Producto infinito

Concepto matemático

En matemáticas , para una secuencia de números complejos a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... el producto infinito

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }$

se define como el límite de los productos parciales a ₁ a ₂ ... a _n cuando n aumenta sin límite. Se dice que el producto converge cuando el límite existe y no es cero. De lo contrario, se dice que el producto diverge . Un límite de cero se trata especialmente para obtener resultados análogos a los de las sumas infinitas . Algunas fuentes permiten la convergencia a 0 si solo hay un número finito de factores cero y el producto de los factores distintos de cero es distinto de cero, pero por simplicidad no lo permitiremos aquí. Si el producto converge, entonces el límite de la secuencia a _n cuando n aumenta sin límite debe ser 1, mientras que la inversa en general no es cierta.

Los ejemplos más conocidos de productos infinitos son probablemente algunas de las fórmulas para π , como los dos productos siguientes, respectivamente de Viète ( fórmula de Viète , el primer producto infinito publicado en matemáticas) y John Wallis ( producto de Wallis ):

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \;\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\pi }{2^{n+1}}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\right)\cdot \left({\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\right)\cdot \left({\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\right)\cdot \left({\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\right)\cdot \;\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right).}$

Criterios de convergencia

El producto de números reales positivos

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

converge a un número real distinto de cero si y sólo si la suma

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n})}$

converge. Esto permite traducir los criterios de convergencia para sumas infinitas en criterios de convergencia para productos infinitos. El mismo criterio se aplica a productos de números complejos arbitrarios (incluidos los reales negativos) si el logaritmo se entiende como una rama fija del logaritmo que satisface ln(1) = 0, con la condición de que el producto infinito diverja cuando una cantidad infinita de a _n caiga fuera del dominio de ln, mientras que una cantidad finita de tales _n se puede ignorar en la suma.

Si definimos , los límites ${\displaystyle a_{n}=1+p_{n}}$

${\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{N}p_{n}\leq \prod _{n=1}^{N}\left(1+p_{n}\right)\leq \exp \left(\sum _{n=1}^{N}p_{n}\right)}$

Demuestre que el producto infinito de a _n converge si la suma infinita de p _n converge. Esto se basa en el teorema de convergencia monótona . Podemos demostrar lo contrario observando que, si , entonces ${\displaystyle p_{n}\to 0}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\log(1+p_{n})}{p_{n}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\log(1+x)}{x}}=1,}$

y por la prueba de comparación límite se deduce que las dos series

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(1+p_{n})\quad {\text{and}}\quad \sum _{n=1}^{\infty }p_{n},}$

son equivalentes, lo que significa que ambos convergen o ambos divergen.

Si la serie diverge hacia , entonces la secuencia de productos parciales de a n _converge a cero. Se dice que el producto infinito diverge hacia cero . ^[1] ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n})}$ ${\displaystyle -\infty }$

En el caso en que tengan signos arbitrarios, la convergencia de la suma no garantiza la convergencia del producto . Por ejemplo, si , entonces converge, pero diverge a cero. Sin embargo, si es convergente, entonces el producto converge absolutamente –es decir, los factores pueden reorganizarse en cualquier orden sin alterar ni la convergencia, ni el valor límite, del producto infinito. ^[2] Además, si es convergente, entonces la suma y el producto son ambos convergentes, o ambos divergentes. ^[3] ${\displaystyle p_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}}$ ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$ ${\displaystyle p_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n}}}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}}$ ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|p_{n}|}$ ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|p_{n}|^{2}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}}$ ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$

Representaciones de funciones del producto

Un resultado importante en relación con los productos infinitos es que toda función entera f ( z ) (es decir, toda función que sea holomorfa en todo el plano complejo ) puede factorizarse en un producto infinito de funciones enteras, cada una con una sola raíz como máximo. En general, si f tiene una raíz de orden m en el origen y tiene otras raíces complejas en u ₁ , u ₂ , u ₃ , ... (enumeradas con multiplicidades iguales a sus órdenes), entonces

${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{\phi (z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right)\exp \left\lbrace {\frac {z}{u_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {1}{\lambda _{n}}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{\lambda _{n}}\right\rbrace }$

donde λ _n son enteros no negativos que pueden elegirse para hacer que el producto converja, y es una función entera (lo que significa que el término antes del producto no tendrá raíces en el plano complejo). La factorización anterior no es única, ya que depende de la elección de valores para λ _n . Sin embargo, para la mayoría de las funciones, habrá algún entero no negativo mínimo p tal que λ _n = p dé un producto convergente, llamado la representación del producto canónico . Este p se llama el rango del producto canónico. En el caso de que p = 0, esto toma la forma ${\displaystyle \phi (z)}$

${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{\phi (z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right).}$

Esto puede considerarse como una generalización del teorema fundamental del álgebra , ya que para los polinomios, el producto se vuelve finito y es constante. ${\displaystyle \phi (z)}$

Además de estos ejemplos, merecen especial atención las siguientes representaciones:

La última de estas no es una representación del producto del mismo tipo discutido anteriormente, ya que ζ no es entero. Más bien, la representación del producto anterior de ζ ( z ) converge precisamente para Re( z ) > 1, donde es una función analítica. Mediante técnicas de continuación analítica , esta función se puede extender de manera única a una función analítica (todavía denotada ζ ( z )) en todo el plano complejo excepto en el punto z = 1, donde tiene un polo simple .

Véase también

• Productos infinitos en trigonometría
• Fracción continua
• Operación binaria iterada
• Expresión infinita
• Serie infinita
• Teorema del número pentagonal

Referencias

1. Jeffreys, Harold ; Jeffreys, Bertha Swirles (1999). Métodos de física matemática . Cambridge Mathematical Library (3.ª edición revisada). Cambridge University Press . pág. 52. ISBN 1107393671.
2. Trench, William F. (1999). "Convergencia condicional de productos infinitos" (PDF) . American Mathematical Monthly . 106 (7): 646–651. doi :10.1080/00029890.1999.12005098 . Consultado el 10 de diciembre de 2018 .
3. Knopp, Konrad (1954). Teoría y aplicación de series infinitas. Londres: Blackie & Son Ltd.

• Knopp, Konrad (1990). Teoría y aplicación de series infinitas . Dover Publications . ISBN. 978-0-486-66165-0.
• Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo (3.ª ed.). Boston: McGraw Hill . ISBN 0-07-054234-1.
• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. , eds. (1972). Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-61272-0.

Enlaces externos

• Productos infinitos de Wolfram Math World
• Una colección de productos infinitos – I
• Una colección de productos infinitos – II