John Wallis ( / ˈwɒlɪs / ; [2] latín : Wallisius ; 3 de diciembre [ OS 23 de noviembre] 1616 - 8 de noviembre [ OS 28 de octubre] 1703) fue un clérigo y matemático inglés, a quien se le atribuye parcialmente el desarrollo del cálculo infinitesimal .
Entre 1643 y 1689, Wallis se desempeñó como criptógrafo jefe del Parlamento y, más tarde, de la corte real. [3] Se le atribuye la introducción del símbolo ∞ para representar el concepto de infinito . [4] De manera similar, utilizó 1/∞ para un infinitesimal . Fue contemporáneo de Newton y uno de los mayores intelectuales del renacimiento temprano de las matemáticas . [5]
El 14 de marzo de 1645 se casó con Susanna Glynde ( c. 1600 – 16 de marzo de 1687). Tuvieron tres hijos:
John Wallis nació en Ashford, Kent . Fue el tercero de cinco hijos del reverendo John Wallis y Joanna Chapman. Inicialmente fue educado en una escuela en Ashford, pero se trasladó a la escuela de James Movat en Tenterden en 1625 después de un brote de peste . Wallis tuvo su primer contacto con las matemáticas en 1631, en la escuela Felsted (entonces conocida como la escuela de Martin Holbeach en Felsted); disfrutaba de las matemáticas, pero su estudio era errático, ya que "las matemáticas, en ese momento entre nosotros, rara vez se consideraban estudios académicos, sino más bien mecánicos" (Scriba 1970). En la escuela en Felsted , Wallis aprendió a hablar y escribir en latín . En ese momento, también era competente en francés , griego y hebreo . [9] Como se pretendía que fuera médico, fue enviado en 1632 al Emmanuel College, Cambridge . [10] Durante su estancia allí, redactó una ley sobre la doctrina de la circulación de la sangre ; se dice que fue la primera ocasión en Europa en que esta teoría se mantuvo públicamente en una disputa. Sin embargo, sus intereses se centraron en las matemáticas. Recibió su licenciatura en Artes en 1637 y su maestría en 1640, ingresando después al sacerdocio. De 1643 a 1649, sirvió como escribano sin derecho a voto en la Asamblea de Westminster . Fue elegido miembro del Queens' College, Cambridge en 1644, al que tuvo que renunciar tras su matrimonio. [ cita requerida ]
Durante todo este tiempo, Wallis había estado cerca del partido parlamentario, tal vez como resultado de su contacto con Holbeach en la Escuela Felsted. Les prestó una gran ayuda práctica para descifrar los despachos realistas. La calidad de la criptografía en ese momento era mixta; a pesar de los éxitos individuales de matemáticos como François Viète , los principios subyacentes al diseño y análisis de cifrados eran muy poco comprendidos. La mayoría de los cifrados eran métodos ad hoc que se basaban en un algoritmo secreto , en contraposición a los sistemas basados en una clave variable . Wallis se dio cuenta de que estos últimos eran mucho más seguros, incluso los describió como "irrompibles", aunque no estaba lo suficientemente seguro de esta afirmación como para alentar la revelación de algoritmos criptográficos. También estaba preocupado por el uso de cifrados por parte de potencias extranjeras, rechazando, por ejemplo, la solicitud de Gottfried Leibniz de 1697 de enseñar criptografía a los estudiantes de Hannover . [11]
Al regresar a Londres (en 1643 había sido nombrado capellán de St Gabriel Fenchurch ) Wallis se unió al grupo de científicos que más tarde se convertiría en la Royal Society . Finalmente pudo satisfacer sus intereses matemáticos y dominó la Clavis Mathematicae de William Oughtred en unas pocas semanas en 1647. Pronto comenzó a escribir sus propios tratados, que trataban una amplia gama de temas, algo que continuó haciendo durante el resto de su vida. Wallis escribió el primer estudio sobre conceptos matemáticos en Inglaterra, donde discutió el sistema hindú-árabe. [12]
Wallis se unió a los presbiterianos moderados al firmar la protesta contra la ejecución de Carlos I , por lo que se ganó la hostilidad duradera de los independientes. A pesar de su oposición, fue designado en 1649 para la Cátedra Saviliana de Geometría en la Universidad de Oxford, donde vivió hasta su muerte el 8 de noviembre [ OS 28 de octubre] de 1703. En 1650, Wallis fue ordenado ministro. Después, pasó dos años con Sir Richard Darley y Lady Vere como capellán privado . En 1661, fue uno de los doce representantes presbiterianos en la Conferencia de Saboya . [ cita requerida ]
