Terence Chi-Shen Tao FAA FRS ( chino :陶哲軒; nacido el 17 de julio de 1975) es un matemático australiano. Es profesor de matemáticas en la Universidad de California, Los Ángeles (UCLA), donde ocupa la cátedra James y Carol Collins. Su investigación incluye temas de análisis armónico , ecuaciones diferenciales parciales , combinatoria algebraica , combinatoria aritmética , combinatoria geométrica , teoría de la probabilidad , detección comprimida y teoría analítica de números . [4]
Tao nació de padres inmigrantes chinos y se crió en Adelaida . Tao ganó la Medalla Fields en 2006 y ganó la Medalla Real y el Premio Avance en Matemáticas en 2014. También es miembro de MacArthur en 2006 . Tao ha sido autor o coautor de más de trescientos artículos de investigación. [5] Es ampliamente considerado como uno de los más grandes matemáticos vivos. [6] [7] [8] [9] [10]
Los padres de Tao son inmigrantes de primera generación de Hong Kong a Australia . [11] El padre de Tao, Billy Tao, [a] era un pediatra chino que nació en Shanghai y obtuvo su título de médico ( MBBS ) de la Universidad de Hong Kong en 1969. [12] La madre de Tao, Grace Leong, [b] nació en Hong Kong; Recibió una licenciatura con honores de primera clase en matemáticas y física en la Universidad de Hong Kong . [10] Era profesora de matemáticas y física en una escuela secundaria en Hong Kong. [13] Billy y Grace se conocieron cuando eran estudiantes en la Universidad de Hong Kong. [14] Luego emigraron de Hong Kong a Australia en 1972. [11] [10]
Tao también tiene dos hermanos, Trevor y Nigel, que actualmente viven en Australia. Ambos representaron anteriormente a los estados en la Olimpiada Internacional de Matemáticas . [15] Además, Trevor Tao ha estado representando a Australia a nivel internacional en ajedrez y ostenta el título de Maestro Internacional de Ajedrez. [16] Tao habla cantonés pero no puede escribir chino. Tao está casado con Laura Tao, ingeniera eléctrica del Laboratorio de Propulsión a Chorro de la NASA . [10] [17] Viven en Los Ángeles , California, y tienen dos hijos. [18]
Un niño prodigio , [19] Tao exhibió extraordinarias habilidades matemáticas desde una edad temprana, asistiendo a cursos de matemáticas de nivel universitario a la edad de 9 años. Es uno de los tres únicos niños en la historia del programa de Estudio de Talento Excepcional de Johns Hopkins que ha tenido logró una puntuación de 700 o más en la sección de matemáticas del SAT cuando solo tenía ocho años; Tao obtuvo una puntuación de 760. [20] Julian Stanley , director del Estudio de la Juventud Matemáticamente Precoz , afirmó que Tao tenía la mayor capacidad de razonamiento matemático que había encontrado en años de búsqueda intensiva. [6] [21]
Tao fue el participante más joven hasta la fecha en la Olimpiada Internacional de Matemáticas , compitiendo por primera vez a la edad de diez años; en 1986, 1987 y 1988 ganó medallas de bronce, plata y oro, respectivamente. Tao sigue siendo el ganador más joven de cada una de las tres medallas en la historia de la Olimpiada, ya que ganó la medalla de oro a la edad de 13 años en 1988. [22]
A los 14 años, Tao asistió al Instituto de Investigación Científica , un programa de verano para estudiantes de secundaria. En 1991, recibió su licenciatura y maestría a la edad de 16 años en la Universidad de Flinders bajo la dirección de Garth Gaudry. [23] En 1992, ganó una beca Fulbright de posgrado para realizar investigaciones en matemáticas en la Universidad de Princeton en Estados Unidos. De 1992 a 1996, Tao fue estudiante de posgrado en la Universidad de Princeton bajo la dirección de Elias Stein , y recibió su doctorado a la edad de 21 años. [23] En 1996, se unió a la facultad de la Universidad de California, Los Ángeles . En 1999, cuando tenía 24 años, fue ascendido a profesor titular en UCLA y sigue siendo la persona más joven jamás designada para ese rango por la institución. [23]
Es conocido por su mentalidad colaborativa; en 2006, Tao había trabajado con más de 30 personas en sus descubrimientos, [6] llegando a 68 coautores en octubre de 2015.
