {s}{2\tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}$

Para polígonos construibles , existen expresiones algebraicas para estas relaciones; ver Polígono bicéntrico#Polígonos regulares .

La suma de las perpendiculares desde los vértices de un n -gón regular a cualquier línea tangente al círculo circunstante es igual a n veces el circunradio. ^{[4] : pág. 73}

La suma de las distancias al cuadrado desde los vértices de un n -gón regular hasta cualquier punto de su circuncisión es igual a 2 nR ² donde R es el circunradio. ^{[4] : pág.73}

La suma de las distancias al cuadrado desde los puntos medios de los lados de un n -gón regular hasta cualquier punto de la circunferencia circunscrita es 2 nR ² −1/4ns ² , donde s es la longitud del lado y R es el circunradio. ^{[4] : pág. 73}

Si son las distancias desde los vértices de un -gón regular hasta cualquier punto de su circunferencia circunscrita, entonces ^[3] ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle 3{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}{\biggr )}^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}}$.

Disecciones

Coxeter afirma que cada zonogon (un gon de 2 m cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) se puede diseccionar o ${\displaystyle {\tbinom {n}{2}}}$1/2m ( m − 1) paralelogramos. Estos mosaicos están contenidos como subconjuntos de vértices, aristas y caras en proyecciones ortogonales m -cubos . ^[7] En particular, esto es cierto para cualquier polígono regular con un número par de lados, en cuyo caso todos los paralelogramos son rombos. La lista OEIS : A006245 proporciona el número de soluciones para polígonos más pequeños.

Área

El área A de un polígono regular convexo de n lados que tiene lado s , circunradio R , apotema a y perímetro p viene dada por ^{[8] [9]}

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}nsa={\tfrac {1}{2}}pa={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)=na^{2}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)}$

Para polígonos regulares con lado s = 1, circunradio R = 1 o apotema a = 1, esto produce la siguiente tabla: ^[10] ( Desde as ${\displaystyle \cot x\rightarrow 1/x}$ ${\displaystyle x\rightarrow 0}$ , el área cuando tiende a crecer ). ${\displaystyle s=1}$ ${\displaystyle n^{2}/4\pi }$ ${\displaystyle n}$

Comparación de tamaños de polígonos regulares con la misma longitud de arista, de tres a sesenta lados. El tamaño aumenta sin límite a medida que el número de lados se acerca al infinito.

De todos los n -gonos con un perímetro dado, el que tiene mayor área es regular. ^[19]

polígono construible

Algunos polígonos regulares son fáciles de construir con compás y regla ; otros polígonos regulares no se pueden construir en absoluto. Los antiguos matemáticos griegos sabían construir un polígono regular de 3, 4 o 5 lados, ^{[20] : p. xi} y sabían cómo construir un polígono regular con el doble de lados que un polígono regular dado. ^{[20] : págs. 49–50} Esto llevó a plantear la pregunta: ¿es posible construir todos los n -gonos regulares con compás y regla? Si no, ¿qué n -gonos son construibles y cuáles no?

Carl Friedrich Gauss demostró la constructibilidad del 17-gón regular en 1796. Cinco años más tarde, desarrolló la teoría de los períodos gaussianos en sus Disquisitiones Arithmeticae . Esta teoría le permitió formular una condición suficiente para la constructibilidad de polígonos regulares:

Se puede construir un n -gon regular con compás y regla si n es el producto de una potencia de 2 y cualquier número de primos de Fermat distintos (incluido ninguno).

(Un primo de Fermat es un número primo de la forma ) Gauss afirmó sin pruebas que esta condición también era necesaria , pero nunca publicó su prueba. Pierre Wantzel dio una prueba completa de necesidad en 1837. El resultado se conoce como teorema de Gauss-Wantzel . ${\displaystyle 2^{\left(2^{n}\right)}+1.}$

De manera equivalente, un n -gón regular es construible si y sólo si el coseno de su ángulo común es un número construible , es decir, puede escribirse en términos de las cuatro operaciones aritméticas básicas y la extracción de raíces cuadradas.

Polígonos sesgados regulares

Un polígono sesgado regular en 3 espacios puede verse como caminos no planos que zigzaguean entre dos planos paralelos, definidos como los bordes laterales de un antiprisma uniforme . Todas las aristas y ángulos internos son iguales.