Además de sus trabajos matemáticos, escribió sobre teología , lógica , gramática inglesa y filosofía, y participó en la elaboración de un sistema para enseñar a hablar a un niño sordo en Littlecote House . [13] William Holder había enseñado anteriormente a un hombre sordo, Alexander Popham, a hablar "clara y distintamente, y con un tono bueno y elegante". [14] Wallis más tarde se atribuyó el mérito de esto, lo que llevó a Holder a acusar a Wallis de "robando a sus vecinos y adornándose con sus botines". [15]
La visita parlamentaria a Oxford , que comenzó en 1647, eliminó a muchos académicos de alto rango de sus puestos, incluyendo en noviembre de 1648 a los profesores Savilianos de geometría y astronomía. En 1649 Wallis fue nombrado profesor Saviliano de geometría. Wallis parece haber sido elegido en gran medida por motivos políticos (como tal vez lo había sido su predecesor realista Peter Turner , quien a pesar de su nombramiento para dos cátedras nunca publicó ningún trabajo matemático); aunque Wallis fue quizás el principal criptógrafo de la nación y formó parte de un grupo informal de científicos que más tarde se convertiría en la Royal Society , no tenía una reputación particular como matemático. No obstante, el nombramiento de Wallis resultó ampliamente justificado por su trabajo posterior durante los 54 años que sirvió como profesor Saviliano. [16]
Wallis realizó importantes contribuciones a la trigonometría , el cálculo , la geometría y el análisis de series infinitas . En su Opera Mathematica I (1695) introdujo el término " fracción continua ".
En 1655, Wallis publicó un tratado sobre las secciones cónicas en el que se definían analíticamente. Este fue el primer libro en el que se consideraron y definieron estas curvas como curvas de segundo grado . Ayudó a eliminar parte de la dificultad y oscuridad percibidas en el trabajo de René Descartes sobre geometría analítica .
En su Tratado sobre las secciones cónicas , Wallis popularizó el símbolo ∞ para el infinito. Escribió: "Supongo que cualquier plano (siguiendo la geometría de los indivisibles de Cavalieri) está formado por un número infinito de líneas paralelas, o como yo preferiría, por un número infinito de paralelogramos de la misma altura; (sea la altura de cada una de ellas una parte infinitamente pequeña 1/∞ de la altura total, y sea el símbolo ∞ el que denote el infinito) y la altura de todos ellos para formar la altura de la figura". [17]
La Arithmetica Infinitorum , la obra más importante de Wallis, se publicó en 1656. En este tratado se sistematizaban y ampliaban los métodos de análisis de Descartes y Cavalieri , pero algunas ideas estaban abiertas a críticas. Empezó, tras un breve tratado sobre las secciones cónicas, desarrollando la notación estándar para las potencias, ampliándolas desde los números enteros positivos hasta los números racionales :
Dejando de lado las numerosas aplicaciones algebraicas de este descubrimiento, procedió a hallar, por integración , el área encerrada entre la curva y = x m , eje x y cualquier ordenada x = h , y demostró que la razón de esta área con la del paralelogramo sobre la misma base y de la misma altura es 1/( m + 1), extendiendo la fórmula de cuadratura de Cavalieri . Aparentemente supuso que el mismo resultado sería cierto también para la curva y = ax m , donde a es cualquier constante y m cualquier número positivo o negativo, pero sólo analizó el caso de la parábola en la que m = 2 y la hipérbola en la que m = −1. En este último caso, su interpretación del resultado es incorrecta. Luego demostró que se pueden escribir resultados similares para cualquier curva de la forma
y por tanto, si la ordenada y de una curva se puede desarrollar en potencias de x , se puede determinar su área: así dice que si la ecuación de la curva es y = x 0 + x 1 + x 2 + ..., su área sería x + x 2 /2 + x 3 /3 + ... . Luego aplicó esto a la cuadratura de las curvas y = ( x − x 2 ) 0 , y = ( x − x 2 ) 1 , y = ( x − x 2 ) 2 , etc., tomadas entre los límites x = 0 y x = 1. Demuestra que las áreas son, respectivamente, 1, 1/6, 1/30, 1/140, etc. A continuación consideró curvas de la forma y = x 1/ m y estableció el teorema de que el área limitada por esta curva y las líneas x = 0 y x = 1 es igual al área del rectángulo sobre la misma base y de la misma altura que m : m + 1. Esto es equivalente a calcular
Lo ilustró con la parábola, en cuyo caso m = 2. Enunció, pero no demostró, el resultado correspondiente para una curva de la forma y = x p / q .
