En geometría , un poliedro uniforme tiene polígonos regulares como caras y es transitivo por vértices (es decir, hay una isometría que asigna cualquier vértice a cualquier otro). De ello se deduce que todos los vértices son congruentes .
Los poliedros uniformes pueden ser regulares (si también son transitivos de caras y aristas ), cuasi-regulares (si también son transitivos de aristas pero no de caras) o semirregulares (si no son transitivos de aristas ni de caras). Las caras y los vértices no tienen por qué ser convexos , por lo que muchos de los poliedros uniformes también son poliedros en estrella .
Hay dos clases infinitas de poliedros uniformes, junto con otros 75 poliedros:
Por tanto, 5 + 13 + 4 + 53 = 75.
También hay muchos poliedros uniformes degenerados con pares de aristas que coinciden, incluido uno encontrado por John Skilling llamado el gran dirhombidodecaedro disnub (figura de Skilling).
Los poliedros duales a poliedros uniformes son transitivos de caras (isoédricos) y tienen figuras de vértices regulares , y generalmente se clasifican en paralelo con su poliedro dual (uniforme). El dual de un poliedro regular es regular, mientras que el dual de un sólido de Arquímedes es un sólido catalán .
El concepto de poliedro uniforme es un caso especial del concepto de politopo uniforme , que también se aplica a formas en espacios de dimensiones superiores (o inferiores).
El Pecado Original en la teoría de los poliedros se remonta a Euclides, y a través de Kepler, Poinsot, Cauchy y muchos otros continúa afectando a todos los trabajos sobre este tema (incluido el del presente autor). Surge del hecho de que el uso tradicional del término "poliedros regulares" era, y es, contrario a la sintaxis y a la lógica: las palabras parecen implicar que estamos tratando, entre los objetos que llamamos "poliedros", con aquellos especiales los que merecen ser llamados "regulares". Pero en cada etapa -Euclid, Kepler, Poinsot, Hess, Brückner, ...- los escritores no lograron definir cuáles son los "poliedros" entre los que se encuentran los "regulares".
(Branko Grünbaum 1994)
Coxeter, Longuet-Higgins y Miller (1954) definen los poliedros uniformes como poliedros transitivos por vértices con caras regulares. Definen un poliedro como un conjunto finito de polígonos de modo que cada lado de un polígono es un lado de otro polígono, de modo que ningún subconjunto propio no vacío de los polígonos tiene la misma propiedad. Por polígono se refieren implícitamente a un polígono en un espacio euclidiano tridimensional; se permite que estos no sean convexos y se crucen entre sí.
Existen algunas generalizaciones del concepto de poliedro uniforme. Si se descarta el supuesto de conectividad, obtenemos compuestos uniformes, que pueden dividirse como una unión de poliedros, como el compuesto de 5 cubos. Si eliminamos la condición de que la realización del poliedro no sea degenerada, obtenemos los llamados poliedros uniformes degenerados. Estos requieren una definición más general de poliedros. Grünbaum (1994) dio una definición bastante complicada de poliedro, mientras que McMullen y Schulte (2002) dieron una definición más simple y general de poliedro: en su terminología, un poliedro es un politopo abstracto bidimensional con una longitud no degenerada. -Realización dimensional. Aquí un politopo abstracto es un conjunto de sus "caras" que satisfacen varias condiciones, una realización es una función desde sus vértices hasta algún espacio, y la realización se llama no degenerada si dos caras distintas del politopo abstracto tienen realizaciones distintas. Algunas de las formas en que pueden degenerarse son las siguientes:
Las 57 formas no prismáticas no convexas, con excepción del gran dirhombicosidodecaedro , están compiladas por construcciones de Wythoff dentro de los triángulos de Schwarz .
Los poliedros uniformes convexos pueden denominarse mediante operaciones de construcción de Wythoff en la forma regular.
A continuación se detalla con más detalle el poliedro uniforme convexo mediante su construcción de Wythoff dentro de cada grupo de simetría.
Dentro de la construcción de Wythoff, hay repeticiones creadas por formas de simetría inferior. El cubo es un poliedro regular y un prisma cuadrado. El octaedro es un poliedro regular y un antiprisma triangular. El octaedro es también un tetraedro rectificado . Muchos poliedros se repiten a partir de diferentes fuentes de construcción y tienen colores diferentes.