De manera más general, los polígonos sesgados regulares se pueden definir en n -espacio. Los ejemplos incluyen los polígonos de Petrie , caminos poligonales de aristas que dividen un politopo regular en dos mitades y vistos como un polígono regular en proyección ortogonal.

En el límite infinito, los polígonos sesgados regulares se convierten en apeirógonos sesgados .

Polígonos de estrellas regulares

Un polígono regular no convexo es un polígono regular en forma de estrella . El ejemplo más común es el pentagrama , que tiene los mismos vértices que un pentágono , pero conecta vértices alternos.

Para un polígono estrella de n lados, el símbolo de Schläfli se modifica para indicar la densidad o "estrellado" m del polígono, como { n / m }. Si m es 2, por ejemplo, entonces se une uno de cada dos puntos. Si m es 3, entonces se une uno de cada tres puntos. El límite del polígono gira alrededor del centro m veces.

Las estrellas regulares (no degeneradas) de hasta 12 lados son:

• Pentagrama – {5/2}
• Heptagrama : {7/2} y {7/3}
• Octagrama – {8/3}
• Eneagrama : {9/2} y {9/4}
• Decagramo – {10/3}
• Endecagrama : {11/2}, {11/3}, {11/4} y {11/5}
• Dodecagrama – {12/5}

m y n deben ser coprimos , o la figura degenerará.

Las estrellas regulares degeneradas de hasta 12 lados son:

• Tetrágono – {4/2}
• Hexágonos: {6/2}, {6/3}
• Octágonos: {8/2}, {8/4}
• Eneágono – {9/3}
• Decágonos: {10/2}, {10/4} y {10/5}
• Dodecágonos: {12/2}, {12/3}, {12/4} y {12/6}

Dependiendo de la derivación precisa del símbolo de Schläfli, las opiniones difieren sobre la naturaleza de la figura degenerada. Por ejemplo, {6/2} puede tratarse de dos maneras:

• Durante gran parte del siglo XX (ver por ejemplo Coxeter (1948)), comúnmente hemos tomado /2 para indicar la unión de cada vértice de un {6} convexo con sus vecinos cercanos a dos pasos de distancia, para obtener el compuesto regular de dos triángulos. , o hexagrama .
  Coxeter aclara este compuesto regular con una notación {kp}[k{p}]{kp} para el compuesto {p/k}, por lo que el hexagrama se representa como {6}[2{3}]{6}. ^[23] De manera más compacta, Coxeter también escribe 2 {n/2}, como 2 {3} para un hexagrama tan compuesto como alternancias de polígonos regulares de lados pares, con cursiva en el factor principal para diferenciarlo de la interpretación coincidente. ^[24]
• Muchos geómetras modernos, como Grünbaum (2003), ^[22] consideran que esto es incorrecto. Toman /2 para indicar que se mueven dos lugares alrededor del {6} en cada paso, obteniendo un triángulo de "doble enrollamiento" que tiene dos vértices superpuestos en cada punto de esquina y dos aristas a lo largo de cada segmento de línea. Esto no sólo encaja mejor con las teorías modernas de los politopos abstractos , sino que también copia más fielmente la forma en que Poinsot (1809) creó sus polígonos estelares: tomando un solo trozo de alambre y doblándolo en puntos sucesivos en el mismo ángulo. hasta que la figura se cerró.

Dualidad de polígonos regulares

Todos los polígonos regulares son autoduales a la congruencia, y para n impares son autoduales a la identidad.

Además, las figuras estelares regulares (compuestas), al estar compuestas por polígonos regulares, también son autoduales.

Polígonos regulares como caras de poliedros.

Un poliedro uniforme tiene polígonos regulares como caras, de modo que por cada dos vértices hay una isometría que se mapea entre sí (tal como ocurre con un polígono regular).

Un poliedro cuasiregular es un poliedro uniforme que tiene sólo dos tipos de caras que se alternan alrededor de cada vértice.

Un poliedro regular es un poliedro uniforme que tiene un solo tipo de cara.

Los poliedros convexos restantes (no uniformes) con caras regulares se conocen como sólidos de Johnson .

Un poliedro que tiene como caras triángulos regulares se llama deltaedro .