Wallis demostró un ingenio considerable al reducir las ecuaciones de las curvas a las formas dadas anteriormente, pero, como no estaba familiarizado con el teorema del binomio , no pudo efectuar la cuadratura del círculo , cuya ecuación es , ya que no pudo desarrollarla en potencias de x . Sin embargo, estableció el principio de interpolación . Por lo tanto, como la ordenada del círculo es la media geométrica de las ordenadas de las curvas y , se podría suponer que, como aproximación, el área del semicírculo que es podría tomarse como la media geométrica de los valores de
es decir, y ; esto es equivalente a tomar o 3,26... como el valor de π. Pero, argumentó Wallis, tenemos de hecho una serie ... y por lo tanto el término interpolado entre y debe elegirse de modo que obedezca la ley de esta serie. [ aclaración necesaria ] Esto, mediante un método elaborado que no se describe aquí en detalle, conduce a un valor para el término interpolado que es equivalente a tomar
(que ahora se conoce como el producto Wallis ).
En este trabajo también se analiza la formación y las propiedades de las fracciones continuas , tema que adquirió relevancia gracias al uso que Brouncker hizo de estas fracciones.
Unos años más tarde, en 1659, Wallis publicó un tratado que contenía la solución de los problemas sobre la cicloide que había propuesto Blaise Pascal . En él, por cierto, explicaba cómo los principios establecidos en su Arithmetica Infinitorum podían utilizarse para la rectificación de curvas algebraicas y daba una solución al problema para rectificar (es decir, encontrar la longitud de) la parábola semicúbica x 3 = ay 2 , que había sido descubierta en 1657 por su alumno William Neile . Dado que todos los intentos de rectificar la elipse y la hipérbola habían sido (necesariamente) ineficaces, se había supuesto que no se podía rectificar ninguna curva, como de hecho había afirmado definitivamente Descartes. La espiral logarítmica había sido rectificada por Evangelista Torricelli y fue la primera línea curva (aparte del círculo) cuya longitud se determinó, pero la extensión de Neile y Wallis a una curva algebraica fue novedosa. La cicloide fue la siguiente curva rectificada; esto fue realizado por Christopher Wren en 1658. [ cita requerida ]
A principios de 1658, van Heuraët hizo un descubrimiento similar, independiente del de Neile, que fue publicado por van Schooten en su edición de la Geometria de Descartes en 1659. El método de van Heuraët es el siguiente. Supone que la curva está referida a ejes rectangulares; si esto es así, y si ( x , y ) son las coordenadas de cualquier punto sobre ella, y n es la longitud de la normal, [ aclaración necesaria ] y si se toma otro punto cuyas coordenadas son ( x , η ) de manera que η : h = n : y , donde h es una constante; entonces, si ds es el elemento de la longitud de la curva requerida, tenemos por triángulos similares ds : dx = n : y . Por lo tanto, h ds = η dx . Por lo tanto, si se puede hallar el área del lugar geométrico del punto ( x , η ), se puede rectificar la primera curva. De esta manera, van Heuraët efectuó la rectificación de la curva y 3 = ax 2 pero añadió que la rectificación de la parábola y 2 = ax es imposible ya que requiere la cuadratura de la hipérbola. Las soluciones dadas por Neile y Wallis son algo similares a la dada por van Heuraët, aunque no se enuncia ninguna regla general y el análisis es torpe. Un tercer método fue sugerido por Fermat en 1660, pero es poco elegante y laborioso.
La teoría de la colisión de cuerpos fue propuesta por la Royal Society en 1668 para que la consideraran los matemáticos. Wallis, Christopher Wren y Christiaan Huygens propusieron soluciones correctas y similares, todas ellas en función de lo que ahora se denomina la conservación del momento ; pero, mientras que Wren y Huygens limitaron su teoría a los cuerpos perfectamente elásticos ( colisión elástica ), Wallis consideró también los cuerpos imperfectamente elásticos ( colisión inelástica ). A esto le siguió en 1669 un trabajo sobre estática (centros de gravedad) y en 1670 uno sobre dinámica : estos proporcionan una sinopsis conveniente de lo que entonces se sabía sobre el tema.
