Función L de Dirichlet

Tipo de función matemática

En matemáticas , una serie L de Dirichlet es una función de la forma

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.}$

donde es un carácter de Dirichlet y s una variable compleja con parte real mayor que 1. Es un caso especial de una serie de Dirichlet . Por continuación analítica , se puede extender a una función meromorfa en todo el plano complejo , y luego se llama función L de Dirichlet y también se denota L ( s , χ ). ${\displaystyle \chi }$

Estas funciones llevan el nombre de Peter Gustav Lejeune Dirichlet, quien las introdujo (Dirichlet 1837) para demostrar el teorema de los números primos en progresiones aritméticas que también lleva su nombre. En el curso de la prueba, Dirichlet muestra que L ( s , χ ) es distinto de cero en s = 1. Además, si χ es principal, entonces la correspondiente función L de Dirichlet tiene un polo simple en s = 1. De lo contrario, la función L es completa .

Producto Euler

Dado que un carácter de Dirichlet χ es completamente multiplicativo , su función L también se puede escribir como un producto de Euler en el semiplano de convergencia absoluta :

${\displaystyle L(s,\chi )=\prod _{p}\left(1-\chi (p)p^{-s}\right)^{-1}{\text{ for }}{\text{Re}}(s)>1,}$

donde el producto es sobre todos los números primos . ^[1]

Personajes primitivos

Los resultados sobre las funciones L a menudo se expresan de manera más simple si se supone que el carácter es primitivo, aunque los resultados generalmente se pueden extender a caracteres imprimitivos con complicaciones menores. ^[2] Esto se debe a la relación entre un carácter imprimitivo y el carácter primitivo que lo induce: ^[3] ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi ^{\star }}$

${\displaystyle \chi (n)={\begin{cases}\chi ^{\star }(n),&\mathrm {if} \gcd(n,q)=1\\0,&\mathrm {if} \gcd(n,q)\neq 1\end{cases}}}$

(Aquí, q es el módulo de χ .) Una aplicación del producto de Euler proporciona una relación simple entre las funciones L correspondientes: ^{[4] [5]}

${\displaystyle L(s,\chi )=L(s,\chi ^{\star })\prod _{p\,|\,q}\left(1-{\frac {\chi ^{\star }(p)}{p^{s}}}\right)}$

(Esta fórmula es válida para todos los s , por continuación analítica, aunque el producto de Euler sólo es válido cuando Re( s ) > 1.) La fórmula muestra que la función L de χ es igual a la función L del carácter primitivo lo que induce χ , multiplicado sólo por un número finito de factores. ^[6]

Como caso especial, la función L del carácter principal módulo q se puede expresar en términos de la función zeta de Riemann : ^{[7] [8]} ${\displaystyle \chi _{0}}$

${\displaystyle L(s,\chi _{0})=\zeta (s)\prod _{p\,|\,q}(1-p^{-s})}$

Ecuación funcional

Las funciones L de Dirichlet satisfacen una ecuación funcional , lo que proporciona una manera de continuarlas analíticamente en todo el plano complejo. La ecuación funcional relaciona el valor de con el valor de . Sea χ un carácter primitivo módulo q , donde q > 1. Una forma de expresar la ecuación funcional es: ^[9] ${\displaystyle L(s,\chi )}$ ${\displaystyle L(1-s,{\overline {\chi }})}$

${\displaystyle L(s,\chi )=\varepsilon (\chi )2^{s}\pi ^{s-1}q^{1/2-s}\sin \left({\frac {\pi }{2}}(s+a)\right)\Gamma (1-s)L(1-s,{\overline {\chi }}).}$

En esta ecuación, Γ denota la función gamma ; a es 0 si χ (−1) = 1, o 1 si χ (−1) = −1; y

${\displaystyle \varepsilon (\chi )={\frac {\tau (\chi )}{i^{a}{\sqrt {q}}}}}$

donde τ  (  χ ) es una suma de Gauss :

${\displaystyle \tau (\chi )=\sum _{n=1}^{q}\chi (n)\exp(2\pi in/q).}$

Es una propiedad de las sumas de Gauss que | τ  (  χ ) | = q ^1/2 , entonces | ɛ  (  χ ) | = 1. ^{[10] [11]}

Otra forma de expresar la ecuación funcional es en términos de

${\displaystyle \xi (s,\chi )=\left({\frac {q}{\pi }}\right)^{(s+a)/2}\operatorname {\Gamma } \left({\frac {s+a}{2}}\right)L(s,\chi ).}$

La ecuación funcional se puede expresar como: ^{[9] [11]}

${\displaystyle \xi (s,\chi )=\varepsilon (\chi )\xi (1-s,{\overline {\chi }}).}$

La ecuación funcional implica que (y ) son funciones enteras de s . (Nuevamente, esto supone que χ es un carácter primitivo módulo q con q > 1. Si q = 1, entonces tiene un polo en s = 1.) ^{[9] [11]} ${\displaystyle L(s,\chi )}$ ${\displaystyle \xi (s,\chi )}$ ${\displaystyle L(s,\chi )=\zeta (s)}$

Para generalizaciones, consulte: Ecuación funcional (función L) .

