Número, aproximadamente 0,916
En matemáticas , la constante G del catalán , se define por
![{\displaystyle G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}= {\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1 }{7^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}-\cdots,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde β es la función beta de Dirichlet . Su valor numérico [1] es aproximadamente (secuencia A006752 en la OEIS )
- GRAMO =0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …
Problema no resuelto en matemáticas :
¿Es irracional la constante del catalán? Si es así, ¿es trascendental?
No se sabe si G es irracional , y mucho menos trascendental . [2] G ha sido llamada "posiblemente la constante más básica cuya irracionalidad y trascendencia (aunque fuertemente sospechadas) siguen sin demostrarse". [3]
La constante del catalán lleva el nombre de Eugène Charles Catalan , quien encontró series rápidamente convergentes para su cálculo y publicó una memoria al respecto en 1865. [4] [5]
Usos
En topología de baja dimensión , la constante de Catalan es 1/4 del volumen de un octaedro hiperbólico ideal , y por tanto 1/4 del volumen hiperbólico del complemento del enlace de Whitehead . [6] Es 1/8 del volumen del complemento de los anillos borromeos . [7]
En combinatoria y mecánica estadística , surge en relación con el conteo de mosaicos de dominó , [8] árboles de expansión , [9] y los ciclos hamiltonianos de gráficos de cuadrícula . [10]
En teoría de números , la constante de Catalan aparece en una fórmula conjeturada para el número asintótico de primos de la forma según la conjetura F de Hardy y Littlewood . Sin embargo, es un problema no resuelto (uno de los problemas de Landau ) si hay infinitos números primos de esta forma. [11]![{\displaystyle n^{2}+1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La constante de Catalan también aparece en el cálculo de la distribución de masa de las galaxias espirales . [12] [13]
Dígitos conocidos
El número de dígitos conocidos de la constante G catalana ha aumentado espectacularmente durante las últimas décadas. Esto se debe tanto al aumento del rendimiento de los ordenadores como a mejoras algorítmicas. [14]
Identidades integrales
Como escribe Seán Stewart, "Existe una fuente rica y aparentemente interminable de integrales definidas que pueden equipararse o expresarse en términos de la constante catalana". [21] Algunas de estas expresiones incluyen:
![{\displaystyle {\begin{aligned}G&=-{\frac {1}{\pi i}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln \ln \tan x\ ln \tan x\,dx\\[3pt]G&=\iint _{[0,1]^{2}}\!{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}} }\,dx\,dy\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-x}{\frac {1}{1-x^{2} -y^{2}}}\,dy\,dx\\[3pt]G&=\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln t}{1+t^{2}}} \,dt\\[3pt]G&=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\\[3pt]G&={ \frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {t}{\sin t}}\,dt\\[3pt]G&=\ int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\ln \cot t\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{ \frac {\pi }{2}}\ln \left(\sec t+\tan t\right)\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}{\frac {\arccos t}{\sqrt {1+t^{2}}}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arcsinh} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {arctan } t}{t{\sqrt {1+t^{2}}}}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1} {\frac {\operatorname {arctanh} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{\infty }\operatorname {arccot } e^{t}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{4}}\int _{0}^{{\pi ^{2}}/{4}}\csc { \sqrt {t}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{16}}\left(\pi ^{2}+4\int _{1}^{\infty }\operatorname {arccsc} ^{2}t\,dt\right)\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t}{\ cosh t}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {\pi }{2}}\int _{1}^{\infty }{\frac {\left(t^{4}-6t ^{2}+1\right)\ln \ln t}{\left(1+t^{2}\right)^{3}}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1 }{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\arcsin \left(\sin t\right)}{t}}\,dt\\[3pt]G&=1+\lim _{\alpha \to {1^{-}}}\!\left\{\int _{0}^{\alpha }\!{\frac {\left(1+6t^{2}+t^ {4}\right)\arctan {t}}{t\left(1-t^{2}\right)^{2}}}\,dt+2\operatorname {artanh} {\alpha }-{\ frac {\pi \alpha }{1-\alpha ^{2}}}\right\}\\[3pt]G&=1-{\frac {1}{8}}\iint _{\mathbb {R} ^{2}}\!\!{\frac {x\sin \left(2xy/\pi \right)}{\,\left(x^{2}+\pi ^{2}\right)\cosh x\sinh y\,}}\,dx\,dy\\[3pt]G&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {{\sqrt [{4}]{x}}\left({\sqrt {x}}{\sqrt {y}}-1\right)}{(x+1)^{2}{\sqrt[{4}] {y}}(y+1)^{2}\log(xy)}}dxdy\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde las últimas tres fórmulas están relacionadas con las integrales de Malmsten . [22]
Si K( k ) es la integral elíptica completa de primer tipo , en función del módulo elíptico k , entonces
![{\displaystyle G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (k)\,dk}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si E( k ) es la integral elíptica completa de segundo tipo , en función del módulo elíptico k , entonces
![{\displaystyle G=-{\tfrac {1}{2}}+\int _{0}^{1}\mathrm {E} (k)\,dk}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Con la función gamma Γ( x + 1) = x !
