Producto de Euler

Productos infinitos de funciones indexadas por primos

En teoría de números , un producto de Euler es una expansión de una serie de Dirichlet en un producto infinito indexado por números primos . El producto original de este tipo se dio para la suma de todos los números enteros positivos elevados a una determinada potencia , como demostró Leonhard Euler . Esta serie y su continuación hasta el plano complejo completo se conocerían más tarde como la función zeta de Riemann .

Definición

En general, si a es una función multiplicativa acotada , entonces la serie de Dirichlet

${\displaystyle \sum _{n}{\frac {a(n)}{n^{s}}}\,}$

es igual a

${\displaystyle \prod _{p}P(p,s)\quad {\text{for }}\operatorname {Re} (s)>1.}$

donde el producto se toma sobre números primos p , y P ( p , s ) es la suma

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a(p^{k})}{p^{ks}}}=1+{\frac {a(p)}{p^{s}}}+{\frac {a(p^{2})}{p^{2s}}}+{\frac {a(p^{3})}{p^{3s}}}+\cdots }$

De hecho, si consideramos éstas como funciones generadoras formales , la existencia de tal expansión formal del producto de Euler es una condición necesaria y suficiente para que a ( n ) sea multiplicativo: esto dice exactamente que a ( n ) es el producto de a ( p ^k ) siempre que n se factoriza como el producto de las potencias p ^k de primos distintos p .

Un caso especial importante es aquel en el que a ( n ) es totalmente multiplicativa , de modo que P ( p , s ) es una serie geométrica . Entonces

${\displaystyle P(p,s)={\frac {1}{1-{\frac {a(p)}{p^{s}}}}},}$

como es el caso de la función zeta de Riemann , donde a ( n ) = 1 , y más generalmente para los caracteres de Dirichlet .

Convergencia

En la práctica, todos los casos importantes son tales que las series infinitas y las expansiones infinitas de productos son absolutamente convergentes en alguna región.

${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>C,}$

es decir, en algún semiplano derecho de los números complejos . Esto ya da alguna información, ya que el producto infinito, para converger, debe dar un valor distinto de cero; por lo tanto, la función dada por la serie infinita no es cero en tal semiplano.

En la teoría de formas modulares es típico tener productos de Euler con polinomios cuadráticos en el denominador. La filosofía general de Langlands incluye una explicación comparable de la conexión de polinomios de grado m y la teoría de representación para GL _m .

Ejemplos

Los siguientes ejemplos utilizarán la notación para el conjunto de todos los números primos, es decir: ${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle \mathbb {P} =\{p\in \mathbb {N} \,|\,p{\text{ is prime}}\}.}$

El producto de Euler asociado a la función zeta de Riemann ζ ( s ) , utilizando también la suma de las series geométricas, es

${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)&=\prod _{p\ \in \ \mathbb {P} }\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{ks}}}\right)\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\zeta (s).\end{aligned}}}$

mientras que para la función de Liouville λ ( n ) = (−1) ^{ω ( n )} , es

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1}{1+{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}.}$

Utilizando sus recíprocos, dos productos de Euler para la función de Möbius μ ( n ) son

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}$

y

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(1+{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}.}$

Tomando la relación de estos dos se obtiene

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {1+{\frac {1}{p^{s}}}}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}\right)=\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {p^{s}+1}{p^{s}-1}}\right)={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}.}$

Dado que para valores pares de s la función zeta de Riemann ζ ( s ) tiene una expresión analítica en términos de un múltiplo racional de π ^s , entonces para exponentes pares, este producto infinito evalúa a un número racional. Por ejemplo, dado que ζ (2) = ⁠π2^​/6⁠ , ζ (4) = ⁠π ⁴/90⁠ , y ζ (8) = ⁠π8^​/9450⁠ , entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {p^{2}+1}{p^{2}-1}}\right)&={\frac {5}{3}}\cdot {\frac {10}{8}}\cdot {\frac {26}{24}}\cdot {\frac {50}{48}}\cdot {\frac {122}{120}}\cdots &={\frac {\zeta (2)^{2}}{\zeta (4)}}&={\frac {5}{2}},\\[6pt]\prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left({\frac {p^{4}+1}{p^{4}-1}}\right)&={\frac {17}{15}}\cdot {\frac {82}{80}}\cdot {\frac {626}{624}}\cdot {\frac {2402}{2400}}\cdots &={\frac {\zeta (4)^{2}}{\zeta (8)}}&={\frac {7}{6}},\end{aligned}}}$

y así sucesivamente, con el primer resultado conocido por Ramanujan . Esta familia de productos infinitos también es equivalente a

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(1+{\frac {2}{p^{s}}}+{\frac {2}{p^{2s}}}+\cdots \right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}},}$

donde ω ( n ) cuenta el número de factores primos distintos de n , y 2 ^{ω ( n )} es el número de divisores libres de cuadrados .

