En matemáticas , en el área de la teoría de números , un período de Gauss es un cierto tipo de suma de raíces de la unidad . Los períodos permiten cálculos explícitos en campos ciclotómicos relacionados con la teoría de Galois y con el análisis armónico ( transformada discreta de Fourier ). Son básicos en la teoría clásica llamada ciclotomía . Muy relacionada con ella está la suma de Gauss , un tipo de suma exponencial que es una combinación lineal de períodos.
Como sugiere el nombre, los períodos fueron introducidos por Gauss y fueron la base de su teoría de la construcción con regla y compás . Por ejemplo, la construcción del heptadecágono (una fórmula que fomentó su reputación) dependía del álgebra de dichos períodos, de los cuales
es un ejemplo que involucra la decimoséptima raíz de la unidad
Dado un entero n > 1, sea H cualquier subgrupo del grupo multiplicativo
de residuos invertibles módulo n , y sea
Un período gaussiano P es una suma de las raíces n-ésimas primitivas de la unidad , donde recorre todos los elementos en un conjunto lateral fijo de H en G.
La definición de P también se puede expresar en términos de la traza del campo . Tenemos
para algún subcuerpo L de Q (ζ) y algún j coprimo con n . Esto corresponde a la definición anterior al identificar G y H con los grupos de Galois de Q (ζ)/ Q y Q (ζ)/ L , respectivamente. La elección de j determina la elección de clase lateral de H en G en la definición anterior.
La situación es más sencilla cuando n es un número primo p > 2. En ese caso G es cíclico de orden p − 1, y tiene un subgrupo H de orden d por cada factor d de p − 1. Por ejemplo, podemos tomar H de índice dos. En ese caso H consiste en los residuos cuadráticos módulo p . Correspondiente a este H tenemos el periodo gaussiano
sumado sobre ( p − 1)/2 residuos cuadráticos, y el otro período P* sumado sobre los ( p − 1)/2 residuos cuadráticos no existentes. Es fácil ver que
ya que el lado izquierdo suma todas las raíces primitivas p -ésimas de 1. También sabemos, a partir de la definición de traza, que P se encuentra en una extensión cuadrática de Q . Por lo tanto, como sabía Gauss, P satisface una ecuación cuadrática con coeficientes enteros. Evaluar el cuadrado de la suma P está relacionado con el problema de contar cuántos residuos cuadráticos entre 1 y p − 1 son sucedidos por residuos cuadráticos. La solución es elemental (como diríamos ahora, calcula una función zeta local , para una curva que es una cónica ). Se tiene
Esto nos da la información precisa sobre qué campo cuadrático se encuentra en Q (ζ). (Esto también se puede derivar mediante argumentos de ramificación en la teoría de números algebraicos ; ver campo cuadrático ).
Como Gauss demostró finalmente, para evaluar P − P *, la raíz cuadrada correcta que se debe tomar es la positiva (es decir, i veces la real positiva), en los dos casos. Por lo tanto, el valor explícito del período P está dado por
Como se analiza con más detalle a continuación, los períodos gaussianos están estrechamente relacionados con otra clase de sumas de raíces de la unidad, ahora generalmente llamadas sumas de Gauss (a veces sumas gaussianas ). La cantidad P − P * presentada anteriormente es una suma gaussiana cuadrática mod p , el ejemplo no trivial más simple de una suma gaussiana. Se observa que P − P * también puede escribirse como
donde aquí representa el símbolo de Legendre ( a / p ), y la suma se toma sobre las clases de residuos módulo p . De manera más general, dado un carácter de Dirichlet χ mod n , la suma de Gauss mod n asociada con χ es
Para el caso especial del carácter principal de Dirichlet , la suma de Gauss se reduce a la suma de Ramanujan :
donde μ es la función de Möbius .
Las sumas de Gauss son omnipresentes en la teoría de números; por ejemplo, aparecen de manera significativa en las ecuaciones funcionales de las funciones L. (Las sumas de Gauss son, en cierto sentido, los análogos de campo finito de la función gamma . [ aclaración necesaria ] [ cita necesaria ] )
Los periodos gaussianos están relacionados con las sumas de Gauss para las cuales el carácter χ es trivial en H . Tales χ toman el mismo valor en todos los elementos a en un coconjunto fijo de H en G . Por ejemplo, el carácter cuadrático mod p descrito anteriormente toma el valor 1 en cada residuo cuadrático, y toma el valor -1 en cada residuo cuadrático no cuadrático. La suma de Gauss puede entonces escribirse como una combinación lineal de periodos gaussianos (con coeficientes χ( a )); lo inverso también es cierto, como consecuencia de las relaciones de ortogonalidad para el grupo ( Z / n Z ) × . En otras palabras, los periodos gaussianos y las sumas de Gauss son transformadas de Fourier entre sí . Los periodos gaussianos generalmente se encuentran en cuerpos más pequeños, ya que, por ejemplo, cuando n es un primo p , los valores χ( a ) son raíces ( p − 1)-ésimas de la unidad. Por otro lado, las sumas de Gauss tienen propiedades algebraicas más atractivas.
![{\displaystyle P={\begin{cases}{\frac {-1+{\sqrt {p}}}{2}},&{\text{si }}p=4m+1,\\[6pt]{\frac {-1+i{\sqrt {p}}}{2}},&{\text{si }}p=4m+3.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4796d4d2a6c0fd2e1a9c116e1a5fd8e4f5cd5f8)
