En teoría de la representación y teoría algebraica de números , el programa Langlands es una red de conjeturas de largo alcance y consecuentes sobre las conexiones entre la teoría de números y la geometría . Propuesto por Robert Langlands (1967, 1970), busca relacionar los grupos de Galois en la teoría algebraica de números con las formas automórficas y la teoría de la representación de grupos algebraicos sobre cuerpos locales y adeles . Considerado ampliamente como el mayor proyecto individual en la investigación matemática moderna, el programa Langlands ha sido descrito por Edward Frenkel como "una especie de gran teoría unificada de las matemáticas". [1]
El programa Langlands consiste en algunas abstracciones teóricas muy complicadas, que pueden resultar difíciles de comprender incluso para matemáticos especializados. Para simplificar, el lema fundamental del proyecto postula una conexión directa entre la representación fundamental generalizada de un cuerpo finito con su extensión de grupo a las formas automórficas bajo las cuales es invariante . Esto se logra a través de la abstracción a la integración de dimensiones superiores , por una equivalencia a un cierto grupo analítico como una extensión absoluta de su álgebra . En consecuencia, esto permite una construcción funcional analítica de poderosas transformaciones de invariancia para un cuerpo de números a su propia estructura algebraica .
El significado de una construcción de este tipo es matizado, pero sus soluciones específicas y generalizaciones son muy poderosas. La consecuencia para la prueba de la existencia de tales objetos teóricos implica un método analítico para construir la aplicación categórica de estructuras fundamentales para virtualmente cualquier cuerpo de números . Como análogo a la posible distribución exacta de primos , el programa Langlands permite una herramienta general potencial para la resolución de la invariancia a nivel de estructuras algebraicas generalizadas . Esto a su vez permite un análisis algo unificado de los objetos aritméticos a través de sus funciones automórficas . En pocas palabras, la filosofía Langlands permite un análisis general de la estructuración de las abstracciones de números. Naturalmente, esta descripción es a la vez una reducción y una generalización excesiva de los teoremas propios del programa, pero estos análogos matemáticos proporcionan la base de su conceptualización.
En resumen, una descripción simplificada de esta teoría para un no especialista sería: la construcción de un marco generalizado y en cierto modo unificado, para caracterizar las estructuras que sustentan los números y sus abstracciones , y por tanto los invariantes que los basan, todo ello a través de métodos analíticos .
En un contexto muy amplio, el programa se basó en ideas existentes: la filosofía de las formas de cúspide formulada unos años antes por Harish-Chandra y Gelfand (1963), el trabajo y el enfoque de Harish-Chandra sobre los grupos de Lie semisimples y, en términos técnicos, la fórmula de trazas de Selberg y otros.
Lo que inicialmente era muy novedoso en el trabajo de Langlands, además de la profundidad técnica, era la conexión directa propuesta con la teoría de números, junto con la rica estructura organizacional hipotetizada (la llamada functorialidad ).
Por ejemplo, en el trabajo de Harish-Chandra se encuentra el principio de que lo que se puede hacer para un grupo de Lie semisimple (o reductivo) se debe hacer para todos. Por lo tanto, una vez que se reconoció el papel de algunos grupos de Lie de baja dimensión como GL(2) en la teoría de formas modulares, y con la perspectiva GL(1) en la teoría de cuerpos de clases , el camino quedó abierto al menos a la especulación sobre GL( n ) para n general > 2.
La idea de la forma de cúspide surgió de las cúspides de las curvas modulares , pero también tenía un significado visible en la teoría espectral como " espectro discreto ", en contraste con el " espectro continuo " de las series de Eisenstein . Se vuelve mucho más técnico para grupos de Lie más grandes, porque los subgrupos parabólicos son más numerosos.
En todos estos enfoques no faltaron métodos técnicos, a menudo de naturaleza inductiva y basados en descomposiciones de Levi entre otras cuestiones, pero el campo era –y es– muy exigente. [2]
Y en el lado de las formas modulares, hubo ejemplos como las formas modulares de Hilbert , las formas modulares de Siegel y las series theta .
Existen varias conjeturas de Langlands relacionadas entre sí. Existen muchos grupos diferentes en muchos campos diferentes para los que se pueden enunciar, y para cada campo existen varias versiones diferentes de las conjeturas. [3] Algunas versiones [ ¿cuáles? ] de las conjeturas de Langlands son vagas o dependen de objetos como los grupos de Langlands , cuya existencia no está demostrada, o del grupo L , que tiene varias definiciones no equivalentes. Además, las conjeturas de Langlands han evolucionado desde que Langlands las enunció por primera vez en 1967.
Hay diferentes tipos de objetos para los cuales se pueden establecer las conjeturas de Langlands:
Hay varias maneras diferentes de enunciar las conjeturas de Langlands, que están estrechamente relacionadas pero no son obviamente equivalentes.
