Siegel cero

Posible contraejemplo de la hipótesis generalizada de Riemann

En matemáticas , más específicamente en el campo de la teoría analítica de números , un cero de Landau-Siegel o simplemente cero de Siegel (también conocido como cero excepcional ^[1] ), llamado así en honor a Edmund Landau y Carl Ludwig Siegel , es un tipo de contraejemplo potencial del Hipótesis generalizada de Riemann , sobre los ceros de las funciones L de Dirichlet asociadas a campos numéricos cuadráticos . En términos generales, estos son posibles ceros muy cercanos (en un sentido cuantificable) a . ${\displaystyle s=1}$

Motivación y definición.

La forma en que los ceros de Siegel aparecen en la teoría de las funciones L de Dirichlet es como posibles excepciones a las regiones libres de ceros clásicas , que sólo pueden ocurrir cuando la función L está asociada a un carácter de Dirichlet real.

Personajes primitivos reales de Dirichlet

Para un número entero q ≥ 1 , un carácter de Dirichlet módulo q es una función aritmética que satisface las siguientes propiedades: ${\textstyle \chi \colon \mathbb {Z} \to \mathbb {C} }$

• ( Completamente multiplicativo ) para cada m , n ; ${\textstyle \chi (mn)=\chi (m)\chi (n)}$
• (Periódico) para cada n ; ${\textstyle \chi (n+q)=\chi (n)}$
• (Apoyo) si . ${\textstyle \chi (n)=0}$ ${\displaystyle \mathrm {gcd} (n,q)>1}$

Es decir, χ es el levantamiento de un homomorfismo . ${\textstyle {\widetilde {\chi }}:(\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\to \mathbb {C} ^{*}}$

El carácter trivial es el carácter módulo 1, y el carácter principal módulo q , denotado , es el levantamiento del homomorfismo trivial . ${\textstyle \chi _{0}~(\mathrm {mod} ~q)}$ ${\textstyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\ni a\mapsto 1\in \mathbb {C} ^{*}}$

Un carácter se llama imprimitivo si existe algún número entero tal que el homomorfismo inducido se factorice como ${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~{q})}$ ${\textstyle d\neq q}$ ${\textstyle d\mid q}$ ${\textstyle {\widetilde {\chi }}\colon (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\to \mathbb {C} ^{*}}$

${\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\twoheadrightarrow (\mathbb {Z} /d\mathbb {Z} )^{\times }\xrightarrow {\widetilde {\chi '}} \mathbb {C} ^{*}}$

para algún personaje ; en caso contrario, se llama primitivo . ${\textstyle \chi '~(\mathrm {mod} ~{d})}$ ${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~{q})}$

Un carácter es real (o cuadrático ) si es igual a su conjugado complejo (definido como ), o de manera equivalente si . Los caracteres primitivos reales de Dirichlet están en correspondencia uno a uno con los símbolos de Kronecker para un discriminante fundamental (es decir, el discriminante de un campo numérico cuadrático ). ^[2] Una forma de definir es como la función aritmética completamente multiplicativa determinada por (para p primo): ${\textstyle \chi }$ ${\displaystyle {\overline {\chi }}}$ ${\displaystyle {\overline {\chi }}(n):={\overline {\chi (n)}}}$ ${\textstyle \chi ^{2}=\chi _{0}}$ ${\textstyle (D|\,\cdot \,):\mathbb {Z} \to \{-1,0,1\}}$ ${\textstyle D\in \mathbb {Z} }$ ${\textstyle (D|\,\cdot \,)}$

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {D}{p}}{\bigg )}={\begin{cases}1,&(p){\text{ splits in }}\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}),\\-1,&(p){\text{ is inert }}\cdots ,\\0,&(p){\text{ ramifies }}\cdots ,\end{cases}}\quad {\bigg (}{\frac {D}{-1}}{\bigg )}={\text{sign of }}D.}$

Por tanto, es común escribir , que son caracteres primitivos reales en módulo . ${\textstyle \chi _{D}:=(D|\,\cdot \,)}$ ${\textstyle |D|}$

