La función beta de Dirichlet En matemáticas , la función beta de Dirichlet (también conocida como función beta catalana ) es una función especial , muy relacionada con la función zeta de Riemann . Es una función L particular de Dirichlet , la función L para el carácter alterno del cuarto período.
Definición La función beta de Dirichlet se define como
b ( s ) = ∑ norte = 0 ∞ ( − 1 ) norte ( 2 norte + 1 ) s , {\displaystyle \beta (s)=\sum _ {n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}},} o equivalente,
b ( s ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ X s − 1 mi − X 1 + mi − 2 X d X . {\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx.} En cada caso, se supone que Re( s ) > 0.
Alternativamente, la siguiente definición, en términos de la función zeta de Hurwitz , es válida en todo el plano s complejo : [1]
β ( s ) = 4 − s ( ζ ( s , 1 4 ) − ζ ( s , 3 4 ) ) . {\displaystyle \beta (s)=4^{-s}\left(\zeta \left(s,{1 \over 4}\right)-\zeta \left(s,{3 \over 4}\right)\right).} Otra definición equivalente, en términos del trascendente de Lerch , es:
β ( s ) = 2 − s Φ ( − 1 , s , 1 2 ) , {\displaystyle \beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{{1} \over {2}}\right),} que una vez más es válido para todos los valores complejos de s .
La función beta de Dirichlet también se puede escribir en términos de la función polilogaritmo :
β ( s ) = i 2 ( Li s ( − i ) − Li s ( i ) ) . {\displaystyle \beta (s)={\frac {i}{2}}\left({\text{Li}}_{s}(-i)-{\text{Li}}_{s}(i)\right).} Además, la representación en serie de la función beta de Dirichlet se puede formar en términos de la función poligamma.
β ( s ) = 1 2 s ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( n + 1 2 ) s = 1 ( − 4 ) s ( s − 1 ) ! [ ψ ( s − 1 ) ( 1 4 ) − ψ ( s − 1 ) ( 3 4 ) ] {\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{2^{s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{s}}}={\frac {1}{(-4)^{s}(s-1)!}}\left[\psi ^{(s-1)}\left({\frac {1}{4}}\right)-\psi ^{(s-1)}\left({\frac {3}{4}}\right)\right]} pero esta fórmula sólo es válida para valores enteros positivos de . s {\displaystyle s}
Fórmula del producto Euler También es el ejemplo más simple de una serie no directamente relacionada con la cual también se puede factorizar como un producto de Euler , lo que lleva a la idea del carácter de Dirichlet que define el conjunto exacto de series de Dirichlet que tienen una factorización sobre los números primos . ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)}
Al menos para Re( s ) ≥ 1:
β ( s ) = ∏ p ≡ 1 m o d 4 1 1 − p − s ∏ p ≡ 3 m o d 4 1 1 + p − s {\displaystyle \beta (s)=\prod _{p\equiv 1\ \mathrm {mod} \ 4}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\prod _{p\equiv 3\ \mathrm {mod} \ 4}{\frac {1}{1+p^{-s}}}} donde p ≡1 mod 44 n +1 (5,13,17,...) y p ≡3 mod 44 n +3 (3,7,11, ...). Esto se puede escribir de forma compacta como
β ( s ) = ∏ p > 2 p prime 1 1 − ( − 1 ) p − 1 2 p − s . {\displaystyle \beta (s)=\prod _{p>2 \atop p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-\,\scriptstyle (-1)^{\frac {p-1}{2}}\textstyle p^{-s}}}.} Ecuación funcional La ecuación funcional extiende la función beta al lado izquierdo del plano complejo Re( s ) ≤ 0. Está dada por
β ( 1 − s ) = ( π 2 ) − s sin ( π 2 s ) Γ ( s ) β ( s ) {\displaystyle \beta (1-s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{-s}\sin \left({\frac {\pi }{2}}s\right)\Gamma (s)\beta (s)} donde Γ( s ) es la función gamma . Euler lo conjeturó en 1749 y Malmsten lo demostró en 1842 (ver Blagouchine, 2014).