Tao ha tenido una colaboración particularmente extensa con el matemático británico Ben J. Green ; juntos demostraron el teorema de Green-Tao , que es bien conocido entre los matemáticos aficionados y profesionales. Este teorema establece que existen progresiones aritméticas de números primos arbitrariamente largas . El New York Times lo describió de esta manera: [24] [25]
En 2004, el Dr. Tao, junto con Ben Green, un matemático que ahora trabaja en la Universidad de Cambridge en Inglaterra, resolvió un problema relacionado con la conjetura de los primos gemelos observando las progresiones de números primos: series de números equiespaciados. (Por ejemplo, 3, 7 y 11 constituyen una progresión de números primos con un espaciado de 4; el siguiente número de la secuencia, 15, no es primo). El Dr. Tao y el Dr. Green demostraron que siempre es posible encontrar , en algún lugar de la infinidad de números enteros, una progresión de números primos de igual espaciado y de cualquier longitud.
Muchos otros resultados del Tao han recibido la atención generalizada de la prensa científica, entre ellos:
Tao también ha resuelto o avanzado en una serie de conjeturas. En 2012, Green y Tao anunciaron pruebas del conjeturado " problema de plantación de huertos ", que solicita el número máximo de líneas que pasan exactamente por 3 puntos en un conjunto de n puntos en el plano, no todos en una línea. En 2018, con Brad Rodgers, Tao demostró que la constante de Bruijn-Newman , cuya no positividad es equivalente a la hipótesis de Riemann , no es negativa. [29] En 2020, Tao demostró la conjetura de Sendov , relativa a la ubicación de las raíces y los puntos críticos de un polinomio complejo, en el caso especial de polinomios con grado suficientemente alto . [30]
El matemático británico y medallista Fields Timothy Gowers comentó sobre la amplitud del conocimiento del Tao: [31]
El conocimiento matemático de Tao tiene una combinación extraordinaria de amplitud y profundidad: puede escribir con seguridad y autoridad sobre temas tan diversos como ecuaciones diferenciales parciales, teoría analítica de números, geometría de 3 variedades, análisis no estándar, teoría de grupos, teoría de modelos, mecánica cuántica, probabilidad, teoría ergódica, combinatoria, análisis armónico, procesamiento de imágenes, análisis funcional y muchos otros. Algunas de estas son áreas en las que ha hecho contribuciones fundamentales. Otras son áreas que parece comprender en el profundo nivel intuitivo de un experto a pesar de no trabajar oficialmente en esas áreas. Cómo hace todo esto, además de escribir artículos y libros a un ritmo prodigioso, es un completo misterio. Se ha dicho que David Hilbert fue la última persona en saber todas las matemáticas, pero no es fácil encontrar lagunas en el conocimiento del Tao, y si lo haces, es muy posible que descubras que las lagunas se han llenado un año después.
Un artículo de New Scientist [32] escribe sobre su habilidad:
La reputación de Tao es tal que los matemáticos ahora compiten para interesarlo en sus problemas, y se está convirtiendo en una especie de Sr. Fix-it para investigadores frustrados. "Si estás atrapado en un problema, entonces una salida es interesar a Terence Tao", dice Charles Fefferman [profesor de matemáticas en la Universidad de Princeton]. [33]
Tao ha ganado numerosos honores y premios de matemáticos a lo largo de los años. [34] Es miembro de la Royal Society , la Academia Australiana de Ciencias (miembro correspondiente), la Academia Nacional de Ciencias (miembro extranjero), la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias , la Sociedad Filosófica Estadounidense , [35] y la Sociedad Matemática Estadounidense . [36] En 2006 recibió la Medalla Fields ; fue el primer australiano, el primer miembro de la facultad de UCLA y uno de los matemáticos más jóvenes en recibir el premio. [33] [37] También recibió la beca MacArthur . Ha aparecido en The New York Times , CNN , USA Today , Popular Science y muchos otros medios de comunicación. [38] En 2014, Tao recibió el honor de exalumno distinguido CTY del