La conjetura de Cramér

En teoría de números , la conjetura de Cramér , formulada por el matemático sueco Harald Cramér en 1936, ^[1] es una estimación del tamaño de las brechas entre números primos consecutivos : intuitivamente, las brechas entre números primos consecutivos son siempre pequeñas, y la conjetura cuantifica asintóticamente solo qué pequeños deben ser. Se afirma que

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O((\log p_{n})^{2}),\ }$

donde p _n denota el n- ésimo número primo , O es la notación O grande y "log" es el logaritmo natural . Si bien ésta es la afirmación explícitamente conjeturada por Cramér, su heurística en realidad apoya la afirmación más fuerte

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\log p_{n})^{2}}}=1,}$

y a veces esta formulación se llama conjetura de Cramér. Sin embargo, esta versión más sólida no está respaldada por modelos heurísticos más precisos, que, sin embargo, respaldan la primera versión de la conjetura de Cramér. Ninguna forma ha sido probada o refutada todavía.

Resultados probados condicionales en brechas principales

Cramér dio una prueba condicional de la afirmación mucho más débil de que

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\,\log p_{n})}$

sobre el supuesto de la hipótesis de Riemann . ^[1] La cota incondicional más conocida es

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O(p_{n}^{0.525})}$

debido a Baker, Harman y Pintz . ^[2]

En sentido contrario, E. Westzynthius demostró en 1931 que las brechas entre los primos crecen de forma más que logarítmica. Es decir, ^[3]

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .}$

Su resultado fue mejorado por RA Rankin , ^[4] quien demostró que

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}\cdot {\frac {\left(\log \log \log p_{n}\right)^{2}}{\log \log p_{n}\log \log \log \log p_{n}}}>0.}$

Paul Erdős conjeturó que el lado izquierdo de la fórmula anterior es infinito, y esto fue demostrado en 2014 por Kevin Ford , Ben Green , Sergei Konyagin y Terence Tao , ^[5] e independientemente por James Maynard . ^[6] Los dos grupos de autores mejoraron el resultado en un factor ese mismo año. ^[7] ${\displaystyle \log \log \log p_{n}}$

Justificación heurística

La conjetura de Cramér se basa en un modelo probabilístico , esencialmente heurístico , en el que la probabilidad de que un número de tamaño x sea primo es 1/log x . Esto se conoce como modelo aleatorio de Cramér o modelo de Cramér de los números primos. ^[8]

En el modelo aleatorio de Cramér,

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log ^{2}p_{n}}}=1}$

con probabilidad uno . ^[1] Sin embargo, como señaló Andrew Granville , ^[9] el teorema de Maier muestra que el modelo aleatorio de Cramér no describe adecuadamente la distribución de números primos en intervalos cortos, y un refinamiento del modelo de Cramér teniendo en cuenta la divisibilidad por números primos pequeños sugiere que ( OEIS : A125313 ), donde es la constante de Euler-Mascheroni . János Pintz ha sugerido que el límite de sup puede ser infinito, ^[10] y de manera similar escriben Leonard Adleman y Kevin McCurley ${\displaystyle c\geq 2e^{-\gamma }\approx 1.1229\ldots }$ ${\displaystyle \gamma }$

Como resultado del trabajo de H. Maier sobre los espacios entre números primos consecutivos, se ha puesto en duda la formulación exacta de la conjetura de Cramér [...] Probablemente todavía sea cierto que para cada constante , existe una constante tal que hay un primo entre y . ${\displaystyle c>2}$ ${\displaystyle d>0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+d(\log x)^{c}}$ ^[11]

De manera similar, Robin Visser escribe

De hecho, gracias al trabajo realizado por Granville, ahora se cree ampliamente que la conjetura de Cramér es falsa. De hecho, existen algunos teoremas relativos a intervalos cortos entre primos, como el teorema de Maier, que contradicen el modelo de Cramér. ^[12]

(se eliminaron las referencias internas).

Conjeturas y heurísticas relacionadas

Función de brecha principal

Daniel Shanks conjeturó la siguiente igualdad asintótica, más fuerte que la conjetura de Cramér, ^[13] para brechas récord: ${\displaystyle G(x)\sim \log ^{2}x.}$

JH Cadwell ^[14] ha propuesto la fórmula para las brechas máximas: que es formalmente idéntica a la conjetura de Shanks pero sugiere un término de orden inferior. ${\displaystyle G(x)\sim \log ^{2}x-\log x\log \log x,}$

Marek Wolf ^[15] ha propuesto la fórmula para las brechas máximas expresadas en términos de la función de conteo de primos : ${\displaystyle G(x)}$ ${\displaystyle \pi (x)}$

${\displaystyle G(x)\sim {\frac {x}{\pi (x)}}(2\log \pi (x)-\log x+c),}$

donde y es el doble de la constante de los primos gemelos ; ver OEIS : A005597 , OEIS : A114907 . Esto es nuevamente formalmente equivalente a la conjetura de Shanks, pero sugiere términos de orden inferior. ${\displaystyle c=\log(C_{2})=0.2778769...}$ ${\displaystyle C_{2}=1.3203236...}$

${\displaystyle G(x)\sim \log ^{2}x-2\log x\log \log x-(1-c)\log x.}$.