![{\displaystyle {\begin{aligned}G&={\frac {\pi }{4}}\int _{0}^{1}\Gamma \left(1+{\frac {x}{2}}\ right)\Gamma \left(1-{\frac {x}{2}}\right)\,dx\\&={\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{\frac {1}{2}}\Gamma (1+y)\Gamma (1-y)\,dy\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
la integral
![{\displaystyle G=\operatorname {Ti} _{2}(1)=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan t}{t}}\,dt}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
integral tangente inversaSrinivasa RamanujanRelación con otras funciones especiales
G aparece en valores de la segunda función poligamma , también llamada función trigamma , en argumentos fraccionarios:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8G\\\psi _{1}\ izquierda({\tfrac {3}{4}}\right)&=\pi ^{2}-8G.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Simon Plouffe ofrece una colección infinita de identidades entre la función trigamma, π 2 y la constante de Catalan; estos se pueden expresar como caminos en un gráfico.
La constante de catalán ocurre frecuentemente en relación con la función de Clausen , la integral tangente inversa , la integral seno inversa, la función G de Barnes , así como integrales y series sumables en términos de las funciones antes mencionadas.
Como ejemplo particular, expresando primero la integral tangente inversa en su forma cerrada – en términos de funciones de Clausen – y luego expresando esas funciones de Clausen en términos de la función G de Barnes , se obtiene la siguiente expresión (consulte la función de Clausen para obtener más información) :
![{\displaystyle G=4\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {3}{8}}\right)G\left({\frac {7}{8}}\right )}{G\left({\frac {1}{8}}\right)G\left({\frac {5}{8}}\right)}}\right)+4\pi \log \left ({\frac {\Gamma \left({\frac {3}{8}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)}}\right)+{ \frac {\pi }{2}}\log \left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2\left(2-{\sqrt {2}}\right)}}\right ).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si uno define la trascendente de Lerch Φ ( z , s , α ) (relacionada con la función zeta de Lerch ) por
![{\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}, }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G={\tfrac {1}{4}}\Phi \left(-1,2,{\tfrac {1}{2}}\right).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Series que convergen rápidamente
Las dos fórmulas siguientes implican series que convergen rápidamente y, por tanto, son apropiadas para el cálculo numérico:
![{\displaystyle {\begin{aligned}G&=3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{ 2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}( 8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+ 7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)-\\&\qquad -2\sum _{n=0}^{\ infinito }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{ 2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^ {10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3 }(8n+1)^{2}}}\right)\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G={\frac {\pi }{8}}\log \left(2+{\sqrt {3}}\right)+{\frac {3}{8}}\sum _{n= 0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}{\binom {2n}{n}}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Los fundamentos teóricos para tales series los dan Broadhurst, para la primera fórmula, [23] y Ramanujan, para la segunda fórmula. [24] Los algoritmos para la evaluación rápida de la constante catalana fueron construidos por E. Karatsuba. [25] [26] Usando estas series, calcular la constante de Catalan ahora es tan rápido como calcular la constante de Apery , . [27]![{\displaystyle \zeta (3)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Otras series que convergen rápidamente, debidas a Guillera y Pilehrood y empleadas por el software y-cruncher , incluyen: [27]
![{\displaystyle G={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-8)^{k}(3k+2)}{(2k+ 1)^{3}{\binom {2k}{k}}^{3}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G={\frac {1}{64}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {256^{k}(580k^{2}-184k+15)}{ k^{3}(2k-1){\binom {6k}{3k}}{\binom {6k}{4k}}{\binom {4k}{2k}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G=-{\frac {1}{1024}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-4096)^{k}(45136k^{4}-57184k^ {3}+21240k^{2}-3160k+165)}{k^{3}(2k-1)^{3}}}\left({\frac {(2k)!^{6}(3k) !^{3}}{k!^{3}(6k)!^{3}}}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Todas estas series tienen complejidad temporal . [27]![{\displaystyle O(n\log(n)^{3})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
fracción continua
G se puede expresar de la siguiente forma [28]
![{\displaystyle G={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{4}}{8+{\cfrac {3^{4}}{16+{\cfrac {5^{4}} {24+{\cfrac {7^{4}}{32+{\cfrac {9^{4}}{40+\ddots }}}}}}}}}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- La fracción continua simple viene dada por [29]
![{\displaystyle G={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+{\cfrac {1}{1+ {\cfrac {1}{88+\ddots }}}}}}}}}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Esta fracción continua tendría términos infinitos si y sólo si es irracional, lo cual aún no está resuelto.