Centro Johns Hopkins para jóvenes superdotados y talentosos frente a 979 asistentes de octavo y noveno grado que están en el mismo programa del que se graduó Tao. En 2021, el presidente Joe Biden anunció que Tao había sido seleccionado como uno de los 30 miembros de su Consejo Presidencial de Asesores en Ciencia y Tecnología , un organismo que reúne a los líderes más distinguidos de Estados Unidos en ciencia y tecnología. [39] En 2021, Tao recibió la Semana del Premio Riemann como ganador del Premio Riemann inaugural 2019 otorgado por la Escuela Internacional de Matemáticas Riemann de la Universidad de Insubria . [40] Tao fue finalista para convertirse en Australiano del Año en 2007. [41]
Hasta 2022, Tao ha publicado más de trescientos artículos, junto con dieciséis libros. [42] Tiene un número de Erdős de 2. [43] Es un investigador muy citado . [44] [45]
De 2001 a 2010, Tao formó parte de una conocida colaboración con James Colliander , Markus Keel, Gigliola Staffilani y Hideo Takaoka. Encontraron una serie de resultados novedosos, muchos de ellos relacionados con el buen planteamiento de las soluciones débiles , para las ecuaciones de Schrödinger , las ecuaciones de KdV y las ecuaciones de tipo KdV. [C+03]
Michael Christ , Colliander y Tao desarrollaron los métodos de Carlos Kenig , Gustavo Ponce y Luis Vega para establecer la mala posición de ciertas ecuaciones de Schrödinger y KdV para datos de Sobolev de exponentes suficientemente bajos. [CCT03] [46] En muchos casos, estos resultados fueron lo suficientemente nítidos como para complementar perfectamente los resultados de buena postura para exponentes suficientemente grandes como se debe a Bourgain, Colliander-Keel-Stafilani-Takaoka-Tao y otros. Tao, en colaboración con Ioan Bejenaru, encontró otros resultados tan notables para las ecuaciones de Schrödinger. [BT06]
Un resultado particularmente notable de la colaboración Colliander-Keel-Stafilani-Takaoka-Tao estableció la existencia desde hace mucho tiempo y la teoría de la dispersión de una ecuación de Schrödinger de ley potencial en tres dimensiones. [C+08] Tao amplió sus métodos, que hacían uso de la invariancia de escala de la ley de potencia simple, en colaboración con Monica Vișan y Xiaoyi Zhang para abordar las no linealidades en las que se rompe la invariancia de escala. [TVZ07] Rowan Killip , Tao y Vișan lograron posteriormente avances notables en el problema bidimensional de la simetría radial. [KTV09]
Una proeza técnica realizada por Tao en 2001 consideró la ecuación de los mapas de ondas con dominio bidimensional y rango esférico. [T01a] Se basó en innovaciones anteriores de Daniel Tataru , quien consideró los mapas de ondas valorados en el espacio de Minkowski . [47] Tao demostró el buen planteamiento global de las soluciones con datos iniciales suficientemente pequeños. La dificultad fundamental es que Tao considera la pequeñez en relación con la norma crítica de Sobolev, que normalmente requiere técnicas sofisticadas. Posteriormente, Tao adaptó parte de su trabajo sobre mapas de ondas al escenario de la ecuación de Benjamin-Ono ; Alexandru Ionescu y Kenig obtuvieron posteriormente mejores resultados con los métodos de Tao. [T04a] [48]
En 2016, Tao construyó una variante de las ecuaciones de Navier-Stokes que poseen soluciones que muestran un comportamiento irregular en un tiempo finito. [T16] Debido a las similitudes estructurales entre el sistema de Tao y las propias ecuaciones de Navier-Stokes, se deduce que cualquier resolución positiva del problema de existencia y suavidad de Navier-Stokes debe tener en cuenta la estructura no lineal específica de las ecuaciones. En particular, algunas soluciones del problema propuestas anteriormente no podrían ser legítimas. [49] Tao especuló que las ecuaciones de Navier-Stokes podrían simular un sistema completo de Turing y que, como consecuencia, podría ser posible resolver (negativamente) el problema de existencia y suavidad utilizando una modificación de sus resultados. [6] [26] Sin embargo, tales resultados siguen siendo (a partir de 2022) conjeturales.
