Fórmula de Leibniz para π

Las fracciones unitarias impares con signo suman π/4

En matemáticas , la fórmula de Leibniz para π , llamada así en honor a Gottfried Wilhelm Leibniz , establece que $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}},}$$

una serie alternada

A veces se le llama serie de Madhava-Leibniz , ya que fue descubierta por primera vez por el matemático indio Madhava de Sangamagrama o sus seguidores en el siglo XIV-XV (ver serie de Madhava ), ^[1] y luego fue redescubierta independientemente por James Gregory en 1671 y Leibniz en 1673. ^[2] La serie de Taylor para la función tangente inversa , a menudo llamada serie de Gregory , es $${\displaystyle \arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}.}$$

La fórmula de Leibniz es el caso especial ^[3] ${\textstyle \arctan 1={\tfrac {1}{4}}\pi .}$

También es la serie L de Dirichlet del carácter de Dirichlet no principal de módulo 4 evaluado en y, por lo tanto, el valor β (1) de la función beta de Dirichlet . ${\displaystyle s=1,}$

Pruebas

Prueba 1

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=\arctan(1)\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=\int _{0}^{1}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}x^{2k}+{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\right)\,dx\\[8pt]&=\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}\right)+(-1)^{n+1}\left(\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\right)\end{aligned}}}$$

Considerando sólo la integral en el último término, tenemos: $${\displaystyle 0\leq \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\leq \int _{0}^{1}x^{2n+2}\,dx={\frac {1}{2n+3}}\;\rightarrow 0{\text{ as }}n\rightarrow \infty .}$$

Por lo tanto, por el teorema del apretón , cuando n → ∞ , nos queda la serie de Leibniz: $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}$$

Prueba 2

Sea , cuando , la serie converge uniformemente, entonces ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n+1}}$ ${\displaystyle |z|<1}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{2k}}$ $${\displaystyle \arctan(z)=\int _{0}^{z}{\frac {1}{1+t^{2}}}dt=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n+1}=f(z)\ (|z|<1).}$$

Por lo tanto, si se aproxima de manera que sea continua y converja uniformemente, la demostración está completa, donde, la serie a converger por la prueba de Leibniz , y además, se aproxima desde dentro del ángulo de Stolz, por lo que desde el teorema de Abel esto es correcto. ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(1)}$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(1)}$

Convergencia

Comparación de la convergencia de la fórmula de Leibniz ( □ ) y varias series infinitas históricas para π . S _n es la aproximación después de tomar n términos. Cada subgráfico subsiguiente amplía el área sombreada horizontalmente 10 veces. (haga clic para ver detalles)

La fórmula de Leibniz converge extremadamente lentamente: exhibe convergencia sublineal . Calcular π con 10 decimales correctas mediante la suma directa de la serie requiere exactamente cinco mil millones de términos porque ⁠4/2k + 1⁠ < 10 ⁻¹⁰ para k > 2 × 10 ¹⁰ − ⁠1/2⁠ (es necesario aplicar el límite de error de Calabrese ). Para obtener 4 decimales correctas (error de 0,00005) se necesitan 5000 términos. ^[4] Hay límites de error incluso mejores que los de Calabrese o Johnsonbaugh. ^[5]

Sin embargo, la fórmula de Leibniz se puede utilizar para calcular π con alta precisión (cientos de dígitos o más) utilizando varias técnicas de aceleración de la convergencia . Por ejemplo, la transformación de Shanks , la transformación de Euler o la transformación de Van Wijngaarden , que son métodos generales para series alternadas, se pueden aplicar de manera efectiva a las sumas parciales de la serie de Leibniz. Además, la combinación de términos por pares da como resultado la serie no alternada. $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{(4n+1)(4n+3)}}}$$

que puede evaluarse con gran precisión a partir de un pequeño número de términos mediante la extrapolación de Richardson o la fórmula de Euler-Maclaurin . Esta serie también puede transformarse en una integral mediante la fórmula de Abel-Plana y evaluarse utilizando técnicas de integración numérica .