![{\displaystyle G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Referencias
- ^ Papanikolaou, Thomas (marzo de 1997). La constante del catalán en 1.500.000 lugares - vía Gutenberg.org.
- ^ Nesterenko, Yu. V. (enero de 2016), "Sobre la constante del catalán", Actas del Instituto Steklov de Matemáticas , 292 (1): 153–170, doi :10.1134/s0081543816010107, S2CID 124903059.
- ^ Bailey, David H.; Borwein, Jonathan M.; Mattingly, Andrés; Wightwick, Glenn (2013), "El cálculo de dígitos previamente inaccesibles y la constante catalana", Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense , 60 (7): 844–854, doi : 10.1090/noti1015 , SEÑOR 3086394
![{\displaystyle \pi ^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- ^ Goldstein, Catherine (2015), "Los logros matemáticos de Eugène Catalan", Bulletin de la Société Royale des Sciences de Liège , 84 : 74–92, SEÑOR 3498215
- ^ Catalán, E. (1865), "Mémoire sur la transform des séries et sur quelques intégrales définies", Ers, Publiés Par l'Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique. Colección en 4 , Mémoires de l'Académie royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique (en francés), 33 , Bruselas, hdl :2268/193841
- ^ Agol, Ian (2010), "Las 3 variedades hiperbólicas de 2 cúspides orientables de volumen mínimo", Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , 138 (10): 3723–3732, arXiv : 0804.0043 , doi : 10.1090/S0002-9939- 10-10364-5, SEÑOR 2661571, S2CID 2016662.
- ^ William Thurston (marzo de 2002), "7. Cálculo del volumen" (PDF) , La geometría y topología de tres variedades, p. 165, archivado (PDF) desde el original el 25 de enero de 2011.
- ^ Temperley, HNV ; Fisher, Michael E. (agosto de 1961), "Problema de dímeros en mecánica estadística: un resultado exacto", Philosophical Magazine , 6 (68): 1061–1063, Bibcode :1961PMag....6.1061T, doi :10.1080/14786436108243366
- ^ Wu, FY (1977), "Número de árboles que se extienden en una celosía", Journal of Physics , 10 (6): L113–L115, Bibcode :1977JPhA...10L.113W, doi :10.1088/0305-4470/10 /6/004, SEÑOR 0489559
- ^ Kasteleyn, PW (1963), "Un problema soluble de caminata que evita a uno mismo", Physica , 29 (12): 1329–1337, Bibcode :1963Phy....29.1329K, doi :10.1016/S0031-8914(63)80241 -4, SEÑOR 0159642
- ^ Shanks, Daniel (1959), "Un método de tamiz para factorizar números de la forma ", Tablas matemáticas y otras ayudas para la computación , 13 : 78–86, doi :10.2307/2001956, JSTOR 2001956, MR 0105784
![{\displaystyle n^{2}+1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- ^ Wyse, AB; Mayall, NU (enero de 1942), "Distribución de masa en las nebulosas espirales Messier 31 y Messier 33", The Astrophysical Journal , 95 : 24–47, Bibcode : 1942ApJ....95...24W, doi : 10.1086 /144370
- ^ van der Kruit, PC (marzo de 1988), "La distribución tridimensional de luz y masa en discos de galaxias espirales", Astronomía y astrofísica , 192 : 117–127, Bibcode : 1988A&A...192..117V
- ^ ab Gourdon, X.; Sebah, P. "Constantes y registros de computación" . Consultado el 11 de septiembre de 2007 .
- ^ "Sitio web de Shigeru Kondo". Archivado desde el original el 11 de febrero de 2008 . Consultado el 31 de enero de 2008 .
- ^ ab "Grandes cálculos" . Consultado el 31 de enero de 2009 .
- ↑ abcd «Registros constantes del catalán mediante YMP» . Consultado el 14 de mayo de 2016 .
- ^ "Registros constantes del catalán mediante YMP". Archivado desde el original el 22 de julio de 2019 . Consultado el 22 de julio de 2019 .
- ^ "Récord mundial constante del catalán por Seungmin Kim". 23 de julio de 2019 . Consultado el 17 de octubre de 2020 .
- ^ ab "Récords establecidos por y-cruncher". www.numberworld.org . Consultado el 13 de febrero de 2022 .