Regiones clásicas libres de cero

La función L de Dirichlet asociada a un carácter se define como la continuación analítica de la serie de Dirichlet definida para , donde s es una variable compleja . Para los no principales, esta continuación es completa ; de lo contrario, tiene un polo simple de residuo en s = 1 como única singularidad. Para , las funciones L de Dirichlet se pueden expandir a un producto de Euler , de donde se deduce que no tiene ceros en esta región. El teorema de los números primos para progresiones aritméticas es equivalente (en cierto sentido) a ( ). Además, a través de la ecuación funcional , podemos reflejar estas regiones para concluir que, con la excepción de los enteros negativos de la misma paridad que χ , ^[3] todos los demás ceros de deben estar dentro de . Esta región se llama franja crítica y los ceros en esta región se llaman ceros no triviales . ${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$ ${\textstyle L(s,\chi )=\sum _{n\geq 1}\chi (n)n^{-s}}$ ${\textstyle \mathrm {Re} (s)>1}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\textstyle \prod _{p\mid q}(1-p^{-1})}$ ${\textstyle \mathrm {Re} (s)>1}$ ${\textstyle L(s,\chi )=\prod _{p}(1-\chi (p)p^{-s})^{-1}}$ ${\textstyle L(s,\chi )}$ ${\textstyle L(1+it,\chi )\neq 0}$ ${\textstyle \forall t\in \mathbb {R} }$ ${\textstyle s\mapsto 1-s}$ ${\textstyle L(s,\chi )}$ ${\displaystyle \{0<\mathrm {Re} (s)<1\}}$

El teorema clásico sobre regiones libres de ceros (Grönwall, ^[4] Landau, ^[5] Titchmarsh ^[6] ) establece que existe un número real efectivamente computable tal que, escribiendo para la variable compleja, la función no tiene ceros en la región ${\textstyle A>0}$ ${\displaystyle s=\sigma +it}$ ${\textstyle L(s,\chi )}$

${\displaystyle \sigma >1-{\frac {A}{(\log q(|t|+2))}}}$

si no es real. Si es real, entonces hay como máximo un cero en esta región, que necesariamente debe ser real y simple . Este posible cero es el llamado cero de Siegel . ${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$ ${\textstyle \chi }$

La Hipótesis Generalizada de Riemann (GRH) afirma que para cada , todos los ceros no triviales de se encuentran en la recta . ${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$ ${\textstyle L(s,\chi )}$ ${\textstyle \mathrm {Re} (s)={\frac {1}{2}}}$

Definición de "ceros de Siegel"

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Se proporciona Which para cada discriminante fundamental D ? ${\textstyle \delta >0}$ ${\textstyle L(\sigma ,\chi _{D})\neq 0}$ ${\textstyle 1-{\frac {\delta }{\log |D|}}<\sigma <1}$

(más problemas sin resolver en matemáticas)

La definición de ceros de Siegel tal como se presenta los vincula a la constante A en la región libre de ceros. Esto a menudo hace que sea complicado tratar con estos objetos, ya que en muchas situaciones el valor particular de la constante A es de poca importancia. ^[1] Por lo tanto, es habitual trabajar con afirmaciones más definidas, ya sea afirmando o negando, la existencia de una familia infinita de tales ceros, como en:

• Conjetura ("sin ceros de Siegel"): si ${\textstyle \beta _{D}}$ denota el cero real más grande de , entonces ${\textstyle L(s,\chi _{D})}$ ${\displaystyle 1-\beta _{D}\gg {\frac {1}{\log |D|}}.}$

La posibilidad de la existencia o no existencia de ceros de Siegel tiene un gran impacto en temas estrechamente relacionados de la teoría de números, con la conjetura de "no ceros de Siegel" sirviendo como un sustituto más débil (aunque poderoso, y a veces completamente suficiente) de GRH (ver más abajo). para ver un ejemplo que involucra el teorema de Siegel-Tatsuzawa y el problema del número idoneo ). Una formulación equivalente de "sin ceros de Siegel" que no hace referencia explícita a los ceros es la afirmación:

${\displaystyle {\frac {L'}{L}}(1,\chi _{D})=O(\log |D|).}$

La equivalencia se puede deducir, por ejemplo, utilizando las regiones libres de ceros y estimaciones clásicas para el número de ceros no triviales hasta una determinada altura. ^[7] ${\textstyle L(s,\chi )}$

