Producto infinito para pi
Comparación de la convergencia del producto de Wallis (asteriscos morados) y varias series infinitas históricas para π . S n es la aproximación después de tomar n términos. Cada subtrama subsiguiente amplía el área sombreada horizontalmente 10 veces. (haga clic para obtener más detalles) En matemáticas , el producto de Wallis para π , publicado en 1656 por John Wallis , [1] establece que
π 2 = ∏ norte = 1 ∞ 4 norte 2 4 norte 2 − 1 = ∏ norte = 1 ∞ ( 2 norte 2 norte − 1 ⋅ 2 norte 2 norte + 1 ) = ( 2 1 ⋅ 2 3 ) ⋅ ( 4 3 ⋅ 4 5 ) ⋅ ( 6 5 ⋅ 6 7 ) ⋅ ( 8 7 ⋅ 8 9 ) ⋅ ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2 }-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right )\\[6pt]&={\Grande (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Grande )}\cdot {\Grande (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Grande )}\cdot {\Grande (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{ 7}}{\Grande )}\cdot {\Grande (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Grande )}\cdot \;\cdots \\ \end{alineado}}} Prueba mediante integración Wallis derivó este producto infinito mediante interpolación, aunque su método no se considera riguroso. Se puede encontrar una derivación moderna examinando los valores pares e impares de , y observando que para grandes , aumentar en 1 da como resultado un cambio que se vuelve cada vez más pequeño a medida que aumenta. Vamos [2] ∫ 0 π pecado norte X d X {\displaystyle \int _ {0}^{\pi }\sin ^{n}x\,dx} norte {\displaystyle n} norte {\displaystyle n} norte {\displaystyle n} norte {\displaystyle n}
I ( norte ) = ∫ 0 π pecado norte X d X . {\displaystyle I(n)=\int _ {0}^{\pi }\sin ^{n}x\,dx.} (Ésta es una forma de las integrales de Wallis ). Integrar por partes :
tu = pecado norte − 1 X ⇒ d tu = ( norte − 1 ) pecado norte − 2 X porque X d X d v = pecado X d X ⇒ v = − porque X {\displaystyle {\begin{aligned}u&=\sin ^{n-1}x\\\Rightarrow du&=(n-1)\sin ^{n-2}x\cos x\,dx\\dv&= \sin x\,dx\\\Rightarrow v&=-\cos x\end{aligned}}} ⇒ I ( norte ) = ∫ 0 π pecado norte X d X = − pecado norte − 1 X porque X | 0 π − ∫ 0 π ( − porque X ) ( norte − 1 ) pecado norte − 2 X porque X d X = 0 + ( norte − 1 ) ∫ 0 π porque 2 X pecado norte − 2 X d X , norte > 1 = ( norte − 1 ) ∫ 0 π ( 1 − pecado 2 X ) pecado norte − 2 X d X = ( norte − 1 ) ∫ 0 π pecado norte − 2 X d X − ( norte − 1 ) ∫ 0 π pecado norte X d X = ( norte − 1 ) I ( norte − 2 ) − ( norte − 1 ) I ( norte ) = norte − 1 norte I ( norte − 2 ) ⇒ I ( norte ) I ( norte − 2 ) = norte − 1 norte {\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow I(n)&=\int _ {0}^{\pi }\sin ^{n}x\,dx\\[6pt]{}&=-\sin ^{n-1}x\cos x{\Biggl |}_{0}^{\pi }-\int _{0}^{\pi }(-\cos x)(n-1)\sin ^ {n-2}x\cos x\,dx\\[6pt]{}&=0+(n-1)\int _ {0}^{\pi }\cos ^{2}x\sin ^{ n-2}x\,dx,\qquad n>1\\[6pt]{}&=(n-1)\int _{0}^{\pi }(1-\sin ^{2}x) \sin ^{n-2}x\,dx\\[6pt]{}&=(n-1)\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}x\,dx- (n-1)\int _{0}^{\pi }\sin ^{n}x\,dx\\[6pt]{}&=(n-1)I(n-2)-(n- 1)I(n)\\[6pt]{}&={\frac {n-1}{n}}I(n-2)\\[6pt]\Rightarrow {\frac {I(n)}{ I(n-2)}}&={\frac {n-1}{n}}\\[6pt]\end{aligned}}} Ahora, hacemos dos sustituciones de variables por conveniencia para obtener:
