Johnson sólido

En geometría , un sólido de Johnson , a veces también conocido como sólido de Johnson-Zalgaller , es un poliedro estrictamente convexo cuyas caras son polígonos regulares . A veces se definen para excluir los poliedros uniformes . Hay noventa y dos sólidos con esta propiedad: los primeros sólidos son las pirámides , las cúpulas y una rotonda ; algunos de los sólidos pueden construirse uniéndolos con esos sólidos anteriores, mientras que otros no. Estos sólidos reciben su nombre de los matemáticos Norman Johnson y Victor Zalgaller .

Definición y antecedentes

Entre estos tres poliedros, sólo el primero, la girobicúpula cuadrada alargada , es un sólido de Johnson. El segundo, la stella octangula , no es convexo , ya que algunas de sus diagonales quedan fuera de la forma. El tercero presenta caras coplanares .

Un sólido de Johnson es un poliedro convexo cuyas caras son todas polígonos regulares . ^[1] Aquí, se dice que un poliedro es convexo si el camino más corto entre dos de sus vértices se encuentra dentro de su interior o en su límite, ninguna de sus caras es coplanar (lo que significa que no comparten el mismo plano y no "se encuentran planas"), y ninguna de sus aristas es colineal (lo que significa que no son segmentos de la misma línea). ^[2]^[3] Aunque no hay ninguna restricción de que cualquier polígono regular dado no pueda ser una cara de un sólido de Johnson, algunos autores exigieron que los sólidos de Johnson no sean uniformes . Esto significa que un sólido de Johnson no es un sólido platónico , sólido de Arquímedes , prisma o antiprisma . ^[4]^[5] Un poliedro convexo en el que todas las caras son casi regulares, pero algunas no son precisamente regulares, se conoce como un sólido de Johnson casi regular . ^[6]

El sólido de Johnson, a veces conocido como sólido de Johnson-Zalgaller, recibió su nombre en honor a los matemáticos Norman Johnson y Victor Zalgaller . ^[7] Johnson (1966) publicó una lista que incluía noventa y dos sólidos de Johnson (excluyendo los cinco sólidos platónicos, los trece sólidos de Arquímedes, los infinitos prismas uniformes y los infinitos antiprismas uniformes) y les dio sus nombres y números. No demostró que solo hubiera noventa y dos, pero sí conjeturó que no había otros. ^[8] Zalgaller (1969) demostró que la lista de Johnson estaba completa. ^[9]

Denominación y enumeración

La denominación de los sólidos de Johnson sigue una fórmula descriptiva flexible y precisa que permite nombrar a muchos sólidos de múltiples formas diferentes sin comprometer la precisión de cada nombre como descripción. La mayoría de los sólidos de Johnson se pueden construir a partir de los primeros sólidos ( pirámides , cúpulas y una rotonda ), junto con los sólidos platónicos y arquimedianos , prismas y antiprismas ; el centro del nombre de un sólido en particular reflejará estos ingredientes. A partir de allí, se adjunta una serie de prefijos a la palabra para indicar adiciones, rotaciones y transformaciones: ^[10]

Bi- indica que dos copias del sólido están unidas base con base. En el caso de las cúpulas y rotondas, los sólidos se pueden unir de modo que se encuentren caras iguales ( orto- ) o caras diferentes ( giro- ). Con esta nomenclatura, una bipirámide pentagonal es un sólido construido mediante la unión de dos bases de pirámides pentagonales. La ortobicúpula triangular se construye mediante dos cúpulas triangulares a lo largo de sus bases.
Alargado indica que un prisma está unido a la base del sólido, o entre las bases; giroelongado indica un antiprisma . Aumentado indica que otro poliedro, a saber, una pirámide o una cúpula , está unido a una o más caras del sólido en cuestión.
Disminuido indica que se elimina una pirámide o cúpula de una o más caras del sólido en cuestión.
Girar indica que una cúpula montada o destacada en el sólido en cuestión está rotada de tal manera que los diferentes bordes coinciden, como en la diferencia entre orto- y girobicúpulas.

Se pueden encontrar ejemplos de para- y meta- en prisma hexagonal parabiaumentado y prisma hexagonal metabiaumentado.