Estimaciones de Landau-Siegel

El primer avance en el tratamiento de estos ceros provino de Landau, quien demostró que existe una constante efectivamente computable tal que, para cualquier carácter primitivo real con módulos distintos, si hay ceros reales de respectivamente, entonces ${\displaystyle B>0}$ ${\textstyle \chi _{D}}$ ${\textstyle \chi _{D'}}$ ${\textstyle \beta ,\beta '}$ ${\textstyle L(s,\chi _{D}),L(s,\chi _{D'})}$

${\displaystyle \min\{\beta ,\beta '\}<1-{\frac {B}{\log |DD'|}}.}$

Esto quiere decir que, si existen ceros de Siegel, entonces no pueden ser demasiado numerosos. La forma en que esto se demuestra es mediante un argumento "retorcido", que eleva el problema a la función zeta de Dedekind del campo bicuadrático . Esta técnica todavía se aplica en gran medida en obras modernas. ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}},{\sqrt {D'}})}$

Este "efecto repelente" (ver fenómeno de Deuring-Heilbronn ), después de un análisis más cuidadoso, llevó a Landau a su teorema de 1936, ^[8] que establece que para cada , existe tal que, si es un cero real de , entonces . Sin embargo, ese mismo año, en el mismo número de la misma revista, Siegel ^[9] mejoró directamente esta estimación a ${\textstyle \varepsilon >0}$ ${\textstyle C(\varepsilon )\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\textstyle \beta }$ ${\textstyle L(s,\chi _{D})}$ ${\textstyle \beta <1-C(\varepsilon )|D|^{-{\frac {3}{8}}-\varepsilon }}$

${\displaystyle \beta <1-C(\varepsilon )|D|^{-\varepsilon }.}$

Tanto las pruebas de Landau como las de Siegel no proporcionan una forma explícita de calcular , por lo que son ejemplos de un resultado ineficaz . ${\textstyle C(\varepsilon )\in \mathbb {R} _{+}}$

Teorema de Siegel-Tatsuzawa

En 1951, Tikao Tatsuzawa demostró una versión "casi" efectiva del teorema de Siegel, ^[10] demostrando que para cualquier valor fijo , si entonces ${\textstyle 0<\varepsilon <{\frac {1}{11.2}}}$ ${\textstyle |D|>e^{1/\varepsilon }}$

${\displaystyle L(1,\chi _{D})>0.655\varepsilon |D|^{-\varepsilon },}$

con la posible excepción de como máximo un discriminante fundamental. Utilizando la "casi efectividad" de este resultado, PJ Weinberger (1973) ^[11] demostró que la lista de Euler de 65 números ídolos está completa excepto por dos elementos como máximo. ^[12]

Relación con campos cuadráticos

Los ceros de Siegel a menudo aparecen como algo más que una cuestión artificial en el argumento a favor de deducir regiones libres de cero, ya que las estimaciones de regiones libres de cero gozan de profundas conexiones con la aritmética de campos cuadráticos. Por ejemplo, la identidad puede interpretarse como una formulación analítica de reciprocidad cuadrática (ver Ley de reciprocidad de Artin §Declaración en términos de funciones L ). La relación precisa entre la distribución de ceros cerca de s = 1 y la aritmética proviene de la fórmula del número de clase de Dirichlet : ${\textstyle \zeta _{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}(s)=\zeta (s)L(s,\chi _{D})}$

${\displaystyle L(1,\chi _{D})={\begin{cases}{\dfrac {2\pi }{w_{D}{\sqrt {|D|}}}}\,h(D),&{\text{if }}D<0\\[.5em]{\dfrac {\log \varepsilon _{D}}{\sqrt {D}}}\,h(D),&{\text{if }}D>0,\end{cases}}}$

dónde:

• ${\textstyle h(D)}$es el número de clase ideal de ; ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$
• ${\textstyle w_{D}}$es el número de raíces de la unidad en ( D < 0 ); ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$
• ${\textstyle \varepsilon _{D}}$es la unidad fundamental de ( D > 0 ). ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$

