De quinque corporibus regularibus (a veces llamado Libellus de quinque corporibus regularibus ) es un libro sobre la geometría de los poliedros escrito en la década de 1480 o principios de la década de 1490 por el pintor y matemático italiano Piero della Francesca . Es un manuscrito , en lengua latina; su título significa [el pequeño libro] sobre los cinco sólidos regulares . Es uno de los tres libros que se sabe que fueron escritos por della Francesca.
Junto con los sólidos platónicos, De quinque corporibus regularibus incluye descripciones de cinco de los trece sólidos arquimedianos y de varios otros poliedros irregulares que provienen de aplicaciones arquitectónicas. Fue el primero de lo que se convertiría en muchos libros que conectan las matemáticas con el arte a través de la construcción y el dibujo en perspectiva de poliedros, [1] incluyendo la Divina proporción de Luca Pacioli de 1509 (que incorporó sin crédito una traducción italiana de la obra de della Francesca).
Perdido durante muchos años, De quinque corporibus regularibus fue redescubierto en el siglo XIX en la Biblioteca Vaticana [2] y la copia del Vaticano ha sido republicada desde entonces en facsímil. [3]
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Los cinco sólidos platónicos (el tetraedro regular , el cubo , el octaedro , el dodecaedro y el icosaedro ) eran conocidos por della Francesca a través de dos fuentes clásicas: el Timeo , en el que Platón teoriza que cuatro de ellos corresponden a los elementos clásicos que componen el mundo (con el quinto, el dodecaedro, correspondiente a los cielos), y los Elementos de Euclides , en el que los sólidos platónicos se construyen como objetos matemáticos. Dos libros apócrifos de los Elementos sobre las propiedades métricas de los sólidos platónicos, a veces llamados pseudo-Euclides , también se consideraban comúnmente parte de los Elementos en la época de della Francesca. Es el material de los Elementos y pseudo-Euclides, en lugar del Timeo , el que forma la principal inspiración de della Francesca. [4] [5]
Los trece sólidos arquimedianos , poliedros convexos en los que los vértices pero no las caras son simétricos entre sí, fueron clasificados por Arquímedes en un libro que se ha perdido hace mucho tiempo. La clasificación de Arquímedes fue descrita brevemente más tarde por Pappus de Alejandría en términos de cuántas caras de cada tipo tienen estos poliedros. [6] Della Francesca había estudiado y copiado previamente las obras de Arquímedes, e incluye citas a Arquímedes en De quinque corporibus regularibus . [7] Pero aunque describe seis de los sólidos arquimedianos en sus libros (cinco en De quinque corporibus regularibus ), esto parece ser un redescubrimiento independiente; no le da crédito a Arquímedes por estas formas y no hay evidencia de que conociera el trabajo de Arquímedes sobre ellas. [6] De manera similar, aunque tanto Arquímedes como Della Francesca encontraron fórmulas para el volumen de una bóveda de claustro (ver más abajo), su trabajo al respecto parece ser independiente, ya que la fórmula de volumen de Arquímedes permaneció desconocida hasta principios del siglo XX. [8]
De quinque corporibus regularibus es uno de los tres libros que se sabe que escribió della Francesca. Los otros dos, De prospectiva pingendi y Trattato d'abaco , tratan sobre el dibujo en perspectiva y la aritmética en la tradición del Liber Abaci de Fibonacci , respectivamente. [9] [4] El otro libro matemático, Trattato d'abaco , fue parte de una larga línea de obras abacistas, que enseñaban aritmética, contabilidad y cálculos geométricos básicos a través de muchos ejercicios prácticos, comenzando con el trabajo de Fibonacci en su libro Liber Abaci (1202). [10] Aunque las primeras partes de De quinque corporibus regularibus también toman prestado de esta línea de trabajo y se superponen ampliamente con Trattato d'abaco , Fibonacci y sus seguidores habían aplicado previamente sus métodos de cálculo solo en geometría bidimensional. Las partes posteriores del De quinque corporibus regularibus son más originales en su aplicación de la aritmética a la geometría de formas tridimensionales. [11] [12]
Tras la dedicatoria, la página de título de De quinque corporibus regularibus comienza Petri pictoris Burgensis De quinque corporibus regularibus . [13] Las tres primeras palabras significan «De Pedro el pintor, de Borgo», y hacen referencia al autor del libro, Piero della Francesca (de Borgo Santo Sepolcro [7] ); el título propiamente dicho comienza después de eso. Una inicial decorativa comienza el texto del libro.