Valores especiales Algunos valores especiales incluyen:
β ( 0 ) = 1 2 , {\displaystyle \beta (0)={\frac {1}{2}},} β ( 1 ) = arctan ( 1 ) = π 4 , {\displaystyle \beta (1)\;=\;\arctan(1)\;=\;{\frac {\pi }{4}},} β ( 2 ) = G , {\displaystyle \beta (2)\;=\;G,} donde G representa la constante catalana , y
β ( 3 ) = π 3 32 , {\displaystyle \beta (3)\;=\;{\frac {\pi ^{3}}{32}},} β ( 4 ) = 1 768 ( ψ 3 ( 1 4 ) − 8 π 4 ) , {\displaystyle \beta (4)\;=\;{\frac {1}{768}}\left(\psi _{3}\left({\frac {1}{4}}\right)-8\pi ^{4}\right),} β ( 5 ) = 5 π 5 1536 , {\displaystyle \beta (5)\;=\;{\frac {5\pi ^{5}}{1536}},} β ( 7 ) = 61 π 7 184320 , {\displaystyle \beta (7)\;=\;{\frac {61\pi ^{7}}{184320}},} donde en lo anterior hay un ejemplo de la función poligamma . ψ 3 ( 1 / 4 ) {\displaystyle \psi _{3}(1/4)}
Por tanto, la función desaparece para todos los valores integrales negativos impares del argumento.
Para cada entero positivo k :
β ( 2 k ) = 1 2 ( 2 k − 1 ) ! ∑ m = 0 ∞ ( ( ∑ l = 0 k − 1 ( 2 k − 1 2 l ) ( − 1 ) l A 2 k − 2 l − 1 2 l + 2 m + 1 ) − ( − 1 ) k − 1 2 m + 2 k ) A 2 m ( 2 m ) ! ( π 2 ) 2 m + 2 k , {\displaystyle \beta (2k)={\frac {1}{2(2k-1)!}}\sum _{m=0}^{\infty }\left(\left(\sum _{l=0}^{k-1}{\binom {2k-1}{2l}}{\frac {(-1)^{l}A_{2k-2l-1}}{2l+2m+1}}\right)-{\frac {(-1)^{k-1}}{2m+2k}}\right){\frac {A_{2m}}{(2m)!}}{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}^{2m+2k},} [ cita necesaria ¿ Dónde está el número en zigzag de Euler ? A k {\displaystyle A_{k}}
Malmsten también derivó en 1842 (ver Blagouchine, 2014) que
β ′ ( 1 ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 ln ( 2 n + 1 ) 2 n + 1 = π 4 ( γ − ln π ) + π ln Γ ( 3 4 ) {\displaystyle \beta '(1)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {\ln(2n+1)}{2n+1}}\,=\,{\frac {\pi }{4}}{\big (}\gamma -\ln \pi )+\pi \ln \Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)} Hay ceros en -1; -3; -5; -7 etc
Ver también Referencias ^ Dirichlet Beta - Relación Hurwitz zeta, Ingeniería Matemática Blagouchine, IV (2014). "Redescubrimiento de las integrales de Malmsten, su evaluación mediante métodos de integración de contornos y algunos resultados relacionados". Ramanujan J. 35 (1): 21-110. doi :10.1007/s11139-013-9528-5. Glasser, ML (1972). "La evaluación de sumas reticulares. I. Procedimientos analíticos". J. Matemáticas. Física . 14 (3): 409. Código bibliográfico : 1973JMP....14..409G. doi :10.1063/1.1666331. J. Spanier y KB Oldham, An Atlas of Functions , (1987) Hemisphere, Nueva York. Weisstein, Eric W. "Función Beta de Dirichlet". MundoMatemático 
![{\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{2^{s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{ \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{s}}}={\frac {1}{(-4)^{s}(s-1)!}}\left[ \psi ^{(s-1)}\left({\frac {1}{4}}\right)-\psi ^{(s-1)}\left({\frac {3}{4}} \bien bien]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09f27a4ce08a90fdb18971866d5de5dd75fe26b6)
