Hipótesis generalizada de Riemann

Conjetura matemática sobre los ceros de las funciones L

La hipótesis de Riemann es una de las conjeturas más importantes de las matemáticas . Es una afirmación sobre los ceros de la función zeta de Riemann . Diversos objetos geométricos y aritméticos pueden describirse mediante las llamadas funciones L globales , que son formalmente similares a la función zeta de Riemann. Se puede plantear entonces la misma pregunta sobre los ceros de estas funciones L , lo que da lugar a diversas generalizaciones de la hipótesis de Riemann. Muchos matemáticos creen que estas generalizaciones de la hipótesis de Riemann son verdaderas. Los únicos casos de estas conjeturas que se han demostrado se dan en el caso del cuerpo de funciones algebraicas (no en el caso del cuerpo de números).

Las funciones L globales se pueden asociar a curvas elípticas , cuerpos numéricos (en cuyo caso se denominan funciones zeta de Dedekind ), formas de Maass y caracteres de Dirichlet (en cuyo caso se denominan funciones L de Dirichlet ). Cuando la hipótesis de Riemann se formula para funciones zeta de Dedekind, se conoce como hipótesis de Riemann extendida (ERH) y cuando se formula para funciones L de Dirichlet , se conoce como hipótesis de Riemann generalizada o hipótesis de Riemann generalizada (GRH). Estas dos afirmaciones se analizarán con más detalle a continuación. (Muchos matemáticos utilizan la etiqueta hipótesis de Riemann generalizada para cubrir la extensión de la hipótesis de Riemann a todas las funciones L globales , no solo al caso especial de las funciones L de Dirichlet ).

Hipótesis generalizada de Riemann (GRH)

La hipótesis de Riemann generalizada (para funciones L de Dirichlet ) fue probablemente formulada por primera vez por Adolf Piltz en 1884. ^[1] Al igual que la hipótesis de Riemann original, tiene consecuencias de largo alcance sobre la distribución de los números primos .

El enunciado formal de la hipótesis es el siguiente: un carácter de Dirichlet es una función aritmética completamente multiplicativa χ tal que existe un entero positivo k con χ ( n + k ) = χ ( n ) para todo n y χ ( n ) = 0 siempre que mcd( n , k ) > 1 . Si se da dicho carácter, definimos la función L de Dirichlet correspondiente mediante

${\displaystyle L(\chi ,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}$

para cada número complejo s tal que Re s > 1 . Por continuación analítica , esta función puede extenderse a una función meromórfica (solo cuando es primitiva) definida en todo el plano complejo. La hipótesis generalizada de Riemann afirma que, para cada carácter de Dirichlet χ y cada número complejo s con L ( χ , s ) = 0 , si s no es un número real negativo, entonces la parte real de s es 1/2. ${\displaystyle \chi }$

El caso χ ( n ) = 1 para todo n produce la hipótesis ordinaria de Riemann.

Consecuencias de GRH

El teorema de Dirichlet establece que si a y d son números naturales coprimos , entonces la progresión aritmética a , a + d , a + 2 d , a + 3 d , ... contiene una cantidad infinita de números primos. Sea π( x , a , d ) el número de números primos en esta progresión que son menores o iguales a x . Si la hipótesis generalizada de Riemann es verdadera, entonces para cada coprimo a y d y para cada ε > 0 ,

${\displaystyle \pi (x,a,d)={\frac {1}{\varphi (d)}}\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln t}}\,dt+O(x^{1/2+\varepsilon })\quad {\mbox{ as }}\ x\to \infty ,}$

donde es la función totiente de Euler y es la notación Big O. Esto es un fortalecimiento considerable del teorema de los números primos . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle O}$

Si GRH es verdadera, entonces cada subgrupo propio del grupo multiplicativo omite un número menor que 2(ln n ) ² , así como un número coprimo con n menor que 3(ln n ) ² . ^[2] En otras palabras, se genera por un conjunto de números menores que 2(ln n ) ² . Esto se usa a menudo en demostraciones y tiene muchas consecuencias, por ejemplo (suponiendo GRH): ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$

• Se garantiza que la prueba de primalidad de Miller-Rabin se ejecutará en tiempo polinomial. (En 2002 se publicó una prueba de primalidad en tiempo polinomial que no requiere GRH, la prueba de primalidad AKS ).
• Se garantiza que el algoritmo Shanks-Tonelli se ejecutará en tiempo polinomial.
• Se garantiza que el algoritmo determinista Ivanyos–Karpinski–Saxena ^[3] para factorizar polinomios sobre campos finitos con grados primos constantes y suaves se ejecuta en tiempo polinomial.

