En geometría , un politopo (por ejemplo, un polígono o un poliedro ) o un mosaico es isotoxal (del griego τόξον 'arco') o transitivo de aristas si sus simetrías actúan transitivamente sobre sus aristas . Informalmente, esto significa que solo hay un tipo de borde para el objeto: dados dos bordes, hay una traslación , rotación y/o reflexión que moverá un borde al otro mientras deja la región ocupada por el objeto sin cambios.
Un polígono isotoxal es un polígono de lados pares, es decir, equilátero , pero no todos los polígonos equiláteros son isotoxales. Los duales de polígonos isotoxales son polígonos isogonales . Los isotoxales -gons son centralmente simétricos , por lo que también lo son zonogons .
En general, un -gón isotoxal (no regular) tiene simetría diédrica . Por ejemplo, un rombo (no cuadrado) es un " × -gon" (cuadrilátero) isotoxal con simetría. Todos los -gons regulares (también con impar ) son isotoxales y tienen el doble del orden mínimo de simetría: un -gon regular tiene simetría diédrica.
Un -gón isotoxal con un ángulo interno externo se puede denotar como El ángulo interno interno puede ser menor o mayor que hacer polígonos convexos o cóncavos, respectivamente.
Una estrella -gón también puede ser isotoxal, denotada por con y con el máximo común divisor donde es el número de giro o densidad . [1] Los vértices internos cóncavos se pueden definir para Si luego se "reduce" a un compuesto de copias rotadas de
Precaución:
Se puede definir un conjunto de mosaicos "uniformes" , en realidad mosaicos isogonales que utilizan polígonos isotoxales como caras menos simétricas que las regulares.
Los poliedros regulares son isoédricos (transitivos de caras), isogonales (transitivos de vértices) e isotoxales (transitivos de aristas).
Los poliedros cuasiregulares , como el cuboctaedro y el icosidodecaedro , son isogonales e isotoxales, pero no isoédricos. Sus duales, incluidos el dodecaedro rómbico y el triacontaedro rómbico , son isoédricos e isotoxales, pero no isogonales.
No todos los poliedros o mosaicos bidimensionales construidos a partir de polígonos regulares son isotoxales. Por ejemplo, el icosaedro truncado (el conocido balón de fútbol) no es isotoxal, ya que tiene dos tipos de aristas: hexágono-hexágono y hexágono-pentágono, y no es posible que una simetría del sólido mueva una arista hexágono-hexágono sobre un Borde hexagonal-pentágono.
Un poliedro isotoxal tiene el mismo ángulo diédrico en todas sus aristas.
El dual de un poliedro convexo es también un poliedro convexo. [2]
El dual de un poliedro no convexo también es un poliedro no convexo. [2] (Por contraposición.)
El dual de un poliedro isotoxal también es un poliedro isotoxal. (Consulte el artículo Poliedro dual ).
Hay nueve poliedros isotoxales convexos : los cinco sólidos platónicos ( regulares ) , los dos núcleos comunes ( cuasiregulares ) de los sólidos platónicos duales y sus dos duales.
Hay catorce poliedros isotoxales no convexos: los cuatro poliedros (regulares) de Kepler-Poinsot , los dos núcleos comunes (cuasiregulares) de los poliedros duales de Kepler-Poinsot y sus dos duales, más los tres poliedros en estrella ditrigonales cuasiregulares (3 | pq ) , y sus tres duales.
Existen al menos cinco compuestos poliédricos isotoxales: los cinco compuestos poliédricos regulares ; sus cinco duales son también los cinco compuestos poliédricos regulares (o un gemelo quiral).
Hay al menos cinco mosaicos poligonales isotoxales del plano euclidiano e infinitos mosaicos poligonales isotoxales del plano hiperbólico, incluidas las construcciones de Wythoff de los grupos de mosaicos hiperbólicos regulares { p , q } y no derechos ( pqr ).