Las últimas tres operaciones ( aumento , disminución y giro ) se pueden realizar varias veces para ciertos sólidos grandes. Bi- y Tri- indican una operación doble y triple respectivamente. Por ejemplo, un sólido bigirato tiene dos cúpulas rotadas y un sólido tridisminuido tiene tres pirámides o cúpulas eliminadas. En ciertos sólidos grandes, se hace una distinción entre sólidos donde las caras alteradas son paralelas y sólidos donde las caras alteradas son oblicuas. Para- indica el primero, que el sólido en cuestión tiene caras paralelas alteradas, y meta- el segundo, caras oblicuas alteradas. Por ejemplo, un sólido parabiaumentado tiene dos caras paralelas aumentadas y un sólido metabigirado tiene dos caras oblicuas giradas. ^[10]

Los últimos sólidos de Johnson tienen nombres basados en ciertos complejos poligonales a partir de los cuales se ensamblan. Estos nombres están definidos por Johnson con la siguiente nomenclatura: ^[10]

Una luna es un complejo de dos triángulos unidos a lados opuestos de un cuadrado.
Esfeno : indica un complejo cuneiforme formado por dos lunas adyacentes. Disfeno: indica dos complejos de este tipo.
Hebesfeno : indica un complejo romo de dos lunas separadas por una tercera.
Corona es un complejo con forma de corona de ocho triángulos.
Megacorona es un complejo de doce triángulos con forma de corona de mayor tamaño.
El sufijo - cingulum indica un cinturón de doce triángulos.

La enumeración de los sólidos de Johnson puede denotarse como , donde se denota la enumeración de la lista (un ejemplo se denota como el primer sólido de Johnson, la pirámide cuadrada equilátera). ^[7] La siguiente es la lista de noventa y dos sólidos de Johnson, con la enumeración seguida de acuerdo con la lista de Johnson (1966): $Estilo de visualización J_{n}$ ${\estilo de visualización n}$ $estilo de visualización J_{1}}$

Algunos de los sólidos de Johnson pueden clasificarse como poliedros elementales . Esto significa que el poliedro no puede separarse por un plano para crear dos pequeños poliedros convexos con caras regulares; ejemplos de sólidos de Johnson son los primeros seis sólidos de Johnson: pirámide cuadrada , pirámide pentagonal , cúpula triangular , cúpula cuadrada , cúpula pentagonal y rotonda pentagonal : icosaedro tridisminuido , rombicosidodecaedro parabidisminuido , rombicosidodecaedro tridisminuido , disfenoide romo , antiprisma cuadrado romo , esfenocorona , esfenomegacorona , hebesfenomegacorona , disfenocíngulo , bilunabirotonda y hebesfenorotonda triangular . ^[8]^[11] Los otros sólidos de Johnson son poliedros compuestos porque se construyen uniendo algunos poliedros elementales. ^[12]

Propiedades

Según la definición anterior, un sólido de Johnson es un poliedro convexo con polígonos regulares como caras. Sin embargo, cada uno de ellos posee varias propiedades.

Tienen la propiedad de Rupert , lo que significa que tienen poliedros del mismo tamaño o de mayor tamaño que pueden pasar a través de un agujero en su interior. Sin embargo, los otros cinco sólidos de Johnson no tienen esta propiedad: rombicosidodecaedro girado , rombicosidodecaedro parabigirado , rombicosidodecaedro metabigirado , rombicosidodecaedro trigirado y rombicosidodecaedro disminuido paragiratado . ^[13]
De todos los sólidos de Johnson, la girobicúpula cuadrada alargada (también llamada pseudorrombicuboctaedro) es única por ser localmente uniforme en sus vértices: hay cuatro caras en cada vértice y su disposición es siempre la misma: tres cuadrados y un triángulo. Sin embargo, no es transitiva en sus vértices , ya que tiene diferente isometría en diferentes vértices, lo que la convierte en un sólido de Johnson en lugar de un sólido de Arquímedes . ^[14]^[15]^[16]

Referencias

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Enlaces externos

Gagnon, Sylvain (1982). "Les polyèdres convexes aux faces régulières" [Poliedros convexos de caras regulares] (PDF) . Topología estructural (6): 83–95.
Modelos de papel de poliedros Archivado el 26 de febrero de 2013 en Wayback Machine Muchos enlaces
Sólidos Johnson de George W. Hart.
Imágenes de los 92 sólidos, categorizados, en una página
Weisstein, Eric W. "Sólido de Johnson". MathWorld .
Modelos VRML de sólidos de Johnson por Jim McNeill
Modelos VRML de sólidos de Johnson de Vladimir Bulatov
El proyecto de descubrimiento de la policora CRF intenta descubrir la policora CRF Archivado el 31 de octubre de 2020 en Wayback Machine ( Polotopos convexos de 4 dimensiones con polígonos regulares como caras bidimensionales ), una generalización de los sólidos de Johnson al espacio de 4 dimensiones
https://levskaya.github.io/polyhedronisme/ un generador de poliedros y operaciones de Conway aplicadas a ellos, incluidos los sólidos de Johnson.