Bent Fuglede introdujo la conjetura de Fuglede en la década de 1970, postulando una caracterización basada en mosaicos de aquellos dominios euclidianos para los cuales un conjunto de Fourier proporciona una base de L 2 . [50] Tao resolvió la conjetura en negativo para dimensiones mayores que 5, basándose en la construcción de un contraejemplo elemental para un problema análogo en el establecimiento de grupos finitos . [T04b]
Con Camil Muscalu y Christoph Thiele , Tao consideró ciertos operadores integrales singulares multilineales con el multiplicador permitido degenerar en un hiperplano, identificando condiciones que aseguran la continuidad del operador en relación con los espacios L p . [MTT02] Este unificó y amplió resultados notables anteriores de Ronald Coifman , Carlos Kenig , Michael Lacey , Yves Meyer , Elias Stein y Thiele, entre otros. [51] [52] [53] [54] [55] [56] Tao analizó problemas similares en 2001 en el contexto de los espacios de Bourgain, en lugar de los habituales espacios L p . [T01b] Estas estimaciones se utilizan para establecer resultados de buena formulación para ecuaciones diferenciales parciales dispersivas, siguiendo los famosos trabajos anteriores de Jean Bourgain , Kenig, Gustavo Ponce y Luis Vega , entre otros. [57] [58]
Varios de los resultados de Tao abordan fenómenos de "restricción" en el análisis de Fourier, que han sido ampliamente estudiados desde los artículos seminales de Charles Fefferman , Robert Strichartz y Peter Tomas en los años 1970. [59] [60] [61] Aquí se estudia la operación que restringe las funciones de entrada en el espacio euclidiano a una subvariedad y genera el producto de las transformadas de Fourier de las medidas correspondientes. Es de gran interés identificar exponentes tales que esta operación sea continua en relación con los espacios L p . Estos problemas multilineales se originaron en la década de 1990, incluso en trabajos notables de Jean Bourgain , Sergiu Klainerman y Matei Machedon . [62] [63] [64] En colaboración con Ana Vargas y Luis Vega , Tao hizo algunas contribuciones fundamentales al estudio del problema de restricción bilineal, estableciendo nuevos exponentes y estableciendo conexiones con el problema de restricción lineal. También encontraron resultados análogos para el problema bilineal de Kakeya, que se basa en la transformada de rayos X en lugar de la transformada de Fourier. [TVV98] En 2003, Tao adaptó las ideas desarrolladas por Thomas Wolff para la restricción bilineal a conjuntos cónicos al escenario de restricción a hipersuperficies cuadráticas. [T03] [65] Tao desarrolló aún más el entorno multilineal para estos problemas en colaboración con Jonathan Bennett y Anthony Carbery; su trabajo fue ampliamente utilizado por Bourgain y Larry Guth para derivar estimaciones de operadores integrales oscilatorios generales . [BCT06] [66]
En colaboración con Emmanuel Candes y Justin Romberg, Tao ha realizado notables contribuciones al campo de la detección comprimida . En términos matemáticos, la mayoría de sus resultados identifican entornos en los que un problema de optimización convexo calcula correctamente la solución de un problema de optimización que parece carecer de una estructura computacional manejable. Estos problemas son del tipo de encontrar la solución de un sistema lineal indeterminado con el mínimo número posible de entradas distintas de cero, lo que se conoce como "escasez". Casi al mismo tiempo, David Donoho consideró problemas similares desde la perspectiva alternativa de la geometría de alta dimensión. [67]
Motivados por sorprendentes experimentos numéricos, Candes, Romberg y Tao estudiaron por primera vez el caso en el que la matriz viene dada por la transformada discreta de Fourier. [CRT06a] Candes y Tao abstrajeron el problema e introdujeron la noción de "isometría lineal restringida", que es una matriz que está cuantitativamente cerca de una isometría cuando se restringe a ciertos subespacios. [CT05] Demostraron que es suficiente para una recuperación exacta u óptimamente aproximada de soluciones suficientemente escasas. Sus demostraciones, que implicaban la teoría de la dualidad convexa, se simplificaron notablemente en colaboración con Romberg, para utilizar sólo álgebra lineal e ideas elementales de análisis armónico. [CRT06b] Estas ideas y resultados fueron mejorados posteriormente por Candes. [68] Candes y Tao también consideraron relajaciones de la condición de escasez, como la decadencia de los coeficientes según la ley potencial. [CT06] Complementaron estos resultados basándose en un gran corpus de resultados pasados en teoría de matrices aleatorias para mostrar que, según el conjunto gaussiano, un gran número de matrices satisfacen la propiedad de isometría restringida. [CT06]
En 2007, Candes y Tao introdujeron un novedoso estimador estadístico para regresión lineal, al que llamaron "selector de Dantzig". Probaron una serie de resultados sobre su éxito como estimador y selector de modelos, aproximadamente en paralelo a su trabajo anterior sobre detección comprimida. [CT07] Desde entonces, varios otros autores han estudiado el selector de Dantzig, comparándolo con objetos similares, como el lazo estadístico introducido en la década de 1990. [69] Trevor Hastie , Robert Tibshirani y Jerome H. Friedman concluyen que es "algo insatisfactorio" en varios casos. [70] No obstante, sigue siendo de gran interés en la literatura estadística.