Ceros

La función L de Dirichlet L ( s , χ ) = 1 − 3 ^{− s} + 5 ^{− s} − 7 ^{− s} + ⋅⋅⋅ (a veces recibe el nombre especial de función beta de Dirichlet ), con ceros triviales en los enteros impares negativos

Sea χ un carácter primitivo módulo q , con q > 1.

No hay ceros de L ( s , χ ) con Re( s ) > 1. Para Re( s ) < 0, hay ceros en ciertos enteros negativos s :

• Si χ (−1) = 1, los únicos ceros de L ( s , χ ) con Re( s ) < 0 son ceros simples en −2, −4, −6, .... (También hay un cero en s = 0.) Estos corresponden a los polos de . ^[12] ${\displaystyle \textstyle \Gamma ({\frac {s}{2}})}$
• Si χ (−1) = −1, entonces los únicos ceros de L ( s , χ ) con Re( s ) < 0 son ceros simples en −1, −3, −5, .... Estos corresponden a los polos de . ^[12] ${\displaystyle \textstyle \Gamma ({\frac {s+1}{2}})}$

Estos se llaman ceros triviales. ^[9]

Los ceros restantes se encuentran en la franja crítica 0 ≤ Re( s ) ≤ 1 y se denominan ceros no triviales. Los ceros no triviales son simétricos con respecto a la línea crítica Re( s ) = 1/2. Es decir, si entonces también, debido a la ecuación funcional. Si χ es un carácter real, entonces los ceros no triviales también son simétricos con respecto al eje real, pero no si χ es un carácter complejo. La hipótesis generalizada de Riemann es la conjetura de que todos los ceros no triviales se encuentran en la línea crítica Re( s ) = 1/2. ^[9] ${\displaystyle L(\rho ,\chi )=0}$ ${\displaystyle L(1-{\overline {\rho }},\chi )=0}$

Hasta la posible existencia de un cero de Siegel , se sabe que existen regiones libres de cero que incluyen y más allá de la línea Re( s ) = 1 similar a la de la función zeta de Riemann para todas las funciones L de Dirichlet : por ejemplo, para χ a carácter no real del módulo q , tenemos

${\displaystyle \beta <1-{\frac {c}{\log \!\!\;{\big (}q(2+|\gamma |){\big )}}}\ }$

para β + iγ un cero no real. ^[13]

Relación con la función zeta de Hurwitz

Las funciones L de Dirichlet se pueden escribir como una combinación lineal de la función zeta de Hurwitz en valores racionales. Al fijar un número entero k ≥ 1, las funciones L de Dirichlet para caracteres módulo k son combinaciones lineales, con coeficientes constantes, de ζ ( s , a ) donde a = r / k y r = 1, 2, ..., k . Esto significa que la función zeta de Hurwitz para a racional tiene propiedades analíticas que están estrechamente relacionadas con las funciones L de Dirichlet . Específicamente, sea χ un carácter módulo k . Entonces podemos escribir su función L de Dirichlet como: ^[14]

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{r=1}^{k}\chi (r)\operatorname {\zeta } \left(s,{\frac {r}{k}}\right).}$

Ver también

• Hipótesis de Riemann generalizada
• función L
• Teorema de modularidad
• Conjetura de Artin
• Valores especiales de funciones L

Notas

1. Apóstol 1976, Teorema 11.7
2. Davenport 2000, capítulo 5
3. Davenport 2000, capítulo 5, ecuación (2)
4. Davenport 2000, capítulo 5, ecuación (3)
5. Montgomery y Vaughan 2006, pág. 282
6. Apóstol 1976, pag. 262
7. Irlanda y Rosen 1990, capítulo 16, sección 4
8. Montgomery y Vaughan 2006, pág. 121
9. Montgomery y Vaughan 2006, pág. 333
10. Montgomery y Vaughan 2006, pág. 332
11. Iwaniec y Kowalski 2004, pag. 84
12. Davenport 2000, capítulo 9
13. Montgomery, Hugh L. (1994). Diez conferencias sobre la interfaz entre la teoría analítica de números y el análisis armónico . Serie de Conferencias Regionales en Matemáticas. vol. 84. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 163.ISBN​ 0-8218-0737-4. Zbl  0814.11001.
14. Apóstol 1976, pag. 249

Referencias

• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, SEÑOR  0434929, Zbl  0335.10001
• Apostol, TM (2010), "Función L de Dirichlet", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, señor  2723248.
• Davenport, H. (2000). Teoría de números multiplicativos (3ª ed.). Saltador. ISBN 0-387-95097-4.
• Dirichlet, PGL (1837). "Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält". Abhand. Alaska. Wiss. Berlín . 48 .
• Irlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1990). Una introducción clásica a la teoría de números moderna (2ª ed.). Springer-Verlag.
• Montgomery, Hugh L .; Vaughan, Robert C. (2006). Teoría de números multiplicativos. I. Teoría clásica . Tratados de Cambridge sobre matemáticas avanzadas. vol. 97. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-84903-6.
• Iwaniec, Henryk ; Kowalski, Emmanuel (2004). Teoría analítica de números . Publicaciones del coloquio de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas. vol. 53. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense.
• "Función L de Dirichlet", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]