zonógono

En geometría , un zonogon es un polígono convexo centralmente simétrico . ^[1] De manera equivalente, es un polígono convexo cuyos lados se pueden agrupar en pares paralelos con longitudes iguales y orientaciones opuestas.

Ejemplos

Un polígono regular es un zonógono si y sólo si tiene un número par de lados. ^[2] Por lo tanto, el cuadrado, el hexágono regular y el octágono regular son todos zonogons. Los zonogonos de cuatro lados son el cuadrado, los rectángulos , los rombos y los paralelogramos .

Mosaico y equidisección

Los zonogonos de cuatro y seis lados son paralelogones , capaces de mosaico el plano mediante copias trasladadas de sí mismos, y todos los paralelogones convexos tienen esta forma. ^[3]

Cada zonogon de lados se puede revestir con paralelogramos . ^[4] (Para zonogons equiláteros, uno de lados se puede revestir con rombos ). En este mosaico, hay un paralelogramo para cada par de pendientes de lados en el zonogon de lados. Al menos tres de los vértices del zonogon deben ser vértices de sólo uno de los paralelogramos en dicho mosaico. ^[5] Por ejemplo, el octágono regular puede estar formado por dos cuadrados y cuatro rombos de 45°. ^[6] $2n$ ${\tbinom {n}{2}}$ $2n$ ${\tbinom {n}{2}}$ $2n$

En una generalización del teorema de Monsky , Paul Monsky (1990) demostró que ningún zonogon tiene una equidisección en un número impar de triángulos de iguales áreas. ^[7]^[8]

Otras propiedades

En un zonogon de lados, como máximo los pares de vértices pueden estar a una distancia unitaria entre sí. Existen zonogonos de lados con pares unidad-distancia. ^[9] $n$ $2n-3$ $n$ $2n-O({\sqrt {n}})$

Formas relacionadas

Los zonogonos son los análogos bidimensionales de los zonoedros tridimensionales y los zonotopos de dimensiones superiores. Como tal, cada zonogon se puede generar como la suma de Minkowski de una colección de segmentos de línea en el plano. ^[1] Si no hay dos de los segmentos de línea generadores que sean paralelos, habrá un par de aristas paralelas para cada segmento de línea. Cada cara de un zonoedro es un zonogon, y cada zonogon es la cara de al menos un zonoedro, el prisma sobre ese zonogon. Además, cada sección transversal plana que pasa por el centro de un poliedro centralmente simétrico (como un zonoedro) es un zonogon.

Referencias

^ ab Boltyanski, Vladimir; Martini, Horst; Soltan, PS (2012), Excursiones a la geometría combinatoria, Springer, p. 319, ISBN 9783642592379
^ Joven, Juan Wesley; Schwartz, Albert John (1915), Geometría plana, H. Holt, pág. 121, Si un polígono regular tiene un número par de lados, su centro es un centro de simetría del polígono.
^ Alexandrov, AD (2005), Poliedros convexos , Springer, pág. 351, ISBN 9783540231585
^ Beck, József (2014), Aproximación probabilística diofántica: aleatoriedad en el conteo de puntos de celosía, Springer, p. 28, ISBN 9783319107417
^ Andreescu, Titu; Feng, Zuming (2000), Olimpiadas de Matemáticas 1998-1999: Problemas y soluciones de todo el mundo, Cambridge University Press, pág. 125, ISBN 9780883858035
^ Frederickson, Greg N. (1997), Disecciones: plano y fantasía, Cambridge University Press, Cambridge, p. 10, doi :10.1017/CBO9780511574917, ISBN 978-0-521-57197-5, señor 1735254
^ Monsky, Paul (1990), "Una conjetura de Stein sobre disecciones planas", Mathematische Zeitschrift , 205 (4): 583–592, doi :10.1007/BF02571264, MR 1082876, S2CID 122009844
^ Stein, Sherman ; Szabó, Sandor (1994), Álgebra y mosaico: homomorfismos al servicio de la geometría , Carus Mathematical Monographs, vol. 25, Cambridge University Press, pág. 130, ISBN 9780883850282
^ Ábrego, Bernardo M.; Fernández-Merchant, Silvia (2002), "El problema de la distancia unitaria para polígonos convexos con simetría central", Geometría discreta y computacional , 28 (4): 467–473, doi : 10.1007/s00454-002-2882-5 , SEÑOR 1949894