Familia de integrales matemáticas
En matemáticas , y más precisamente en análisis , las integrales de Wallis constituyen una familia de integrales introducidas por John Wallis .
Definición, propiedades básicas
Las integrales de Wallis son los términos de la secuencia definida por
o equivalentemente,
Los primeros términos de esta secuencia son:
La sucesión es decreciente y tiene términos positivos. De hecho, para todos
- porque es una integral de una función continua no negativa que no es idénticamente cero;
- de nuevo porque la última integral es de una función continua no negativa.
Como la sucesión es decreciente y está limitada por 0, converge a un límite no negativo. De hecho, el límite es cero (ver más abajo).
Relación de recurrencia
Mediante la integración por partes se puede obtener una fórmula de reducción . Utilizando la identidad se tiene para todo ,
Integrando la segunda integral por partes, con:
- , cuya antiderivada es
- , cuya derivada es
tenemos:
Sustituyendo este resultado en la ecuación (1) obtenemos
y por lo tanto
a pesar de
Esta es una relación de recurrencia que se expresa en términos de . Esto, junto con los valores de y nos da dos conjuntos de fórmulas para los términos de la secuencia , dependiendo de si es par o impar:
Otra relación para evaluar las integrales de Wallis
Las integrales de Wallis se pueden evaluar utilizando integrales de Euler :
- Integral de Euler de primer tipo : la función Beta :
- para Re( x ), Re( y ) > 0
- Integral de Euler de segundo tipo : la función Gamma :
- para Re( z ) > 0 .
Si realizamos la siguiente sustitución dentro de la función Beta:
obtenemos:
Entonces esto nos da la siguiente relación para evaluar las integrales de Wallis:
Entonces, para impar , escribiendo , tenemos:
mientras que para incluso , escribiendo y sabiendo que , obtenemos:
Equivalencia
- De la fórmula de recurrencia anterior , podemos deducir que
- (equivalencia de dos secuencias).
- En efecto, para todos :
- (ya que la secuencia es decreciente)
- (desde )
- (por ecuación ).
- Por el teorema del sándwich , concluimos que , y por lo tanto .
- Examinando , se obtiene la siguiente equivalencia:
- (y en consecuencia ).
Prueba
Para todos , dejemos .
Resulta que, debido a la ecuación , es decir, es una constante.
De ello se deduce que para todos , .
Ahora, como y , tenemos, por las reglas del producto de equivalentes, .
Por lo tanto, , de donde se sigue el resultado deseado (observando que ).
Deducción de la fórmula de Stirling
Supongamos que tenemos la siguiente equivalencia (conocida como fórmula de Stirling ):
para alguna constante que deseamos determinar. De arriba, tenemos
- (ecuación (3))
Desarrollando y utilizando la fórmula anterior para los factoriales, obtenemos
De (3) y (4), obtenemos por transitividad:
Resolviendo para da En otras palabras,
Deducción de la razón factorial doble
De manera similar, de arriba tenemos:
Desarrollando y utilizando la fórmula anterior para factoriales dobles, obtenemos:
Simplificando obtenemos:
o
Evaluación de la integral gaussiana
La integral gaussiana se puede evaluar mediante el uso de las integrales de Wallis.
Primero demostramos las siguientes desigualdades:
De hecho, siendo , la primera desigualdad (en la que ) es equivalente a ; mientras que la segunda desigualdad se reduce a , que se convierte en . Estas dos últimas desigualdades se siguen de la convexidad de la función exponencial (o de un análisis de la función ).
Dejando y haciendo uso de las propiedades básicas de las integrales impropias (la convergencia de las integrales es obvia), obtenemos las desigualdades:
para usar con el teorema del sándwich (como ).
La primera y la última integral se pueden evaluar fácilmente utilizando las integrales de Wallis. Para la primera, sea
(t varía de 0 a ). Entonces, la integral se convierte en . Para la última integral, sea
(t varía de a ). Entonces, se convierte en .
Como hemos demostrado antes, . Por lo tanto, se deduce que .
Observación: Existen otros métodos para evaluar la integral gaussiana. Algunos de ellos son más directos.
Nota
Las mismas propiedades conducen al producto de Wallis , que se expresa
(ver ) en la forma de un producto infinito .
Enlaces externos
- Pascal Sebah y Xavier Gourdon. Introducción a la función gamma . En formatos PostScript y HTML.