De esta manera, las estimaciones para el cero real más grande de pueden traducirse en estimaciones para (mediante, por ejemplo, el hecho de que para ), ^[13] que a su vez se convierten en estimaciones para . Los trabajos clásicos en el tema tratan estas tres cantidades esencialmente de manera intercambiable, aunque el caso D > 0 trae complicaciones adicionales relacionadas con la unidad fundamental. ${\textstyle L(s,\chi _{D})}$ ${\textstyle L(1,\chi _{D})}$ ${\textstyle |L'(\sigma ,\chi )|=O(\log ^{2}q)}$ ${\textstyle 1-{\frac {1}{\log q}}\leq \sigma \leq 1}$ ${\textstyle h(D)}$

Los ceros de Siegel como 'fenómenos cuadráticos'

En cierto sentido, la dificultad asociada al fenómeno de los ceros de Siegel en general está completamente restringida a extensiones cuadráticas. Es una consecuencia del teorema de Kronecker-Weber , por ejemplo, que la función zeta de Dedekind de un campo numérico abeliano puede escribirse como un producto de funciones L de Dirichlet. ^[14] Por lo tanto, si tiene un cero de Siegel, debe haber algún subcampo con tal que tenga un cero de Siegel. ${\textstyle \zeta _{K}(s)=\sum _{I\subseteq {\mathfrak {O}}_{K}}[{\mathfrak {O}}_{K}:I]^{-s}}$ ${\textstyle K/\mathbb {Q} }$ ${\textstyle \zeta _{K}(s)}$ ${\textstyle F\subseteq K}$ ${\textstyle [F:\mathbb {Q} ]=2}$ ${\textstyle \zeta _{F}(s)}$

Mientras que para el caso no abeliano solo se puede factorizar en funciones L de Artin más complicadas , lo mismo ocurre: ${\textstyle \zeta _{K}(s)}$

• Teorema ( Stark , 1974) . ^[15] Sea un cuerpo numérico de grado n > 1 . Existe una constante ( si es normal, en caso contrario) tal que, si hay un real en el rango ${\textstyle K/\mathbb {Q} }$ ${\textstyle c(n)}$ ${\textstyle =4}$ ${\textstyle K/\mathbb {Q} }$ ${\textstyle =4n!}$ ${\textstyle \beta }$

$1-{\frac {c(n)}{\log |\Delta _{K}|}}\leq \beta <1$

con , entonces existe un subcampo cuadrático tal que . Aquí está el campo discriminante de la extensión . ${\textstyle \zeta _{K}(\beta )=0}$ ${\textstyle F\subseteq K}$ ${\textstyle \zeta _{F}(\beta )=0}$ ${\textstyle \Delta _{K}}$ ${\textstyle K/\mathbb {Q} }$

"Sin ceros de Siegel" para D

Cuando se trata de campos cuadráticos, el caso tiende a resultar difícil de alcanzar debido al comportamiento de la unidad fundamental. Por ello, es habitual tratar los casos por separado. Se sabe mucho más sobre el caso discriminante negativo: ${\textstyle D>0}$ ${\textstyle D<0}$ ${\textstyle D>0}$

Límites inferiores para h ( D )

En 1918, Erich Hecke demostró que "sin ceros de Siegel" implica que ^[5] (ver Problema de número de clase para comparar). Esto puede extenderse a una equivalencia, ya que es una consecuencia del Teorema 3 de Granville – Stark (2000): ^[16] ${\textstyle D<0}$ ${\textstyle h(D)\gg {\sqrt {|D|}}(\log |D|)^{-1}}$

${\displaystyle {\text{“No Siegel zeros” for }}D<0\quad \iff \quad h(D)\gg {\frac {\sqrt {|D|}}{\log |D|}}\sum _{(a,b,c)}{\frac {1}{a}},}$

donde la sumatoria recorre las formas cuadráticas binarias reducidas del discriminante . Utilizando esto, Granville y Stark demostraron que una cierta formulación uniforme de la conjetura abc para campos numéricos implica "no ceros de Siegel" para discriminantes negativos. ${\textstyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$ ${\textstyle D}$

En 1976, Dorian Goldfeld ^[17] demostró el siguiente límite inferior efectivo e incondicional para : ${\textstyle h(D)}$

