En geometría , un poliedro cuasiregular es un poliedro uniforme que tiene exactamente dos tipos de caras regulares , que se alternan alrededor de cada vértice . Son transitivos por vértices y transitivos por aristas , por lo que están un paso más cerca de los poliedros regulares que los semirregulares , que son simplemente transitivos por vértices.
Sus figuras duales son transitivas de caras y transitivas de bordes; tienen exactamente dos tipos de figuras de vértices regulares , que se alternan alrededor de cada cara . A veces también se los considera cuasiregulares.
Sólo existen dos poliedros cuasiregulares convexos : el cuboctaedro y el icosidodecaedro . Sus nombres, dados por Kepler , provienen de reconocer que sus caras son todas las caras (giradas de manera diferente) del cubo de doble par y del octaedro , en el primer caso, y del icosaedro y dodecaedro de doble par , en el segundo caso.
A estas formas que representan un par de una figura regular y su dual se les puede dar un símbolo de Schläfli vertical o r{p,q} , para representar que sus caras son todas las caras (giradas de manera diferente) tanto de la figura regular {p,q} como de la figura dual. el dual regular {q,p} . Un poliedro cuasiregular con este símbolo tendrá una configuración de vértice p.qpq (o (pq) 2 ).
De manera más general, una figura cuasiregular puede tener una configuración de vértice (pq) r , que representa r (2 o más) secuencias de las caras alrededor del vértice.
Los mosaicos del plano también pueden ser cuasiregulares, específicamente el mosaico trihexagonal , con configuración de vértices (3.6) 2 . Existen otros mosaicos cuasiregulares en el plano hiperbólico, como el mosaico triheptagonal , (3.7) 2 . O más generalmente: (pq) 2 , con 1/p + 1/q < 1/2 .
Los poliedros regulares y los mosaicos con un número par de caras en cada vértice también pueden considerarse cuasiregulares al diferenciar caras del mismo orden, representándolas de manera diferente, como coloreándolas alternativamente (sin definir ninguna orientación de superficie). Una figura regular con símbolo de Schläfli {p,q} puede considerarse cuasiregular, con configuración de vértice (pp) q/2 , si q es par.
Ejemplos:
El octaedro regular , con símbolo de Schläfli {3,4} y 4 par, puede considerarse cuasiregular como un tetraedro (2 conjuntos de 4 triángulos del tetraedro ), con configuración de vértice (3.3) 4/2 = (3 a .3 b ) 2 , alternando dos colores de caras triangulares.
El mosaico cuadrado , con configuración de vértice 4 4 y 4 par, puede considerarse cuasiregular, con configuración de vértice (4.4) 4/2 = (4 a .4 b ) 2 , coloreado como un tablero de ajedrez .
El mosaico triangular , con configuración de vértices 3 6 y 6 par, puede considerarse cuasiregular, con configuración de vértices (3.3) 6/2 = (3 a .3 b ) 3 , alternando dos colores de caras triangulares.
Coxeter define un poliedro cuasiregular como aquel que tiene un símbolo de Wythoff en la forma p | qr , y es regular si q=2 o q=r. [1]
El diagrama de Coxeter-Dynkin es otra representación simbólica que muestra la relación cuasiregular entre las dos formas duales regulares:
Hay dos poliedros cuasiregulares convexos uniformes :
Además, el octaedro , que también es regular , configuración de vértice (3.3) 2 , puede considerarse cuasiregular si a las caras alternas se les dan diferentes colores. De esta forma a veces se le conoce como tetraedro . Los poliedros regulares convexos restantes tienen un número impar de caras en cada vértice, por lo que no se pueden colorear de una manera que preserve la transitividad de los bordes. Tiene diagrama de Coxeter-Dynkin.
Cada uno de estos forma el núcleo común de un par dual de poliedros regulares . Los nombres de dos de ellos dan pistas sobre el par dual asociado: respectivamente, cubo octaedro y icosaedro dodecaedro . El octaedro es el núcleo común de un par dual de tetraedros (un compuesto conocido como stella octangula ); cuando se deriva de esta manera, el octaedro a veces se llama tetraedro , como tetraedro tetraedro .
Cada uno de estos poliedros cuasiregulares se puede construir mediante una operación de rectificación en cualquiera de los padres regulares, truncando los vértices por completo, hasta que cada arista original se reduzca a su punto medio.
Esta secuencia continúa como el mosaico trihexagonal , figura de vértice (3.6) 2 : un mosaico cuasi regular basado en el mosaico triangular y el mosaico hexagonal .