Comportamiento inusual

Si la serie se trunca en el momento adecuado, la expansión decimal de la aproximación coincidirá con la de π para muchos más dígitos, excepto para dígitos aislados o grupos de dígitos. Por ejemplo, tomando cinco millones de términos se obtiene $${\displaystyle 3.141592{\underline {4}}5358979323846{\underline {4}}643383279502{\underline {7}}841971693993{\underline {873}}058...}$$

donde los dígitos subrayados son incorrectos. Los errores pueden predecirse, de hecho; son generados por los números de Euler E _n según la fórmula asintótica $${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-2\sum _{k=1}^{N/2}{\frac {(-1)^{k-1}}{2k-1}}\sim \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {E_{2m}}{N^{2m+1}}}}$$

donde N es un número entero divisible por 4. Si se elige N como una potencia de diez, cada término de la suma correcta se convierte en una fracción decimal finita. La fórmula es un caso especial de la fórmula de suma de Euler-Boole para series alternadas, lo que proporciona otro ejemplo de una técnica de aceleración de la convergencia que se puede aplicar a la serie de Leibniz. En 1992, Jonathan Borwein y Mark Limber utilizaron los primeros mil números de Euler para calcular π con 5263 decimales con la fórmula de Leibniz. ^[6]

Producto de Euler

La fórmula de Leibniz puede interpretarse como una serie de Dirichlet utilizando el carácter único no principal de Dirichlet módulo 4. Al igual que con otras series de Dirichlet, esto permite convertir la suma infinita en un producto infinito con un término para cada número primo . Tal producto se llama producto de Euler . Es: En este producto, cada término es una razón superparticular , cada numerador es un número primo impar y cada denominador es el múltiplo de 4 más cercano al numerador. ^[7] El producto es condicionalmente convergente; sus términos deben tomarse en orden de p creciente . $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&={\biggl (}\prod _{p\,\equiv \,1\ ({\text{mod}}\ 4)}{\frac {p}{p-1}}{\biggr )}{\biggl (}\prod _{p\,\equiv \,3\ ({\text{mod}}\ 4)}{\frac {p}{p+1}}{\biggr )}\\[7mu]&={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{16}}\cdot {\frac {19}{20}}\cdot {\frac {23}{24}}\cdot {\frac {29}{28}}\cdots \end{aligned}}}$$

Véase también

• Lista de fórmulas que involucran π

Referencias

1. Plofker, Kim (noviembre de 2012), " Tantrasaṅgraha de Nīlakaṇṭha Somayājī por K. Ramasubramanian y MS Sriram", The Mathematical Intelligencer , 35 (1): 86–88, doi :10.1007/s00283-012-9344-6, S2CID  124507583
2. Roy, Ranjan (1990). "El descubrimiento de la fórmula de la serie para π por Leibniz, Gregory y Nilakantha" (PDF) . Revista de Matemáticas . 63 (5): 291–306. doi :10.1080/0025570X.1990.11977541.
   Horvath, Miklos (1983). «Sobre la cuadratura leibniziana del círculo» (PDF) . Annales Universitatis Scientiarum Budapestiensis (Sectio Computatorica) . 4 : 75–83.
3. Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999), Funciones especiales , Cambridge University Press , pág. 58, ISBN 0-521-78988-5
4. Villarino, Mark B. (21 de abril de 2018). "El error en una serie alternada". The American Mathematical Monthly . 125 (4): 360–364. doi :10.1080/00029890.2017.1416875. hdl : 10669/75532 . ISSN  0002-9890. S2CID  56124579.
5. Rattaggi, Diego (30 de agosto de 2018). "Estimaciones de error para la serie de Gregory-Leibniz y la serie armónica alternada utilizando integrales de Dalzell". arXiv : 1809.00998 [math.CA].
6. Borwein, Jonathan ; Bailey, David ; Girgensohn, Roland (2004), "1.8.1: Gregory's Series Reexamined", Experimentación en matemáticas: caminos computacionales hacia el descubrimiento , AK Peters, págs. 28-30, ISBN 1-56881-136-5, Sr.  2051473
7. Debnath, Lokenath (2010), El legado de Leonhard Euler: un homenaje al tricentenario, World Scientific, pág. 214, ISBN 9781848165267.