En 1685 Wallis publicó Álgebra , precedida de un relato histórico del desarrollo del tema, que contiene una gran cantidad de información valiosa. La segunda edición, publicada en 1693 y que forma el segundo volumen de su Ópera , fue ampliada considerablemente. Esta álgebra es notable por contener el primer uso sistemático de fórmulas. Una magnitud dada se representa aquí por la relación numérica que guarda con la unidad del mismo tipo de magnitud: así, cuando Wallis quiere comparar dos longitudes, considera que cada una contiene tantas unidades de longitud. Esto quizás se aclare si observamos que la relación entre el espacio descrito en cualquier tiempo por una partícula que se mueve con una velocidad uniforme se denota por Wallis por la fórmula
donde s es el número que representa la relación entre el espacio descrito y la unidad de longitud; mientras que los escritores anteriores habrían denotado la misma relación al afirmar lo que es equivalente a la proposición
A Wallis se le atribuye la creación de la línea numérica "para cantidades negativas" [18] y "para fines operativos". [19] Esto se basa en un pasaje de su tratado de álgebra de 1685 en el que introdujo una línea numérica para ilustrar la legitimidad de las cantidades negativas: [20]
Sin embargo, ¿no es esa suposición (de cantidades negativas) inútil o absurda cuando se entiende correctamente? Y aunque, en cuanto a la notación algebraica simple, implica una cantidad menor que nada, sin embargo, cuando se trata de una aplicación física, denota una cantidad real como si el signo fuera ; pero si se interpreta en sentido contrario... , significa yardas hacia adelante; y , significa yardas hacia atrás.
Se ha observado que, en un trabajo anterior, Wallis llegó a la conclusión de que la razón entre un número positivo y uno negativo es mayor que infinito. El argumento implica el cociente y considerar lo que sucede cuando se acerca y luego cruza el punto desde el lado positivo. [21] Wallis no estaba solo en este pensamiento: Leonhard Euler llegó a la misma conclusión al considerar la serie geométrica , evaluada en , seguido de un razonamiento similar al de Wallis (resolvió la paradoja distinguiendo diferentes tipos de números negativos). [18]
Se le atribuye generalmente la demostración del teorema de Pitágoras utilizando triángulos semejantes . Sin embargo, Thabit Ibn Qurra (901 d. C.), un matemático árabe, había producido una generalización del teorema de Pitágoras aplicable a todos los triángulos seis siglos antes. Es razonable suponer que Wallis conocía el trabajo de Thabit. [22]
Wallis también se inspiró en las obras del matemático islámico Sadr al-Tusi, hijo de Nasir al-Din al-Tusi , en particular en el libro de al-Tusi escrito en 1298 sobre el postulado de las paralelas . El libro se basaba en las ideas de su padre y presentaba uno de los primeros argumentos a favor de una hipótesis no euclidiana equivalente al postulado de las paralelas. Después de leerlo, Wallis escribió sobre sus ideas a medida que desarrollaba sus propios pensamientos sobre el postulado, tratando de demostrarlo también con triángulos similares. [23]
Descubrió que el quinto postulado de Euclides es equivalente al que actualmente se denomina "postulado de Wallis" en su honor. Este postulado establece que "Sobre una línea recta finita dada siempre es posible construir un triángulo semejante a un triángulo dado". Este resultado se enmarcaba en una tendencia que intentaba deducir el quinto postulado de Euclides a partir de los otros cuatro postulados, lo que hoy se sabe que es imposible. A diferencia de otros autores, se dio cuenta de que el crecimiento ilimitado de un triángulo no estaba garantizado por los cuatro primeros postulados. [24]
Otro aspecto de las habilidades matemáticas de Wallis era su capacidad para hacer cálculos mentales. Dormía mal y a menudo hacía cálculos mentales mientras estaba despierto en su cama. Una noche calculó en su cabeza la raíz cuadrada de un número de 53 dígitos. Por la mañana dictó la raíz cuadrada de 27 dígitos del número, todavía completamente de memoria. Fue una hazaña que se consideró notable, y Henry Oldenburg , el secretario de la Royal Society, envió a un colega para investigar cómo lo hizo Wallis. Se consideró lo suficientemente importante como para merecer un debate en las Philosophical Transactions of the Royal Society de 1685. [25] [26]
Wallis tradujo al latín obras de Ptolomeo y Brienio, y el comentario de Porfirio sobre Ptolomeo. También publicó tres cartas a Henry Oldenburg sobre la afinación. Aprobó el temperamento igual , que se utilizaba en los órganos de Inglaterra. [27]
Su Institutio logicae , publicada en 1687, fue muy popular. [4] La Grammatica linguae Anglicanae fue una obra sobre gramática inglesa que se mantuvo impresa hasta bien entrado el siglo XVIII. También publicó sobre teología. [4]
