En matemáticas , un círculo de Carlyle es un círculo determinado en un plano de coordenadas asociado con una ecuación cuadrática ; recibe su nombre de Thomas Carlyle . El círculo tiene la propiedad de que las soluciones de la ecuación cuadrática son las coordenadas horizontales de las intersecciones del círculo con el eje horizontal . Los círculos de Carlyle se han utilizado para desarrollar construcciones con regla y compás de polígonos regulares .
Dada la ecuación cuadrática
El círculo en el plano de coordenadas que tiene como diámetro el segmento de línea que une los puntos A (0, 1) y B ( s , p ) se denomina círculo de Carlyle de la ecuación cuadrática. [1] [2] [3]
La propiedad definitoria del círculo de Carlyle se puede establecer así: la ecuación del círculo que tiene como diámetro el segmento AB es
Las abscisas de los puntos donde el círculo interseca el eje x son las raíces de la ecuación (obtenidas al establecer y = 0 en la ecuación del círculo)
El problema de construir un pentágono regular es equivalente al problema de construir las raíces de la ecuación
Una raíz de esta ecuación es z 0 = 1 que corresponde al punto P 0 (1, 0). Quitando el factor correspondiente a esta raíz, las demás raíces resultan ser raíces de la ecuación.
Estas raíces se pueden representar en la forma ω, ω 2 , ω 3 , ω 4 donde ω = exp (2 i π /5). Sean estas correspondientes a los puntos P 1 , P 2 , P 3 , P 4 .
tenemos
Entonces p 1 y p 2 son las raíces de la ecuación cuadrática
El círculo de Carlyle asociado con esta ecuación cuadrática tiene un diámetro con extremos en (0, 1) y (−1, −1) y centro en (−1/2, 0). Los círculos de Carlyle se utilizan para construir p 1 y p 2 . De las definiciones de p 1 y p 2 también se deduce que
Estos se utilizan luego para construir los puntos P 1 , P 2 , P 3 , P 4 .
A continuación se presenta el procedimiento detallado que involucra círculos de Carlyle para la construcción de pentágonos regulares . [3]
Existe un método similar que utiliza círculos de Carlyle para construir heptadecágonos regulares . [3] La figura de la derecha ilustra el procedimiento.
Para construir un 257-gono regular utilizando círculos de Carlyle, se deben construir hasta 24 círculos de Carlyle. Uno de ellos es el círculo para resolver la ecuación cuadrática x 2 + x − 64 = 0. [3]
Existe un procedimiento que implica círculos de Carlyle para la construcción de un 65537-gono regular . Sin embargo, existen problemas prácticos para la implementación del procedimiento; por ejemplo, requiere la construcción del círculo de Carlyle para la solución de la ecuación cuadrática x 2 + x − 2 14 = 0. [3]
Según Howard Eves (1911-2004), el matemático John Leslie (1766-1832) describió la construcción geométrica de las raíces de una ecuación cuadrática con un círculo en su libro Elements of Geometry y señaló que esta idea fue proporcionada por su ex alumno Thomas Carlyle (1795-1881). [4] Sin embargo, si bien la descripción en el libro de Leslie contiene una construcción circular análoga, se presentó únicamente en términos geométricos elementales sin la noción de un sistema de coordenadas cartesianas o una función cuadrática y sus raíces: [5]
Dividir una línea recta, ya sea interna o externamente, de modo que el rectángulo bajo sus segmentos sea equivalente a un rectángulo dado.
— John Leslie, Elementos de geometría , prop. XVII, pág. 176 [5]
En 1867 el ingeniero austríaco Eduard Lill publicó un método gráfico para determinar las raíces de un polinomio ( método de Lill ). [6] Si se aplica a una función cuadrática, entonces se obtiene la figura trapezoidal de la solución de Carlyle al problema de Leslie (ver gráfico) con uno de sus lados siendo el diámetro del círculo de Carlyle. En un artículo de 1925 GA Miller señaló que una ligera modificación del método de Lill aplicado a una función cuadrática normada produce un círculo que permite la construcción geométrica de las raíces de esa función y dio la definición moderna explícita de lo que más tarde se llamaría círculo de Carlyle. [7]
Eves utilizó el círculo en el sentido moderno en uno de los ejercicios de su libro Introducción a la historia de las matemáticas (1953) y señaló la conexión con Leslie y Carlyle. [4] Publicaciones posteriores comenzaron a adoptar los nombres de círculo de Carlyle , método de Carlyle o algoritmo de Carlyle , aunque en los países de habla alemana también se utiliza el término círculo de Lill ( Lill-Kreis ). [8] DeTemple utilizó en 1989 y 1991 círculos de Carlyle para idear construcciones con compás y regla para polígonos regulares, en particular el pentágono , el heptadecágono , el 257-gono y el 65537-gono . Ladislav Beran describió en 1999 cómo se puede utilizar el círculo de Carlyle para construir las raíces complejas de una función cuadrática normada. [9]