La primera de las cuatro partes del libro trata de problemas de geometría plana, principalmente relacionados con la medición de polígonos , como el cálculo de su área , perímetro o longitud de lado, dada una diferente de estas cantidades. [14] La segunda parte trata de las esferas circunscritas de los sólidos platónicos, y plantea preguntas similares sobre longitudes, áreas o volúmenes de estos sólidos en relación con las medidas de la esfera que los rodea. [15] También incluye la derivación (muy probablemente novedosa) de la altura de un tetraedro irregular, dadas las longitudes de sus lados, equivalente (usando la fórmula estándar que relaciona la altura y el volumen de los tetraedros) a una forma de la fórmula de Heron para los tetraedros. [16]
La tercera parte incluye ejercicios adicionales sobre esferas circunscritas, y luego considera pares de sólidos platónicos inscritos uno dentro de otro, centrándose nuevamente en sus medidas relativas. Esta parte está inspirada más directamente en el libro 15 (apócrifo) de los Elementos , [17] que construye ciertos pares inscritos de figuras poliédricas (por ejemplo, un tetraedro regular inscrito dentro de un cubo y que comparte sus cuatro vértices con los cuatro del cubo). De quinque corporibus regularibus tiene como objetivo aritmetizar estas construcciones, haciendo posible calcular las medidas de un poliedro dadas las medidas del otro. [12]
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La cuarta y última parte del libro trata de otras formas distintas de los sólidos platónicos. [18] Estas incluyen seis sólidos arquimedianos : el tetraedro truncado (que aparece también en un ejercicio en su Trattato d'abaco ), y los truncamientos de los otros cuatro sólidos platónicos. [19] El cuboctaedro , otro sólido arquimediano, se describe en el Trattato pero no en De quinque corporibus regularibus ; dado que De quinque corporibus regularibus parece ser una obra posterior al Trattato , esta omisión parece ser deliberada y una señal de que della Francesca no buscaba una lista completa de estos poliedros. [20] La cuarta parte de De quinque corporibus regularibus también incluye formas abovedadas como las cúpulas del Panteón de Roma o la (en ese momento recién construida) Santa Maria presso San Satiro en Milán formada a partir de un anillo de triángulos rodeados por anillos concéntricos de cuadriláteros irregulares, y otras formas que surgen en aplicaciones arquitectónicas. [21] El resultado que Peterson (1997) llama el "más sofisticado" de della Francesca es la derivación del volumen de un sólido de Steinmetz (la intersección de dos cilindros, la forma de una bóveda de claustro ), que della Francesca había ilustrado en su libro sobre perspectiva. [22] A pesar de sus curvas, esta forma tiene una fórmula simple pero no obvia para su volumen, 2/3 del volumen de su cubo circundante. Este resultado era conocido tanto por Arquímedes como, en la antigua China, por Zu Chongzhi , [23] pero della Francesca desconocía ninguno de los dos descubrimientos anteriores. [24]
Della Francesca ha ilustrado De quinque corporibus regularibus en una variedad de estilos, no todos los cuales están en una perspectiva matemática correcta. [6] Incluye muchos ejercicios, aproximadamente la mitad de los cuales se superponen con las partes geométricas del Trattato d'abaco de della Francesca , traducido del italiano del Trattato al latín del De quinque corporibus regularibus . [18]
Della Francesca dedicó De quinque corporibus regularibus a Guidobaldo da Montefeltro , duque de Urbino . [25] Aunque el libro no está fechado, esta dedicatoria reduce la fecha de su finalización al rango de 1482, cuando Guidobaldo, con diez años, se convirtió en duque, hasta 1492, cuando Della Francesca murió. [13] [26] Sin embargo, es probable que della Francesca escribiera su libro primero en italiano, antes de traducirlo al latín él mismo o con la ayuda de un amigo, Matteo dal Borgo, [27] por lo que su borrador original puede haber sido anterior al ascenso de Guidobaldo. [28] En cualquier caso, el libro se agregó a la biblioteca del duque. Se conservó allí junto con el libro de della Francesca sobre perspectiva, que había dedicado al duque anterior. [29]
En lo que se ha llamado "probablemente el primer caso de plagio en toda regla en la historia de las matemáticas", [30] Luca Pacioli copió ejercicios del Trattato d'abaco en su libro de 1494 Summa de arithmetica , y luego, en su libro de 1509 Divina percentagee , incorporó una traducción de todo el libro De quinque corporibus regularibus al italiano, sin acreditar a della Francesca por ninguno de estos materiales. Es a través de Pacioli que gran parte del trabajo de della Francesca se hizo ampliamente conocido. [31] Aunque Giorgio Vasari denunció a Pacioli por plagio en su libro de 1568, Vidas de los más excelentes pintores, escultores y arquitectos , no proporcionó suficientes detalles para verificar estas afirmaciones. [2] [32] La obra original de Della Francesca se perdió hasta que, en 1851 y nuevamente en 1880, fue redescubierta en la colección Urbino de la Biblioteca Vaticana por el anticuario escocés James Dennistoun y el historiador de arte alemán Max Jordan , respectivamente, lo que permitió verificar la exactitud de las acusaciones de Vasari. [13] [33]
Trabajos posteriores para estudiar los sólidos regulares y sus perspectivas de manera similar, basados en el trabajo de della Francesca y su transmisión por Pacioli, incluyen Underweysung der Messung (1525) de Albrecht Dürer , que se centra en técnicas tanto para el dibujo en perspectiva de poliedros regulares e irregulares como para su construcción como modelos físicos, [34] y Perspectiva corporum regularium (1568) de Wenzel Jamnitzer , que presenta imágenes de muchos poliedros derivados de los poliedros regulares, pero sin análisis matemático. [35]
Aunque se registró la existencia de un libro con el mismo título en el siglo XVI en la biblioteca privada de John Dee , [36] la copia del Vaticano de De quinque corporibus regularibus (Códice Urbinas Vaticano 632) es la única copia existente conocida. [3] Un catálogo de 1895 de la colección del Vaticano lo incluye entre los volúmenes de Euclides y Arquímedes. [37] La Accademia dei Lincei publicó reproducciones en 1916 y Giunti en 1995. [3]