Ver también

• Mosaicos euclidianos por polígonos regulares convexos
• sólido platónico
• Lista de politopos y compuestos regulares
• Polígono equilátero
• círculo de carlyle

Notas

1. Hwa, joven Lee (2017). Números construibles en origami (PDF) (tesis de maestría). Universidad de Georgia. págs. 55–59.
2. Parque, Poo-Sung. "Distancias regulares de politopos", Forum Geométricorum 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf
3. , Mamuka (2020). "Promedios cíclicos de polígonos regulares y sólidos platónicos". Comunicaciones en Matemáticas y Aplicaciones . 11 : 335–355.
4. Johnson, Roger A., ​​Geometría euclidiana avanzada , Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
5. Pickover, Clifford A, El libro de matemáticas , Sterling, 2009: pág. 150
6. Chen, Zhibo y Liang, Tian. "Lo contrario del teorema de Viviani", The College Mathematics Journal 37(5), 2006, págs. 390–391.
7. Coxeter , Ensayos y recreaciones matemáticas, decimotercera edición, p.141
8. "Referencia abierta de matemáticas" . Consultado el 4 de febrero de 2014 .
9. "Palabras matemáticas".
10. Resultados para R = 1 y a = 1 obtenidos con Maple , usando la definición de función:

    f := operador de opciones proc ( n ) , flecha ; [ [ convertir ( 1/4 * n * cot ( Pi / n ) , radical ) , convertir ( 1/4 * n * cot ( Pi / n ) , flotante ) ] , [ convertir ( 1/2 * n * sin ( _ _ _ _ _ 2 * Pi / n ) , radical ) , convertir ( 1 / 2 * n * sin ( 2 * Pi / n ) , flotante ) , convertir ( 1 / 2 * n * sin ( 2 * Pi / n ) / Pi , flotar )] , [ convertir ( n * tan ( Pi / n ) , radical ) , convertir ( n * tan ( Pi / n ) , flotante ) , convertir ( n * tan ( Pi / n ) / Pi , flotante )] ] fin proceso                      

    Las expresiones para n = 16 se obtienen aplicando dos veces la fórmula del medio ángulo tangente a tan(π/4)
11. ${\displaystyle {\tfrac {15}{8}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\right)}$
12. ${\displaystyle {\tfrac {15}{16}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}$
13. ${\displaystyle {\tfrac {15}{2}}\left(3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}-{\sqrt {2\left(25-11{\sqrt {5}}\right)}}\right)}$
14. ${\displaystyle 4\left(1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {2\left(2+{\sqrt {2}}\right)}}\right)}$
15. ${\displaystyle 16\left(1+{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {2\left(2-{\sqrt {2}}\right)}}-1\right)}$
16. ${\displaystyle 5\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)}$
17. ${\displaystyle {\tfrac {5}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)}$
18. ${\displaystyle 20\left(1+{\sqrt {5}}-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)}$
19. Chakerian, GD "Una visión distorsionada de la geometría". Cap. 7 en Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Asociación Matemática de América, 1979: 147.
20. Negrita, Benjamín. Problemas famosos de geometría y cómo resolverlos , Publicaciones de Dover, 1982 (orig. 1969).
21. Kappraff, Jay (2002). Más allá de toda medida: una visita guiada a través de la naturaleza, el mito y el número. Científico mundial. pag. 258.ISBN _ 978-981-02-4702-7.
22. Tus poliedros son iguales que mis poliedros? Branko Grünbaum (2003), figura 3
23. Politopos regulares, p.95
24. Coxeter, Las densidades de los politopos regulares II, 1932, p.53

Referencias

• Lee, Hwa Young; "Números construibles en origami".
• Coxeter, HSM (1948). "Politopos regulares". Methuen y compañía. {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )
• Grünbaum, B.; ¿Tus poliedros son iguales que mis poliedros?, Discretos y computacionales. geom: el festival de Goodman-Pollack , ed. Aronov y otros, Springer (2003), págs. 461–488.
• Poinsot, L .; Memoria sobre los polígonos y poliedres. J. de l'École Polytechnique 9 (1810), págs. 16–48.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Polígono regular". MundoMatemático .
• Descripción del polígono regular con animación interactiva.
• Círculo de un polígono regular con animación interactiva.
• Área de un Polígono Regular Tres fórmulas diferentes, con animación interactiva
• Construcciones de polígonos regulares de artistas del Renacimiento en Convergencia