- ^ Stewart, Seán M. (2020), "Una odisea integral de inspiración constante catalana", The Mathematical Gazette , 104 (561): 449–459, doi :10.1017/mag.2020.99, MR 4163926, S2CID 225116026
- ^ Blagouchine, Iaroslav (2014). "Redescubrimiento de las integrales de Malmsten, su evaluación mediante métodos de integración de contornos y algunos resultados relacionados" (PDF) . El diario Ramanujan . 35 : 21-110. doi :10.1007/s11139-013-9528-5. S2CID 120943474. Archivado desde el original (PDF) el 2 de octubre de 2018 . Consultado el 1 de octubre de 2018 .
- ^ Broadhurst, DJ (1998). «Escaleras polilogarítmicas, series hipergeométricas y las décimas millonésimas de ζ (3) y ζ (5) ». arXiv : math.CA/9803067 .
- ^ Berndt, antes de Cristo (1985). El cuaderno de Ramanujan, parte I. Springer Verlag. pag. 289.ISBN 978-1-4612-1088-7.
- ^ Karatsuba, EA (1991). "Evaluación rápida de funciones trascendentales". Problema. inf. Trans . 27 (4): 339–360. SEÑOR 1156939. Zbl 0754.65021.
- ^ Karatsuba, EA (2001). "Cálculo rápido de algunas integrales especiales de física matemática". En Krämer, W.; von Gudenberg, JW (eds.). Computación científica, números validados, métodos de intervalo . págs. 29–41. doi :10.1007/978-1-4757-6484-0_3.
- ^ abc Alexander Yee (14 de mayo de 2019). "Fórmulas y Algoritmos" . Consultado el 5 de diciembre de 2021 .
- ^ Bowman, D. y Mc Laughlin, J. (2002). «Fracciones continuas polinómicas» (PDF) . Acta Aritmética . 103 (4): 329–342. arXiv : 1812.08251 . Código Bib : 2002AcAri.103..329B. doi :10.4064/aa103-4-3. S2CID 119137246. Archivado (PDF) desde el original el 13 de abril de 2020.
- ^ "A014538 - OEIS". oeis.org . Consultado el 27 de octubre de 2022 .
Otras lecturas
- Adamchik, Víctor (2002). "Cierta serie asociada a la constante del catalán". Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen . 21 (3): 1–10. doi : 10.4171/ZAA/1110 . SEÑOR 1929434. Archivado desde el original el 16 de marzo de 2010 . Consultado el 14 de julio de 2005 .
- Tarifa, Gregory J. (1990). "Cálculo de la constante catalana mediante la fórmula de Ramanujan". En Watanabe, Shunro; Nagata, Morio (eds.). Actas del Simposio internacional sobre computación simbólica y algebraica, ISSAC '90, Tokio, Japón, 20 al 24 de agosto de 1990 . ACM. págs. 157-160. doi : 10.1145/96877.96917 . ISBN 0201548925. S2CID 1949187.
- Bradley, David M. (1999). "Una clase de fórmulas de aceleración en serie para la constante catalana". El diario Ramanujan . 3 (2): 159-173. arXiv : 0706.0356 . doi :10.1023/A:1006945407723. SEÑOR 1703281. S2CID 5111792.
- Bradley, David M. (2007). "Una clase de fórmulas de aceleración en serie para la constante catalana". El diario Ramanujan . 3 (2): 159–173. arXiv : 0706.0356 . Código Bib : 2007arXiv0706.0356B. doi :10.1023/A:1006945407723. S2CID 5111792.
enlaces externos
- Adamchik, Víctor. "33 representaciones de la constante catalana". Archivado desde el original el 7 de agosto de 2016 . Consultado el 14 de julio de 2005 .
- Plouffe, Simón (1993). "Algunas identidades (III) con el catalán". Archivado desde el original el 26 de junio de 2019 . Consultado el 29 de julio de 2005 .(Proporciona más de cien identidades diferentes).
- Plouffe, Simón (1999). "Algunas identidades con la constante catalana y Pi^2". Archivado desde el original el 26 de junio de 2019 . Consultado el 29 de julio de 2005 .(Proporciona una interpretación gráfica de las relaciones)
- Tarifa, Greg (1996). La constante catalana (fórmula de Ramanuján).(Proporciona los primeros 300.000 dígitos de la constante catalana)
- Bradley, David M. (2001). Representaciones de la constante catalana . CiteSeerX 10.1.1.26.1879 .
- Johansson, Fredrik. "0,915965594177219015054603514932". Ordner, un catálogo de números reales en Fungrim . Consultado el 21 de abril de 2021 .
- "La constante del catalán". YouTube . ¡Aprendamos, Nemo!. 10 de agosto de 2020 . Consultado el 6 de abril de 2021 .
- Weisstein, Eric W. "La constante del catalán". MundoMatemático .
- "Constante catalana: representaciones de series". Sitio de funciones de Wolfram .
- "Constante catalana". Enciclopedia de Matemáticas . Prensa EMS . 2001 [1994].