El punto de partida del programa puede verse como la ley de reciprocidad de Emil Artin , que generaliza la reciprocidad cuadrática . La ley de reciprocidad de Artin se aplica a una extensión de Galois de un cuerpo de números algebraicos cuyo grupo de Galois es abeliano ; asigna funciones L a las representaciones unidimensionales de este grupo de Galois y establece que estas funciones L son idénticas a ciertas series L de Dirichlet o series más generales (es decir, ciertos análogos de la función zeta de Riemann ) construidas a partir de caracteres de Hecke . La correspondencia precisa entre estos diferentes tipos de funciones L constituye la ley de reciprocidad de Artin.
Para los grupos de Galois no abelianos y sus representaciones de dimensiones superiores, todavía se pueden definir funciones L de forma natural: funciones L de Artin .
La idea de Langlands era encontrar la generalización adecuada de las funciones L de Dirichlet , que permitiera la formulación del enunciado de Artin en este contexto más general. Hecke había relacionado anteriormente las funciones L de Dirichlet con formas automórficas ( funciones holomorfas en el semiplano superior del plano de números complejos que satisfacen ciertas ecuaciones funcionales ). Langlands luego las generalizó a representaciones cuspidales automórficas , que son ciertas representaciones irreducibles de dimensión infinita del grupo lineal general GL( n ) sobre el anillo de Adele de (los números racionales ). (Este anillo mantiene un registro simultáneo de todas las compleciones de véase números p -ádicos ).
Langlands adjuntó funciones L automórficas a estas representaciones automórficas y conjeturó que cada función L de Artin que surge de una representación de dimensión finita del grupo de Galois de un cuerpo de números es igual a una que surge de una representación cuspidal automórfica. Esto se conoce como su " conjetura de reciprocidad ".
En términos generales, la conjetura de reciprocidad da una correspondencia entre las representaciones automórficas de un grupo reductivo y los homomorfismos de un grupo de Langlands a un grupo L. Existen numerosas variaciones de esto, en parte porque las definiciones de grupo de Langlands y grupo L no son fijas.
Sobre cuerpos locales se espera que esto proporcione una parametrización de L -paquetes de representaciones irreducibles admisibles de un grupo reductivo sobre el cuerpo local. Por ejemplo, sobre los números reales, esta correspondencia es la clasificación de Langlands de representaciones de grupos reductivos reales. Sobre cuerpos globales , debería proporcionar una parametrización de formas automórficas.
La conjetura de funtorialidad establece que se espera que un homomorfismo adecuado de grupos L dé una correspondencia entre formas automórficas (en el caso global) o representaciones (en el caso local). En términos generales, la conjetura de reciprocidad de Langlands es el caso especial de la conjetura de funtorialidad cuando uno de los grupos reductivos es trivial.
Langlands generalizó la idea de functorialidad: en lugar de utilizar el grupo lineal general GL( n ), se pueden utilizar otros grupos reductivos conexos. Además, dado dicho grupo G , Langlands construye el grupo dual de Langlands L G , y luego, para cada representación cuspidal automórfica de G y cada representación de dimensión finita de L G , define una función L. Una de sus conjeturas establece que estas funciones L satisfacen una cierta ecuación funcional que generaliza las de otras funciones L conocidas .
Luego formula un "Principio de Functorialidad" muy general. Dados dos grupos reductivos y un morfismo (que se comporta bien) entre sus L -grupos correspondientes, esta conjetura relaciona sus representaciones automórficas de una manera que es compatible con sus L -funciones. Esta conjetura de functorialidad implica todas las demás conjeturas presentadas hasta ahora. Es de la naturaleza de una construcción de representación inducida , lo que en la teoría más tradicional de formas automórficas se había llamado un " elevamiento ", conocido en casos especiales, y por lo tanto es covariante (mientras que una representación restringida es contravariante). Los intentos de especificar una construcción directa solo han producido algunos resultados condicionales.
Todas estas conjeturas pueden formularse para campos más generales en lugar de : campos de números algebraicos (el caso original y más importante), campos locales y campos de funciones ( extensiones finitas de F p ( t ) donde p es un primo y F p ( t ) es el campo de funciones racionales sobre el campo finito con p elementos).
El programa geométrico de Langlands, sugerido por Gérard Laumon siguiendo las ideas de Vladimir Drinfeld , surge de una reformulación geométrica del programa de Langlands habitual que intenta relacionar más que sólo representaciones irreducibles. En casos simples, relaciona representaciones l -ádicas del grupo fundamental étale de una curva algebraica con objetos de la categoría derivada de haces l -ádicos en la pila de módulos de fibrados vectoriales sobre la curva.
Un proyecto colaborativo de nueve personas dirigido por Dennis Gaitsgory ha anunciado una prueba de la conjetura geométrica de Langlands (categórica, no ramificada) que aprovecha el haz propio de Hecke como parte de la prueba. [4] [5] [6] [7]
Las conjeturas de Langlands para GL(1, K ) se derivan de (y son esencialmente equivalentes a) la teoría de campos de clases .