La construcción de Wythoff se aplica igualmente a poliedros uniformes y mosaicos uniformes en la superficie de una esfera , por lo que se dan imágenes de ambos. Los mosaicos esféricos incluyen el conjunto de hosoedros y dicedros que son poliedros degenerados.
Estos grupos de simetría se forman a partir de grupos de puntos reflexivos en tres dimensiones , cada uno representado por un triángulo fundamental ( p q r ), donde p > 1, q > 1, r > 1 y 1/ p + 1/ q + 1/ r. < 1 .
Las formas restantes no reflectantes se construyen mediante operaciones de alternancia aplicadas a los poliedros con un número par de lados.
Junto a los prismas y su simetría diédrica, el proceso de construcción esférico de Wythoff añade dos clases regulares que degeneran como poliedros: los diedros y los hosoedros , teniendo el primero sólo dos caras, y el segundo sólo dos vértices. El truncamiento de los hosoedros regulares crea los prismas.
Debajo de los poliedros uniformes convexos están indexados del 1 al 18 para las formas no prismáticas, tal como se presentan en las tablas por forma de simetría.
Para el conjunto infinito de formas prismáticas, están indexadas en cuatro familias:
Y una muestra de simetrías diédricas:
(La esfera no se corta, sólo se corta el mosaico). (En una esfera, una arista es el arco del círculo máximo, el camino más corto, entre sus dos vértices. Por lo tanto, un digon cuyos vértices no son polares opuestos es plano: parece un borde.)
La simetría tetraédrica de la esfera genera 5 poliedros uniformes y una sexta forma mediante una operación de desaire.
La simetría tetraédrica está representada por un triángulo fundamental con un vértice con dos espejos y dos vértices con tres espejos, representado por el símbolo (3 3 2). También puede representarse mediante el grupo de Coxeter A 2 o [3,3], así como un diagrama de Coxeter :
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Hay 24 triángulos, visibles en las caras del hexaedro tetrakis y en los triángulos de colores alternativos en una esfera:
La simetría octaédrica de la esfera genera 7 poliedros uniformes, y 7 más por alternancia. Seis de estas formas se repiten en la tabla de simetría tetraédrica anterior.
La simetría octaédrica está representada por un triángulo fundamental (4 3 2) contando los espejos en cada vértice. También puede representarse mediante el grupo de Coxeter B 2 o [4,3], así como un diagrama de Coxeter :
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Hay 48 triángulos, visibles en las caras del dodecaedro de disdyakis , y en los triángulos de colores alternativos en una esfera:
La simetría icosaédrica de la esfera genera 7 poliedros uniformes, y 1 más por alternancia. Sólo uno se repite de la tabla de simetría tetraédrica y octaédrica anterior.
La simetría icosaédrica está representada por un triángulo fundamental (5 3 2) contando los espejos en cada vértice. También puede representarse mediante el grupo de Coxeter G 2 o [5,3], así como un diagrama de Coxeter :
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Hay 120 triángulos, visibles en las caras del triacontaedro de disdyakis , y en los triángulos de colores alternativos en una esfera:
La simetría diédrica de la esfera genera dos conjuntos infinitos de poliedros uniformes, prismas y antiprismas, y dos conjuntos infinitos más de poliedros degenerados, los hosoedros y dipedros que existen como mosaicos en la esfera.
La simetría diédrica está representada por un triángulo fundamental (p 2 2) contando los espejos en cada vértice. También puede representarse mediante el grupo de Coxeter I 2 (p) o [n,2], así como un diagrama prismático de Coxeter :
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A continuación se muestran las primeras cinco simetrías diédricas: D 2 ... D 6 . La simetría diédrica D p tiene orden 4n , representa las caras de una bipirámide , y en la esfera como una línea ecuatorial en la longitud, y n líneas de longitud equiespaciadas.
Hay 8 triángulos fundamentales, visibles en las caras de la bipirámide cuadrada (Octaedro) y triángulos de colores alternativos en una esfera:
Hay 12 triángulos fundamentales, visibles en las caras de la bipirámide hexagonal y triángulos de colores alternativos en una esfera:
Hay 16 triángulos fundamentales, visibles en las caras de la bipirámide octogonal y triángulos de colores alternativos en una esfera:
Hay 20 triángulos fundamentales, visibles en las caras de la bipirámide decagonal y triángulos de colores alternativos en una esfera:
Hay 24 triángulos fundamentales, visibles en las caras de la bipirámide dodecagonal y triángulos de colores alternativos en una esfera.