Si GRH es verdadero, entonces para cada primo p existe una raíz primitiva módulo p (un generador del grupo multiplicativo de números enteros módulo p ) que es menor que ^[4] ${\displaystyle O((\ln p)^{6}).}$

La conjetura débil de Goldbach también se desprende de la hipótesis generalizada de Riemann. La prueba de esta conjetura, aún pendiente de verificación, de Harald Helfgott verifica la GRH para varios miles de caracteres pequeños hasta una cierta parte imaginaria para obtener límites suficientes que prueben la conjetura para todos los números enteros superiores a 10 ²⁹ , y los números enteros inferiores a los cuales ya han sido verificados mediante cálculo. ^[5]

Suponiendo la verdad del GRH, la estimación de la suma de caracteres en la desigualdad de Pólya–Vinogradov se puede mejorar a , siendo q el módulo del carácter. ${\displaystyle O\left({\sqrt {q}}\log \log q\right)}$

Hipótesis de Riemann extendida (HRE)

Supóngase que K es un cuerpo de números (una extensión de cuerpo de dimensión finita de los racionales Q ) con un anillo de números enteros O _K (este anillo es la clausura integral de los números enteros Z en K ). Si a es un ideal de O _K , distinto del ideal cero, denotamos su norma por Na . La función zeta de Dedekind de K se define entonces por

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{a}{\frac {1}{(Na)^{s}}}}$

para cada número complejo s con parte real > 1. La suma se extiende sobre todos los ideales distintos de cero a de O _K .

La función zeta de Dedekind satisface una ecuación funcional y puede extenderse por continuación analítica a todo el plano complejo. La función resultante codifica información importante sobre el cuerpo numérico K . La hipótesis de Riemann extendida afirma que para cada cuerpo numérico K y cada número complejo s con ζ _K ( s ) = 0: si la parte real de s está entre 0 y 1, entonces es de hecho 1/2.

La hipótesis ordinaria de Riemann se sigue de la extendida si se toma como cuerpo numérico Q , con anillo de enteros Z.

El ERH implica una versión efectiva ^[6] del teorema de densidad de Chebotarev : si L / K es una extensión finita de Galois con grupo de Galois G , y C una unión de clases de conjugación de G , el número de primos no ramificados de K de norma inferior a x con clase de conjugación de Frobenius en C es

${\displaystyle {\frac {|C|}{|G|}}{\Bigl (}\operatorname {li} (x)+O{\bigl (}{\sqrt {x}}(n\log x+\log |\Delta |){\bigr )}{\Bigr )},}$

donde la constante implícita en la notación big-O es absoluta, n es el grado de L sobre Q y Δ su discriminante.

Véase también

• La conjetura de Artin
• Función L de Dirichlet
• Clase Selberg
• Hipótesis de la Gran Riemann

Referencias

1. Davenport, Harold (2000). Teoría de números multiplicativos. Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 74. Revisado y con un prefacio de Hugh L. Montgomery (tercera edición). Nueva York: Springer-Verlag. p. 124. ISBN. 0-387-95097-4.
2. Bach, Eric (1990). "Límites explícitos para pruebas de primalidad y problemas relacionados". Matemáticas de la computación . 55 (191): 355–380. doi : 10.2307/2008811 . JSTOR  2008811.
3. Ivanyos, Gabor; Karpinski, Marek; Saxena, Nitin (2009). "Esquemas para la factorización determinista de polinomios". Actas del simposio internacional de 2009 sobre computación simbólica y algebraica (ISAAC) . pp. 191–198. arXiv : 0804.1974 . doi :10.1145/1576702.1576730. ISBN . 9781605586090.S2CID 15895636  .
4. Shoup, Victor (1992). "Búsqueda de raíces primitivas en cuerpos finitos". Matemáticas de la computación . 58 (197): 369–380. doi : 10.2307/2153041 . JSTOR  2153041.
5. p5. Helfgott, Harald (2013). "Arcos mayores para el teorema de Goldbach". arXiv : 1305.2897 [math.NT].
6. Lagarias, JC; Odlyzko, AM (1977). "Versiones efectivas del teorema de Chebotarev". Campos numéricos algebraicos : 409–464.

Lectura adicional

• "Hipótesis de Riemann, generalizada", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]