El patrón de tablero de ajedrez es una coloración cuasiregular del mosaico cuadrado , figura de vértice (4.4) 2 :
El mosaico triangular también puede considerarse cuasiregular, con tres conjuntos de triángulos alternos en cada vértice, (3.3) 3 :
En el plano hiperbólico, esta secuencia continúa, por ejemplo, el mosaico triheptagonal , figura de vértice (3.7) 2 : un mosaico cuasi regular basado en el mosaico triangular de orden 7 y el mosaico heptagonal .
Coxeter, HSM y cols. (1954) también clasifican ciertos poliedros estelares , que tienen las mismas características, como cuasiregulares.
Dos se basan en pares duales de sólidos regulares de Kepler-Poinsot , de la misma manera que para los ejemplos convexos:
el gran icosidodecaedro , y el dodecadodecaedro :
Nueve más son los hemipoliedros , que son formas facetadas de los poliedros cuasiregulares antes mencionados derivados de la rectificación de poliedros regulares. Estos incluyen caras ecuatoriales que pasan por el centro de los poliedros:
Por último, hay tres formas ditrigonales , todas facetadas del dodecaedro regular, cuyas figuras de vértice contienen tres alternancias de los dos tipos de caras:
En el plano euclidiano, la secuencia de hemipoliedros continúa con los siguientes cuatro mosaicos de estrellas, donde los apeirogones aparecen como los polígonos ecuatoriales antes mencionados:
Algunas autoridades sostienen que, dado que los duales de los sólidos cuasiregulares comparten las mismas simetrías, estos duales también deberían llamarse cuasiregulares. Pero no todo el mundo utiliza esta terminología. Estos duales son transitivos en sus aristas y caras (pero no en sus vértices); son los sólidos catalanes de arista transitiva . Los convexos son, en el orden correspondiente al anterior:
Además, por dualidad con el octaedro, el cubo , que suele ser regular , puede hacerse cuasiregular si a los vértices alternos se les dan diferentes colores.
Sus configuraciones de caras son de la forma V3.n.3.n y diagrama de Coxeter-Dynkin. 
Estos tres duales cuasiregulares también se caracterizan por tener caras rómbicas .
Este patrón de caras rómbicas continúa como V(3,6) 2 , el mosaico de rombos .
En dimensiones superiores, Coxeter definió un politopo cuasirregular o panal para tener facetas regulares y figuras de vértices cuasirregulares. De ello se deduce que todas las figuras de vértices son congruentes y que hay dos tipos de facetas que se alternan. [2]
En el espacio euclidiano de 4 celdas, las 16 celdas regulares también pueden verse como cuasiregulares como un teseracto alterno , h{4,3,3}, diagramas de Coxeter :
=
, compuesto por celdas de tetraedro y tetraedro alternadas . Su figura de vértice es el tetraedro cuasiregular (un octaedro con simetría tetraédrica),.
El único panal cuasirregular en el espacio tridimensional euclidiano es el panal cúbico alternado , h{4,3,4}, diagramas de Coxeter:=, compuesto por células tetraédricas y octaédricas alternadas . Su figura de vértice es el cuboctaedro cuasiregular ,. [2]
En el espacio tridimensional hiperbólico, un panal cuasi regular es el panal cúbico de orden alterno 5 , h{4,3,5}, diagramas de Coxeter:=, compuesto por células tetraédricas e icosaédricas alternadas . Su figura de vértice es el icosidodecaedro cuasiregular ,. Un panal cúbico de orden alterno 6 paracompacto relacionado , h {4,3,6} tiene celdas de mosaico tetraédricas y hexagonales alternas con una figura de vértice que es un mosaico trihexagonal cuasi regular ,
.
Policora regular o panales de la forma {p,3,4} o
pueden tener su simetría cortada a la mitad como
en forma cuasiregular
, creando celdas {p,3} de colores alternativos. Estos casos incluyen el panal cúbico euclidiano {4,3,4} con celdas cúbicas , el hiperbólico compacto {5,3,4} con celdas dodecaédricas y el paracompacto {6,3,4} con infinitas celdas en mosaico hexagonal . Tienen cuatro celdas alrededor de cada borde, alternándose en 2 colores. Sus figuras de vértice son tetraedros cuasiregulares,=.
, igual que el octaedro regularPanales hiperbólicos igualmente regulares de la forma {p,3,6} opueden tener su simetría cortada a la mitad comoen forma cuasiregular
, creando celdas {p,3} de colores alternativos. Tienen seis celdas alrededor de cada borde, alternándose en 2 colores. Sus figuras de vértice son mosaicos triangulares cuasiregulares ,.
=