En 2009, Candes y Benjamin Recht consideraron un problema análogo para recuperar una matriz a partir del conocimiento de solo algunas de sus entradas y la información de que la matriz es de bajo rango. [71] Formularon el problema en términos de optimización convexa, estudiando la minimización de la norma nuclear. Candes y Tao, en 2010, desarrollaron más resultados y técnicas para el mismo problema. [CT10] Recht encontró posteriormente resultados mejorados. [72] Otros autores también han considerado problemas y resultados similares. [73] [74] [75] [76] [77]
En la década de 1950, Eugene Wigner inició el estudio de matrices aleatorias y sus valores propios. [78] [79] Wigner estudió el caso de matrices hermitianas y simétricas , demostrando una "ley del semicírculo" para sus valores propios. En 2010, Tao y Van Vu hicieron una importante contribución al estudio de matrices aleatorias no simétricas. Demostraron que si n es grande y las entradas de una matriz A de n × n se seleccionan aleatoriamente de acuerdo con cualquier distribución de probabilidad fija de promedio 0 y desviación estándar 1, entonces los valores propios de A tenderán a estar uniformemente dispersos a lo largo del disco de radio. n 1/2 alrededor del origen; esto puede precisarse utilizando el lenguaje de la teoría de la medida . [TV10] Esto demostró la largamente conjeturada ley circular , que anteriormente había sido demostrada en formulaciones más débiles por muchos otros autores. En la formulación de Tao y Vu, la ley circular se convierte en una consecuencia inmediata de un "principio de universalidad" que establece que la distribución de los valores propios puede depender sólo del promedio y la desviación estándar de la distribución de probabilidad componente por componente dada, proporcionando así una reducción. de la ley circular general a un cálculo de distribuciones de probabilidad especialmente elegidas.
En 2011, Tao y Vu establecieron un " teorema de los cuatro momentos ", que se aplica a matrices hermitianas aleatorias cuyos componentes están distribuidos independientemente, cada uno con promedio 0 y desviación estándar 1, y que es exponencialmente improbable que sean grandes (como para una distribución gaussiana ). . Si se consideran dos matrices aleatorias que concuerdan en el valor promedio de cualquier polinomio cuadrático en las entradas diagonales y en el valor promedio de cualquier polinomio cuártico en las entradas fuera de la diagonal, entonces Tao y Vu muestran que el valor esperado de un número grande de funciones de los valores propios también coincidirán, hasta un error que es uniformemente controlable por el tamaño de la matriz y que se vuelve arbitrariamente pequeño a medida que aumenta el tamaño de la matriz. [TV11] Casi al mismo tiempo László Erdös, Horng-Tzer Yau y Jun Yin obtuvieron resultados similares . [80] [81]
En 2004, Tao, junto con Jean Bourgain y Nets Katz , estudiaron la estructura aditiva y multiplicativa de subconjuntos de campos finitos de orden primo. [BKT04] Es bien sabido que no existen subanillos no triviales de dicho campo. Bougain, Katz y Tao proporcionaron una formulación cuantitativa de este hecho, mostrando que para cualquier subconjunto de tal campo, el número de sumas y productos de elementos del subconjunto debe ser cuantitativamente grande, en comparación con el tamaño del campo y el tamaño del propio subconjunto. Más tarde, Bourgain, Alexey Glibichuk y Sergei Konyagin mejoraron su resultado . [82] [83]
Tao y Ben Green demostraron la existencia de progresiones aritméticas arbitrariamente largas en los números primos ; este resultado se conoce generalmente como teorema de Green-Tao y se encuentra entre los resultados más conocidos del Tao. [GT08] La fuente de las progresiones aritméticas de Green y Tao es el teorema fundamental de Endre Szemerédi de 1975 sobre la existencia de progresiones aritméticas en ciertos conjuntos de números enteros. Green y Tao demostraron que se puede utilizar un "principio de transferencia" para extender la validez del teorema de Szemerédi a otros conjuntos de números enteros. El teorema de Green-Tao surge entonces como un caso especial, aunque no es trivial demostrar que los números primos satisfacen las condiciones de la extensión del teorema de Szemerédi de Green y Tao.
En 2010, Green y Tao dieron una extensión multilineal del célebre teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas . Dada una matriz A k × n y una matriz v k × 1 cuyos componentes son todos números enteros, Green y Tao dan condiciones sobre cuándo existen infinitas matrices x n × 1 tales que todos los componentes de Ax + v son números primos. [GT10] La prueba de Green y Tao fue incompleta, ya que estaba condicionada a conjeturas no probadas. Esas conjeturas fueron demostradas en trabajos posteriores de Green, Tao y Tamar Ziegler . [GTZ12]
Libros de texto
Artículos de investigación. Tao es autor de más de 300 artículos. Los siguientes, entre los más citados, se analizan a continuación.
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