${\displaystyle h(D)\gg \prod _{p\mid D}{\bigg (}1-{\frac {2{\sqrt {p}}}{p+1}}{\bigg )}\,\log |D|.}$

Multiplicación compleja

Se puede dar otra equivalencia para "sin ceros de Siegel" en términos de límites superiores para alturas de módulos singulares : ${\textstyle D<0}$

${\displaystyle h(j(\tau _{D}))\ll \log |D|,}$

dónde:

• ${\textstyle h}$es la altura ingenua logarítmica absoluta para campos numéricos;
• ${\textstyle j}$es la función j-invariante ;
• ${\textstyle \tau _{D}:=(D+{\sqrt {D}})/2}$.

El número genera el campo de clase de Hilbert de , que es su extensión abeliana no ramificada máxima. ^[18] Esta equivalencia es una consecuencia directa de los resultados de Granville-Stark (2000), ^[16] y puede verse en C. Táfula (2019). ^[19] ${\textstyle j(\tau _{D})}$ ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$

Pierre Colmez (1993, ^[20] 1998 ^[21] ), obtuvo una relación precisa entre alturas y valores de funciones L , quien demostró que, para una curva elíptica con multiplicación compleja por , tenemos ${\textstyle E_{D}/\mathbb {C} }$ ${\textstyle \mathbb {Z} [\tau _{D}]}$

${\displaystyle -2h_{\mathrm {Fal} }(E_{D})-{\frac {1}{2}}\log |D|={\frac {L'}{L}}(0,\chi _{D})+\log 2\pi ,}$

donde denota la altura de Faltings . ^[22] Utilizando las identidades ^[23] y , ^[24] el teorema de Colmez también proporciona una prueba de la equivalencia anterior. ${\textstyle h_{\mathrm {Fal} }}$ ${\textstyle h_{\mathrm {Fal} }(E_{D})={\frac {1}{12}}h(j(\tau _{D}))+O(\log h(j(\tau _{D})))}$ ${\textstyle {\frac {L'}{L}}(1,\chi _{D})=-{\frac {L'}{L}}(0,\chi _{D})-\log |D|+\log 2\pi +\gamma }$

Consecuencias de la existencia de ceros de Siegel

Aunque se espera que la Hipótesis Generalizada de Riemann sea cierta, dado que la conjetura de "no ceros de Siegel" permanece abierta, es interesante estudiar qué consecuencias implicarían contraejemplos tan severos para el GRH. Otra razón para estudiar esta posibilidad es que la prueba de ciertos teoremas incondicionales requiere la división en dos casos: primero una prueba que supone que no existen ceros de Siegel, luego otra que supone que sí existen. Un teorema clásico de este tipo es el teorema de Linnik sobre el primo más pequeño en una progresión aritmética .

Los siguientes son algunos ejemplos de hechos que se derivan de la existencia de ceros de Siegel.

Infinidad de primos gemelos

Un resultado sorprendente en esta dirección es el resultado de Roger Heath-Brown de 1983 ^[25] que, siguiendo a Terence Tao , ^[26] puede afirmarse de la siguiente manera:

• Teorema (Heath-Brown, 1983) . Al menos una de las siguientes afirmaciones es cierta: (1) No hay ceros de Siegel. ( 2) Hay infinitos primos gemelos .

problema de paridad

El problema de paridad en la teoría de la criba se refiere aproximadamente al hecho de que los argumentos de criba, en términos generales, son incapaces de decir si un número entero tiene un número par o impar de divisores primos. Esto lleva a que muchos límites superiores en las estimaciones del tamiz, como el del tamiz lineal ^[27], estén desviados en un factor de 2 del valor esperado. En 2020, Granville ^[28] demostró que, bajo el supuesto de la existencia de ceros de Siegel, los límites superiores generales para el problema de los intervalos de cribado son óptimos, lo que significa que el factor extra de 2 procedente del fenómeno de la paridad no sería, por tanto, un factor artificial. limitación del método.