Mientras trabajaba como capellán de Lady Vere en 1642, Wallis recibió una carta cifrada sobre la caída de Chicester , que logró descifrar en dos horas. Esto dio inicio a su carrera como criptógrafo. Fue un partidario moderado del bando parlamentario en la Primera Guerra Civil Inglesa y, por lo tanto, trabajó como descifrador de correspondencia interceptada para los líderes parlamentarios. Por sus servicios fue recompensado con los beneficios de San Gabriel y San Martín en Londres . [28]
Debido a sus simpatías parlamentarias, Wallis no fue empleado como criptógrafo después de la Restauración Estuardo , [29] pero después de la Revolución Gloriosa fue buscado por lord Nottingham y con frecuencia empleado para descifrar correspondencia interceptada cifrada, aunque pensó que no siempre era adecuadamente recompensado por su trabajo. [a] El rey Guillermo III a partir de 1689 también empleó a Wallis como criptógrafo, a veces casi a diario. Los mensajeros le traían cartas para ser descifradas y esperaban frente a su estudio por el producto. El rey se interesó personalmente en el trabajo y el bienestar de Wallis, como lo atestigua una carta que envió al gran pensionista holandés Anthonie Heinsius en 1689. [29]
En aquellos primeros días del reinado guillermo, obtener directamente cartas extranjeras interceptadas era un problema para los ingleses, ya que aún no contaban con los recursos de las Cámaras Negras extranjeras, pero aliados como el Elector de Brandeburgo , que no contaban con sus propias Cámaras Negras, ocasionalmente hacían obsequios de esa correspondencia interceptada, como la carta del rey Luis XIV de Francia al rey Juan III Sobieski de Polonia , que el rey Guillermo utilizó en 1689 para provocar una crisis en las relaciones diplomáticas franco-polacas. Fue bastante abierto al respecto y Wallis fue recompensado por su papel. [31] Pero Wallis se puso nervioso ante la posibilidad de que los franceses pudieran tomar medidas contra él. [32]
La relación de Wallis con el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz era cordial, pero Leibniz también tenía intereses criptográficos y trató de conseguir que Wallis divulgara algunos de sus secretos comerciales, a lo que Wallis se negó por una cuestión de principios patrióticos. [33]
Smith da un ejemplo del minucioso trabajo que Wallis realizó, tal como lo describe él mismo en una carta a Richard Hampden del 3 de agosto de 1689. En ella da un relato detallado de su trabajo en una carta en particular y las partes con las que había encontrado dificultades. [34]
La correspondencia de Wallis también muestra detalles de la forma en que se defendió a sí mismo, cuando pensaba que no lo apreciaban lo suficiente, financieramente o de otra manera. Hizo lobby con entusiasmo, tanto en su propio nombre como en el de sus familiares, como lo atestiguan las cartas a Lord Nottingham, Richard Hampden y al diputado Harbord Harbord que Smith cita. [35] En una carta al enviado inglés a Prusia, James Johnston Wallis se queja amargamente de que un cortesano del elector prusiano, de nombre Smetteau, le había hecho daño en el asunto de la compensación justa por los servicios prestados al elector. En la carta da detalles de lo que había hecho y da consejos sobre una simple cifra de sustitución para el uso del propio Johnston. [36]
Las contribuciones de Wallis al arte de la criptografía no fueron sólo de carácter "tecnológico". De Leeuw señala que incluso las contribuciones "puramente científicas" de Wallis a la ciencia de la lingüística en el campo de la "racionalidad" del lenguaje natural , tal como se desarrolló con el tiempo, desempeñaron un papel en el desarrollo de la criptología como ciencia. El desarrollo por parte de Wallis de un modelo de gramática inglesa, independiente de los modelos anteriores basados en la gramática latina, es un ejemplo de cómo otras ciencias ayudaron a desarrollar la criptología, según su opinión. [37]
Wallis intentó enseñar a su propio hijo John y a su nieto, William Blencowe , los trucos del oficio. Con William tuvo tanto éxito que pudo persuadir al gobierno para que permitiera a su nieto recibir la pensión de supervivencia anual de 100 libras que Wallis había recibido en compensación por su trabajo criptográfico. [38]
William Blencowe finalmente sucedió a Wallis como criptógrafo oficial de la reina Ana después de la muerte de Wallis en 1703. [39]
![{\displaystyle x^{2/3}={\sqrt[{3}]{x^{2}}}{\text{ etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea7b917ee8df59ead6e27c56ce459e2761baafb9)
![{\displaystyle x^{1/n}={\sqrt[{n}]{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94140b99de85804d7b71ccd80aa498a9d374bdd2)
![{\displaystyle x^{p/q}={\sqrt[{q}]{x^{p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1c8c535fff27c5351373ce819cd68f5c8e16670)
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