Thomas Nicely ha calculado muchas brechas principales grandes. ^[16] Mide la calidad del ajuste a la conjetura de Cramér midiendo la relación

${\displaystyle R={\frac {\log p_{n}}{\sqrt {p_{n+1}-p_{n}}}}.}$

Escribe: "Para las brechas máximas más grandes conocidas, se ha mantenido cerca de 1,13". ${\displaystyle R}$

Ver también

• Teorema de los números primos
• La conjetura de Legendre y la conjetura de Andrica , límites superiores mucho más débiles pero aún no probados en las brechas principales
• La conjetura de Firoozbakht
• Teorema de Maier sobre los números de primos en intervalos cortos para los cuales el modelo predice una respuesta incorrecta

Referencias

1. Cramér, Harald (1936), "Sobre el orden de magnitud de la diferencia entre números primos consecutivos" (PDF) , Acta Arithmetica , 2 : 23–46, doi :10.4064/aa-2-1-23-46, Archivado desde el original (PDF) el 23 de julio de 2018 , consultado el 12 de marzo de 2012.
2. Baker, RC, Harman, G., Pintz, J. (2001), La diferencia entre primos consecutivos, II , Wiley, doi :10.1112/plms/83.3.532
3. Westzynthius, E. (1931), "Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind", Commentationes Physico-Mathematicae Helsingsfors (en alemán), 5 : 1–37, JFM  57.0186.02, Zbl  0003.24601.
4. RA Rankin, La diferencia entre números primos consecutivos, J. London Math. Soc. 13 (1938), 242-247
5. Vado, Kevin; Verde, Ben; Konyagin, Sergei; Tao, Terence (2016). "Grandes brechas entre números primos consecutivos". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 183 (3): 935–974. arXiv : 1408.4505 . doi : 10.4007/anales.2016.183.3.4 .
6. Maynard, James (2016). "Grandes brechas entre números primos". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 183 (3): 915–933. arXiv : 1408.5110 . doi : 10.4007/anales.2016.183.3.3 .
7. Vado, Kevin; Verde, Ben; Konyagin, Sergei; Maynard, James; Tao, Terence (2018). "Largos espacios entre números primos". Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 31 : 65-105. arXiv : 1412.5029 . doi : 10.1090/jams/876.
8. Terry Tao , 254A, Suplemento 4: Modelos probabilísticos y heurísticas para los números primos (opcional), sección sobre el modelo aleatorio de Cramér, enero de 2015.
9. Granville, A. (1995), "Harald Cramér y la distribución de números primos" (PDF) , Scandinavian Actuarial Journal , 1 : 12–28, doi :10.1080/03461238.1995.10413946, archivado desde el original (PDF) en 2015 -23 de septiembre , consultado el 5 de junio de 2007..
10. János Pintz, Brechas muy grandes entre números primos consecutivos, Journal of Number Theory 63 :2 (abril de 1997), págs.
11. Leonard Adleman y Kevin McCurley, Problemas abiertos en complejidad teórica de números, II. Teoría algorítmica de números (Ithaca, NY, 1994), 291–322, Lecture Notes in Comput. Sci., 877, Springer, Berlín, 1994.
12. Robin Visser, Grandes brechas entre números primos, Universidad de Cambridge (2020).
13. Shanks, Daniel (1964), "Sobre las brechas máximas entre números primos sucesivos", Matemáticas de la Computación , 18 (88), Sociedad Matemática Estadounidense: 646–651, doi : 10.2307/2002951 , JSTOR  2002951, Zbl  0128.04203.
14. Cadwell, JH (1971), "Grandes intervalos entre números primos consecutivos", Matemáticas de la Computación , 25 (116): 909–913, doi : 10.2307/2004355 , JSTOR  2004355
15. Wolf, Marek (2014), "Distribución de números primos y caos cuántico entre vecinos más cercanos", Phys. Rev. E , 89 (2): 022922, arXiv : 1212.3841 , Bibcode : 2014PhRvE..89b2922W, doi : 10.1103/physreve.89.022922, PMID  25353560, S2CID  25003349
16. Muy bien, Thomas R. (1999), "Nuevas brechas de primos máximos y primeras apariciones", Matemáticas de la Computación , 68 (227): 1311–1315, Bibcode :1999MaCom..68.1311N, doi : 10.1090/S0025-5718-99 -01065-0 , SEÑOR  1627813.

• Chico, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números (3ª ed.). Springer-Verlag . A8. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl  1058.11001.
• Pintz, János (2007). "Cramér vs. Cramér. Sobre el modelo probabilístico de números primos de Cramér". Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici . 37 (2): 361–376. doi : 10.7169/facm/1229619660 . ISSN  0208-6573. SEÑOR  2363833. Zbl  1226.11096.
• Soundararajan, K. (2007). "La distribución de los números primos". En Granville, Andrés ; Rudnick, Zeév (eds.). Equidistribución en teoría de números, una introducción. Actas del Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN sobre equidistribución en teoría de números, Montreal, Canadá, 11 al 22 de julio de 2005 . Serie Científica II de la OTAN: Matemáticas, Física y Química. vol. 237. Dordrecht: Springer-Verlag . págs. 59–83. ISBN 978-1-4020-5403-7. Zbl  1141.11043.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Conjetura de Cramér". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Conjetura de Cramér-Granville". MundoMatemático .