Langlands demostró las conjeturas de Langlands para grupos sobre los campos locales de Arquímedes (los números reales ) y (los números complejos ) dando la clasificación de Langlands de sus representaciones irreducibles.
La clasificación de Lusztig de las representaciones irreducibles de grupos de tipo Lie sobre campos finitos puede considerarse un análogo de las conjeturas de Langlands para campos finitos.
La prueba de Andrew Wiles de la modularidad de las curvas elípticas semiestables sobre números racionales puede considerarse un ejemplo de la conjetura de reciprocidad de Langlands, ya que la idea principal es relacionar las representaciones de Galois que surgen de las curvas elípticas con las formas modulares. Aunque los resultados de Wiles se han generalizado sustancialmente, en muchas direcciones diferentes, la conjetura completa de Langlands para sigue sin demostrarse.
En 1998, Laurent Lafforgue demostró el teorema de Lafforgue verificando las conjeturas de Langlands para el grupo lineal general GL( n , K ) para cuerpos de funciones K . Este trabajo continuó investigaciones anteriores de Drinfeld, quien demostró el caso GL(2, K ) en la década de 1980.
En 2018, Vincent Lafforgue estableció la correspondencia global de Langlands (la dirección de las formas automórficas a las representaciones de Galois) para grupos reductivos conectados sobre campos de funciones globales. [8] [9] [10]
Philip Kutzko (1980) demostró las conjeturas locales de Langlands para el grupo lineal general GL(2, K ) sobre campos locales.
Gérard Laumon , Michael Rapoport y Ulrich Stuhler (1993) demostraron las conjeturas locales de Langlands para el grupo lineal general GL( n , K ) para campos locales característicos positivos K . Su prueba utiliza un argumento global.
Michael Harris y Richard Taylor (2001) demostraron las conjeturas locales de Langlands para el grupo lineal general GL( n , K ) para cuerpos locales característicos 0 K . Guy Henniart (2000) dio otra prueba. Ambas pruebas utilizan un argumento global. Peter Scholze (2013) dio otra prueba.
En 2008, Ngô Bảo Châu demostró el " lema fundamental ", que fue conjeturado originalmente por Langlands y Shelstad en 1983 y que se requiere en la prueba de algunas conjeturas importantes en el programa Langlands. [11] [12]
Para un lector profano o incluso para un matemático no especializado, las abstracciones del programa Langlands pueden resultar algo impenetrables. Sin embargo, existen algunas implicaciones sólidas y claras para la prueba o refutación de las conjeturas fundamentales de Langlands.
Como el programa postula una poderosa conexión entre la teoría analítica de números y las generalizaciones de la geometría algebraica , la idea de "funcionalidad" entre las representaciones algebraicas abstractas de cuerpos numéricos y sus construcciones analíticas de números primos da como resultado poderosas herramientas funcionales que permiten una cuantificación exacta de distribuciones de números primos . Esto, a su vez, genera la capacidad de clasificar ecuaciones diofánticas y otras abstracciones de funciones algebraicas .
Además, si existe la reciprocidad de tales álgebras generalizadas para los objetos postulados, y si se puede demostrar que sus funciones analíticas están bien definidas, algunos resultados muy profundos en matemáticas podrían estar al alcance de la prueba. Los ejemplos incluyen: soluciones racionales de curvas elípticas , construcción topológica de variedades algebraicas y la famosa hipótesis de Riemann . [13] Se esperaría que tales pruebas utilicen soluciones abstractas en objetos de series analíticas generalizadas , cada una de las cuales se relaciona con la invariancia dentro de las estructuras de cuerpos numéricos.
Además, se han postulado algunas conexiones entre el programa Langlands y la teoría M , ya que sus dualidades se conectan de maneras no triviales , proporcionando posibles soluciones exactas en la teoría de supercuerdas (como se hizo de manera similar en la teoría de grupos a través del monstruoso moonshine ).
En términos sencillos, el proyecto Langlands implica un marco profundo y potente de soluciones que toca las áreas más fundamentales de las matemáticas, a través de generalizaciones de alto orden en soluciones exactas de ecuaciones algebraicas, con funciones analíticas, tal como están incorporadas en formas geométricas. Permite una unificación de muchos campos matemáticos distantes en un formalismo de métodos analíticos poderosos .
Todo esto, como decía mi padre, es bastante pesado: tenemos espacios de módulos de Hitchin, simetría especular,A
-
branas,
B
-branas, haces automórficos... Uno puede tener dolor de cabeza sólo con intentar seguirles la pista a todos. Créanme, incluso entre los especialistas, muy poca gente conoce los entresijos de todos los elementos de esta construcción.
es hoy un tema muy amplio. Hay una gran comunidad de personas que trabajan en él en diferentes campos: teoría de números, análisis armónico, geometría, teoría de la representación, física matemática. Aunque trabajan con objetos muy diferentes, todos observan fenómenos similares.