I ( 2 norte ) = 2 norte − 1 2 norte I ( 2 norte − 2 ) {\displaystyle I(2n)={\frac {2n-1}{2n}}I(2n-2)} I ( 2 norte + 1 ) = 2 norte 2 norte + 1 I ( 2 norte − 1 ) {\displaystyle I(2n+1)={\frac {2n}{2n+1}}I(2n-1)} Obtenemos valores para y para uso posterior. I ( 0 ) {\displaystyle I(0)} I ( 1 ) {\displaystyle I(1)}
I ( 0 ) = ∫ 0 π d X = X | 0 π = π I ( 1 ) = ∫ 0 π pecado X d X = − porque X | 0 π = ( − porque π ) − ( − porque 0 ) = − ( − 1 ) − ( − 1 ) = 2 {\displaystyle {\begin{aligned}I(0)&=\int _{0}^{\pi }dx=x{\Biggl |}_{0}^{\pi }=\pi \\[6pt ]I(1)&=\int _{0}^{\pi }\sin x\,dx=-\cos x{\Biggl |}_{0}^{\pi }=(-\cos \pi )-(-\cos 0)=-(-1)-(-1)=2\\[6pt]\end{aligned}}} Ahora, calculamos para valores pares aplicando repetidamente la relación de recurrencia resultante de la integración por partes. Finalmente llegamos a , que hemos calculado. I ( 2 norte ) {\displaystyle I(2n)} I ( 0 ) {\displaystyle I(0)}
I ( 2 norte ) = ∫ 0 π pecado 2 norte X d X = 2 norte − 1 2 norte I ( 2 norte − 2 ) = 2 norte − 1 2 norte ⋅ 2 norte − 3 2 norte − 2 I ( 2 norte − 4 ) {\displaystyle I(2n)=\int _ {0}^{\pi }\sin ^{2n}x\,dx={\frac {2n-1}{2n}}I(2n-2)={ \frac {2n-1}{2n}}\cdot {\frac {2n-3}{2n-2}}I(2n-4)} = 2 norte − 1 2 norte ⋅ 2 norte − 3 2 norte − 2 ⋅ 2 norte − 5 2 norte − 4 ⋅ ⋯ ⋅ 5 6 ⋅ 3 4 ⋅ 1 2 I ( 0 ) = π ∏ k = 1 norte 2 k − 1 2 k {\displaystyle ={\frac {2n-1}{2n}}\cdot {\frac {2n-3}{2n-2}}\cdot {\frac {2n-5}{2n-4}}\cdot \cdots \cdot {\frac {5}{6}}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {1}{2}}I(0)=\pi \prod _{k =1}^{n}{\frac {2k-1}{2k}}} Repitiendo el proceso para valores impares , I ( 2 norte + 1 ) {\displaystyle I(2n+1)}
I ( 2 norte + 1 ) = ∫ 0 π pecado 2 norte + 1 X d X = 2 norte 2 norte + 1 I ( 2 norte − 1 ) = 2 norte 2 norte + 1 ⋅ 2 norte − 2 2 norte − 1 I ( 2 norte − 3 ) {\displaystyle I(2n+1)=\int _ {0}^{\pi }\sin ^{2n+1}x\,dx={\frac {2n}{2n+1}}I(2n- 1)={\frac {2n}{2n+1}}\cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}I(2n-3)} = 2 norte 2 norte + 1 ⋅ 2 norte − 2 2 norte − 1 ⋅ 2 norte − 4 2 norte − 3 ⋅ ⋯ ⋅ 6 7 ⋅ 4 5 ⋅ 2 3 I ( 1 ) = 2 ∏ k = 1 norte 2 k 2 k + 1 {\displaystyle ={\frac {2n}{2n+1}}\cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}\cdot {\frac {2n-4}{2n-3}}\cdot \cdots \cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {2}{3}}I(1)=2\prod _{k= 1}^{n}{\frac {2k}{2k+1}}} Hacemos la siguiente observación, basándonos en el hecho de que pecado X ≤ 1 {\displaystyle \sin {x}\leq 1}
pecado 2 norte + 1 X ≤ pecado 2 norte X ≤ pecado 2 norte − 1 X , 0 ≤ X ≤ π {\displaystyle \sin ^{2n+1}x\leq \sin ^{2n}x\leq \sin ^{2n-1}x,0\leq x\leq \pi } ⇒ I ( 2 norte + 1 ) ≤ I ( 2 norte ) ≤ I ( 2 norte − 1 ) {\displaystyle \Rightarrow I(2n+1)\leq I(2n)\leq I(2n-1)} Dividiendo por : I ( 2 norte + 1 ) {\displaystyle I(2n+1)}
⇒ 1 ≤ I ( 2 norte ) I ( 2 norte + 1 ) ≤ I ( 2 norte − 1 ) I ( 2 norte + 1 ) = 2 norte + 1 2 norte {\displaystyle \Rightarrow 1\leq {\frac {I(2n)}{I(2n+1)}}\leq {\frac {I(2n-1)}{I(2n+1)}}={\frac {2n+1}{2n}}} Por el teorema de compresión ,