Si χ ( n ) es un carácter de Dirichlet del conductor N , de modo que χ es totalmente multiplicativo y χ ( n ) sólo depende de n mod N , y χ ( n ) = 0 si n no es coprimo con N , entonces

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }{\frac {1}{1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.}$

Aquí conviene omitir los primos p que dividen al conductor N del producto. En sus cuadernos, Ramanujan generalizó el producto de Euler para la función zeta como

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,\mathbb {P} }\left(x-{\frac {1}{p^{s}}}\right)\approx {\frac {1}{\operatorname {Li} _{s}(x)}}}$

para s > 1 donde Li _s ( x ) es el polilogaritmo . Para x = 1 el producto anterior es simplemente ⁠1/ζ ( s )⁠ .

Constantes notables

Muchas constantes bien conocidas tienen expansiones de productos de Euler.

La fórmula de Leibniz para π

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots }$

puede interpretarse como una serie de Dirichlet utilizando el carácter de Dirichlet (único) módulo 4, y convertirse en un producto de Euler de proporciones superparticulares (fracciones donde numerador y denominador difieren en 1):

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\left(\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}{\frac {p}{p-1}}\right)\left(\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}{\frac {p}{p+1}}\right)={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdots ,}$

donde cada numerador es un número primo y cada denominador es el múltiplo de 4 más cercano. ^[1]

Otros productos de Euler para constantes conocidas incluyen:

• La constante de primos gemelos de Hardy-Littlewood :

${\displaystyle \prod _{p>2}\left(1-{\frac {1}{\left(p-1\right)^{2}}}\right)=0.660161...}$

• La constante de Landau-Ramanujan :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}&=0.764223...\\[6pt]{\frac {1}{\sqrt {2}}}\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}&=0.764223...\end{aligned}}}$

• Constante de Murata (secuencia A065485 en la OEIS ):

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{\left(p-1\right)^{2}}}\right)=2.826419...}$

• La constante fuertemente despreocupada × ζ (2) ² OEIS : A065472 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{\left(p+1\right)^{2}}}\right)=0.775883...}$

• OEIS constante de Artin : A005596 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p(p-1)}}\right)=0.373955...}$

• Constante del paciente de Landau OEIS : A082695 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3)=1.943596...}$

• La constante despreocupada × ζ (2) OEIS : A065463 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p(p+1)}}\right)=0.704442...}$

y su OEIS recíproco : A065489 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}+p-1}}\right)=1.419562...}$

• La constante de Feller-Tornier OEIS : A065493 :

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\prod _{p}\left(1-{\frac {2}{p^{2}}}\right)=0.661317...}$

• La constante de número de clase cuadrática OEIS : A065465 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{2}(p+1)}}\right)=0.881513...}$

• La constante sumatoria del totient OEIS : A065483 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}(p-1)}}\right)=1.339784...}$

• Constante de Sarnak OEIS : A065476 :

${\displaystyle \prod _{p>2}\left(1-{\frac {p+2}{p^{3}}}\right)=0.723648...}$

• La constante despreocupada OEIS : A065464 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {2p-1}{p^{3}}}\right)=0.428249...}$

• La constante fuertemente despreocupada OEIS : A065473 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {3p-2}{p^{3}}}\right)=0.286747...}$

• Constante de Stephens OEIS : A065478 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {p}{p^{3}-1}}\right)=0.575959...}$

• Constante de Barban OEIS : A175640 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {3p^{2}-1}{p(p+1)\left(p^{2}-1\right)}}\right)=2.596536...}$

• Constante de Taniguchi OEIS : A175639 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {3}{p^{3}}}+{\frac {2}{p^{4}}}+{\frac {1}{p^{5}}}-{\frac {1}{p^{6}}}\right)=0.678234...}$

• La constante de Heath-Brown y Moroz OEIS : A118228 :

${\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{7}\left(1+{\frac {7p+1}{p^{2}}}\right)=0.0013176...}$

Notas

1. Debnath, Lokenath (2010), El legado de Leonhard Euler: un homenaje al tricentenario, World Scientific, pág. 214, ISBN 9781848165267.

Referencias

• G. Polya , Inducción y analogía en matemáticas, volumen 1 , Princeton University Press (1954), tarjeta LC 53-6388 (a partir de la página 91 aparece una traducción al inglés muy accesible de las memorias de Euler sobre esta "Ley de los números más extraordinaria").
• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929, Zbl  0335.10001 (Proporciona una discusión introductoria del producto de Euler en el contexto de la teoría de números clásica).
• GH Hardy y EM Wright , Introducción a la teoría de números , 5.ª ed., Oxford (1979) ISBN 0-19-853171-0 (El capítulo 17 ofrece más ejemplos). 
• George E. Andrews, Bruce C. Berndt, El cuaderno perdido de Ramanujan: Parte I , Springer (2005), ISBN 0-387-25529-X 
• G. Niklasch, Algunas constantes teóricas de números: valores de 1000 dígitos"

Enlaces externos

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• Stepanov, SA (2001) [1994], "Producto de Euler", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Weisstein, Eric W. "Producto Euler". MundoMatemático .
• Niklasch, G. (23 de agosto de 2002). "Algunas constantes de la teoría de números". Archivado desde el original el 12 de junio de 2006.