Ver también

• Hipótesis de Riemann generalizada
• Fenómeno Deuring-Heilbronn
• problema de numero de clase
• Teorema de Brauer-Siegel
• Teorema de Siegel-Walfisz

Referencias

1. Véase Iwaniec (2006).
2. Véase Satz 4, §5 de Zagier (1981).
3. χ (mod q ) es par si χ (-1) = 1 , e impar si χ (-1) = -1 .
4. Grönwall, TH (1913). "Sur les séries de Dirichlet corresponsal à des charactères complexes". Rendiconti di Palermo (en francés). 35 : 145-159. doi :10.1007/BF03015596. S2CID  121161132.
5. Landau , E. (1918). "Über die Klassenzahl imaginär-quadratischer Zahlkörper". Göttinger Nachrichten (en alemán): 285–295.
6. Titchmarsh, CE (1930). "Un problema de divisor". Rendiconti de Palermo . 54 : 414–429. doi :10.1007/BF03021203. S2CID  119578445.
7. Véase el capítulo 16 de Davenport (1980).
8. Landau, E. (1936). "Bemerkungen zum Heilbronnschen Satz". Acta Arithmetica (en alemán): 1–18.
9. Siegel, CL (1935). "Über die Klassenzahl quadratischer Zahlkörper" [Sobre los números de clase de campos cuadráticos]. Acta Arithmetica (en alemán). 1 (1): 83–86. doi : 10.4064/aa-1-1-83-86 .
10. Tatuzawa, T. (1951). "Sobre un teorema de Siegel". Revista Japonesa de Matemáticas . 21 : 163-178. doi : 10.4099/jjm1924.21.0_163 .
11. Weinberger, PJ (1973). "Exponentes del grupo de clases de campos cuadráticos complejos". Acta Aritmética . 22 (2): 117-124. doi : 10.4064/aa-22-2-117-124 .
12. Kani, Ernst (2011). "Números ideales y algunas generalizaciones" (PDF) . Annales des Sciences Mathématiques du Québec . 35 (2). Observación 24.
13. Véase (11) en el capítulo 14 de Davenport (1980).
14. Teorema 10.5.25 en Cohen, H. (2007). Teoría de números: Volumen II: Herramientas analíticas y modernas. Textos de Posgrado en Matemáticas, Teoría de Números. Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-49893-5..
15. Lema 8 en Stark, HM (1 de junio de 1974). "Algunos casos efectivos del teorema de Brauer-Siegel". Invenciones Mathematicae . 23 (2): 135-152. Código Bib : 1974 InMat..23..135S. doi :10.1007/BF01405166. ISSN  1432-1297. S2CID  119482000.
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19. Táfula, C. (2021). "Sobre los ceros de Landau-Siegel y las alturas de módulos singulares". Acta Aritmética . 201 : 1–28. arXiv : 1911.07215 . doi :10.4064/aa191118-18-5. S2CID  208138549.
20. Colmez, Pierre (1993). "Periodes des Variétés Abéliennes à Multiplication Complexe". Anales de Matemáticas . 138 (3): 625–683. doi :10.2307/2946559. ISSN  0003-486X. JSTOR  2946559.
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22. Ver el diagrama en el inciso 0.6 de Colmez (1993). Hay un pequeño error tipográfico en la esquina superior derecha de este diagrama, que debería decir " ". ${\textstyle -2h_{\mathrm {Fal} }(X)-{\frac {1}{2}}\log D}$
23. Proposición 2.1, Capítulo X de Cornell, G.; Silverman, JH, eds. (1986). Geometría aritmética. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96311-2.
24. Consecuencia de la ecuación funcional , donde γ = 0,57721... es la constante de Euler-Mascheroni .
25. Heath-Brown, DR (1 de septiembre de 1983). "Prime Twins y Siegel Zeros". Actas de la Sociedad Matemática de Londres . T3-47 (2): 193–224. doi :10.1112/plms/s3-47.2.193. ISSN  0024-6115.
26. "Teorema de Heath-Brown sobre gemelos primos y ceros de Siegel". Qué hay de nuevo . 27 de agosto de 2015 . Consultado el 13 de marzo de 2021 .
27. Véase el capítulo 9 de Nathanson, Melvyn B. (1996). Teoría de números aditivos Las bases clásicas. Textos de Posgrado en Matemáticas. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94656-6.
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