⇒ lim n → ∞ I ( 2 n ) I ( 2 n + 1 ) = 1 {\displaystyle \Rightarrow \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {I(2n)}{I(2n+1)}}=1} lim n → ∞ I ( 2 n ) I ( 2 n + 1 ) = π 2 lim n → ∞ ∏ k = 1 n ( 2 k − 1 2 k ⋅ 2 k + 1 2 k ) = 1 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {I(2n)}{I(2n+1)}}={\frac {\pi }{2}}\lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{k=1}^{n}\left({\frac {2k-1}{2k}}\cdot {\frac {2k+1}{2k}}\right)=1} ⇒ π 2 = ∏ k = 1 ∞ ( 2 k 2 k − 1 ⋅ 2 k 2 k + 1 ) = 2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 7 ⋅ ⋯ {\displaystyle \Rightarrow {\frac {\pi }{2}}=\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k}{2k-1}}\cdot {\frac {2k}{2k+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot \cdots } Prueba utilizando el método de Laplace Consulte la página principal sobre la integral gaussiana .
Prueba utilizando el producto infinito de Euler para la función seno Si bien la prueba anterior suele aparecer en los libros de texto de cálculo modernos, el producto de Wallis es, en retrospectiva, un corolario fácil del posterior producto infinito de Euler para la función seno .
sin x x = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x 2 n 2 π 2 ) {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)} Dejar : x = π 2 {\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}}
⇒ 2 π = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − 1 4 n 2 ) ⇒ π 2 = ∏ n = 1 ∞ ( 4 n 2 4 n 2 − 1 ) = ∏ n = 1 ∞ ( 2 n 2 n − 1 ⋅ 2 n 2 n + 1 ) = 2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 7 ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {\frac {2}{\pi }}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{4n^{2}}}\right)\\[6pt]\Rightarrow {\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)\\[6pt]&=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdots \end{aligned}}} [1] Relación con la aproximación de Stirling La aproximación de Stirling para la función factorial afirma que n ! {\displaystyle n!}
n ! = 2 π n ( n e ) n [ 1 + O ( 1 n ) ] . {\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}{\left({\frac {n}{e}}\right)}^{n}\left[1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right].} Consideremos ahora las aproximaciones finitas al producto de Wallis, obtenidas tomando los primeros términos del producto k {\displaystyle k}
p k = ∏ n = 1 k 2 n 2 n − 1 2 n 2 n + 1 , {\displaystyle p_{k}=\prod _{n=1}^{k}{\frac {2n}{2n-1}}{\frac {2n}{2n+1}},} donde se puede escribir como p k {\displaystyle p_{k}}
p k = 1 2 k + 1 ∏ n = 1 k ( 2 n ) 4 [ ( 2 n ) ( 2 n − 1 ) ] 2 = 1 2 k + 1 ⋅ 2 4 k ( k ! ) 4 [ ( 2 k ) ! ] 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}p_{k}&={1 \over {2k+1}}\prod _{n=1}^{k}{\frac {(2n)^{4}}{[(2n)(2n-1)]^{2}}}\\[6pt]&={1 \over {2k+1}}\cdot {{2^{4k}\,(k!)^{4}} \over {[(2k)!]^{2}}}.\end{aligned}}} Sustituyendo la aproximación de Stirling en esta expresión (tanto para como ) se puede deducir (después de un breve cálculo) que converge a como . k ! {\displaystyle k!} ( 2 k ) ! {\displaystyle (2k)!} p k {\displaystyle p_{k}} π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} k → ∞ {\displaystyle k\rightarrow \infty }
Derivada de la función zeta de Riemann en cero La función zeta de Riemann y la función eta de Dirichlet se pueden definir: [1]
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s , ℜ ( s ) > 1 η ( s ) = ( 1 − 2 1 − s ) ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n s , ℜ ( s ) > 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},\Re (s)>1\\[6pt]\eta (s)&=(1-2^{1-s})\zeta (s)\\[6pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}},\Re (s)>0\end{aligned}}} Aplicando una transformada de Euler a esta última serie se obtiene lo siguiente:
η ( s ) = 1 2 + 1 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 [ 1 n s − 1 ( n + 1 ) s ] , ℜ ( s ) > − 1 ⇒ η ′ ( s ) = ( 1 − 2 1 − s ) ζ ′ ( s ) + 2 1 − s ( ln 2 ) ζ ( s ) = − 1 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 [ ln n n s − ln ( n + 1 ) ( n + 1 ) s ] , ℜ ( s ) > − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\eta (s)&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left[{\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{(n+1)^{s}}}\right],\Re (s)>-1\\[6pt]\Rightarrow \eta '(s)&=(1-2^{1-s})\zeta '(s)+2^{1-s}(\ln 2)\zeta (s)\\[6pt]&=-{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left[{\frac {\ln n}{n^{s}}}-{\frac {\ln(n+1)}{(n+1)^{s}}}\right],\Re (s)>-1\end{aligned}}} ⇒ η ′ ( 0 ) = − ζ ′ ( 0 ) − ln 2 = − 1 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 [ ln n − ln ( n + 1 ) ] = − 1 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 ln n n + 1 = − 1 2 ( ln 1 2 − ln 2 3 + ln 3 4 − ln 4 5 + ln 5 6 − ⋯ ) = 1 2 ( ln 2 1 + ln 2 3 + ln 4 3 + ln 4 5 + ln 6 5 + ⋯ ) = 1 2 ln ( 2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 5 ⋅ ⋯ ) = 1 2 ln π 2 ⇒ ζ ′ ( 0 ) = − 1 2 ln ( 2 π ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow \eta '(0)&=-\zeta '(0)-\ln 2=-{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left[\ln n-\ln(n+1)\right]\\[6pt]&=-{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\ln {\frac {n}{n+1}}\\[6pt]&=-{\frac {1}{2}}\left(\ln {\frac {1}{2}}-\ln {\frac {2}{3}}+\ln {\frac {3}{4}}-\ln {\frac {4}{5}}+\ln {\frac {5}{6}}-\cdots \right)\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(\ln {\frac {2}{1}}+\ln {\frac {2}{3}}+\ln {\frac {4}{3}}+\ln {\frac {4}{5}}+\ln {\frac {6}{5}}+\cdots \right)\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot \cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln {\frac {\pi }{2}}\\\Rightarrow \zeta '(0)&=-{\frac {1}{2}}\ln \left(2\pi \right)\end{aligned}}} Ver también Notas ^ a b "Fórmula de Wallis". ^ "Integración de potencias y producto de senos y cosenos: problemas desafiantes". enlaces externos "Fórmula de Wallis", Enciclopedia de Matemáticas EMS Press , 2001 [1994] "¿Por qué este producto es igual a π/2? Una nueva prueba de la fórmula de Wallis para π". 3Azul1Marrón . 20 de abril de 2018. Archivado desde el original el 12 de diciembre de 2021, a través de YouTube . 
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2 }-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right )\\[6pt]&={\Grande (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Grande )}\cdot {\Grande (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Grande )}\cdot {\Grande (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{ 7}}{\Grande )}\cdot {\Grande (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Grande )}\cdot \;\cdots \\ \end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df59bf8aa67b6dff8be6cffb4f59777cea828454)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow I(n)&=\int _ {0}^{\pi }\sin ^{n}x\,dx\\[6pt]{}&=-\sin ^{n-1}x\cos x{\Biggl |}_{0}^{\pi }-\int _{0}^{\pi }(-\cos x)(n-1)\sin ^ {n-2}x\cos x\,dx\\[6pt]{}&=0+(n-1)\int _ {0}^{\pi }\cos ^{2}x\sin ^{ n-2}x\,dx,\qquad n>1\\[6pt]{}&=(n-1)\int _{0}^{\pi }(1-\sin ^{2}x) \sin ^{n-2}x\,dx\\[6pt]{}&=(n-1)\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}x\,dx- (n-1)\int _{0}^{\pi }\sin ^{n}x\,dx\\[6pt]{}&=(n-1)I(n-2)-(n- 1)I(n)\\[6pt]{}&={\frac {n-1}{n}}I(n-2)\\[6pt]\Rightarrow {\frac {I(n)}{ I(n-2)}}&={\frac {n-1}{n}}\\[6pt]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb327a4dcf3b4321e18cd38e4ab967de34205e3d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I(0)&=\int _{0}^{\pi }dx=x{\Biggl |}_{0}^{\pi }=\pi \\[6pt ]I(1)&=\int _{0}^{\pi }\sin x\,dx=-\cos x{\Biggl |}_{0}^{\pi }=(-\cos \pi )-(-\cos 0)=-(-1)-(-1)=2\\[6pt]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61d7bb90cabaa8b31f60711a286f7d3905dc4470)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {\frac {2}{\pi }}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{4n ^{2}}}\right)\\[6pt]\Rightarrow {\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n ^{2}}{4n^{2}-1}}\right)\\[6pt]&=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n- 1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4 }{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74ce7488d92c2708916455e66c7770dbfed21150)
![{\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}{\left({\frac {n}{e}}\right)}^{n}\left[1+O\left({\frac {1}{n}}\derecha)\derecha].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96fbe5666b3943b49f7279545f2d83f745c8bed2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}p_{k}&={1 \over {2k+1}}\prod _{n=1}^{k}{\frac {(2n)^{4}}{ [(2n)(2n-1)]^{2}}}\\[6pt]&={1 \over {2k+1}}\cdot {{2^{4k}\,(k!)^{ 4}} \sobre {[(2k)!]^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4425b5472edd553ad732621d722aa0a7ddf13ab)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},\Re (s)> 1\\[6pt]\eta (s)&=(1-2^{1-s})\zeta (s)\\[6pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }{ \frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}},\Re (s)>0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf32ebbc781cbf33667c496c10e1231e0a10c3e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\eta (s)&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty } (-1)^{n-1}\left[{\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{(n+1)^{s}}}\right], \Re (s)>-1\\[6pt]\Rightarrow \eta '(s)&=(1-2^{1-s})\zeta '(s)+2^{1-s}(\ ln 2)\zeta (s)\\[6pt]&=-{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\ izquierda[{\frac {\ln n}{n^{s}}}-{\frac {\ln(n+1)}{(n+1)^{s}}}\right],\Re ( s)>-1\end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e62998eb05e0fccc87195869efc243c134bad554)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow \eta '(0)&=-\zeta '(0)-\ln 2=-{\frac {1}{2}}\sum _{n=1} ^{\infty }(-1)^{n-1}\left[\ln n-\ln(n+1)\right]\\[6pt]&=-{\frac {1}{2}} \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\ln {\frac {n}{n+1}}\\[6pt]&=-{\frac {1 }{2}}\left(\ln {\frac {1}{2}}-\ln {\frac {2}{3}}+\ln {\frac {3}{4}}-\ln { \frac {4}{5}}+\ln {\frac {5}{6}}-\cdots \right)\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(\ln {\frac {2}{1}}+\ln {\frac {2}{3}}+\ln {\frac {4}{3}}+\ln {\frac {4}{5}}+ \ln {\frac {6}{5}}+\cdots \right)\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {2}{1}} \cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot \cdots \right)={\frac {1} {2}}\ln {\frac {\pi }{2}}\\\Rightarrow \zeta '(0)&=-{\frac {1}{2}}\ln \left(2\pi \right )\end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3803d63abff3794e62b95627aefe28f36754d24f)
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