Enlace de Whitehead

Dos bucles interconectados con cinco cruces estructurales

En la teoría de nudos , el nudo Whitehead , llamado así por JHC Whitehead , es uno de los nudos más básicos . Puede dibujarse como un nudo alternado con cinco cruces, a partir de la superposición de un círculo y un bucle en forma de ocho .

Estructura

Una forma común de describir este nudo es la de superponer un bucle en forma de ocho con otro bucle circular que rodea el cruce del ocho. La relación arriba-abajo entre estos dos nudos se establece entonces como un enlace alterno , con los cruces consecutivos en cada bucle alternando entre debajo y encima. Este dibujo tiene cinco cruces, uno de los cuales es el autocruce de la curva en forma de ocho, que no cuenta para el número de enlace . Debido a que los cruces restantes tienen números iguales de cruces debajo y encima en cada bucle, su número de enlace es 0. No es isotópico al desvío , pero es enlace homotópico al desvío.

Aunque esta construcción del nudo trata sus dos bucles de manera diferente entre sí, los dos bucles son topológicamente simétricos: es posible deformar el mismo vínculo en un dibujo del mismo tipo en el que el bucle que se dibujó como un ocho sea circular y viceversa. ^[2] Alternativamente, existen realizaciones de este nudo en tres dimensiones en las que los dos bucles pueden llevarse uno a otro por una simetría geométrica de la realización. ^[1]

En la notación de la teoría de trenzas , el enlace se escribe

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}\sigma _{1}^{-1}\sigma _{2}^{-2}.\,}$

Su polinomio de Jones es

${\displaystyle V(t)=t^{-{3 \over 2}}\left(-1+t-2t^{2}+t^{3}-2t^{4}+t^{5}\right).}$

Este polinomio y son los dos factores del polinomio de Jones del enlace L10a140 . Cabe destacar que es el polinomio de Jones para la imagen especular de un enlace que tiene el polinomio de Jones . ${\displaystyle V(1/t)}$ ${\displaystyle V(1/t)}$ ${\displaystyle V(t)}$

Volumen

El volumen hiperbólico del complemento del enlace de Whitehead es 4 veces la constante de Catalan , aproximadamente 3,66. El complemento del enlace de Whitehead es una de las dos variedades hiperbólicas de dos cúspides con el mínimo volumen posible, siendo la otra el complemento del enlace de pretzel con parámetros (−2, 3, 8) . ^[3]

El relleno de Dehn en un componente del enlace Whitehead puede producir la variedad hermana del complemento del nudo en forma de ocho , y el relleno de Dehn en ambos componentes puede producir la variedad de Weeks , respectivamente una de las variedades hiperbólicas de volumen mínimo con una cúspide y la variedad hiperbólica de volumen mínimo sin cúspides.

Historia

Antiguo artefacto arqueológico del martillo de Thor

El enlace de Whitehead recibe su nombre de JHC Whitehead , quien pasó gran parte de la década de 1930 buscando una prueba de la conjetura de Poincaré . En 1934, utilizó el enlace como parte de su construcción de la ahora denominada variedad de Whitehead , que refutó su supuesta prueba anterior de la conjetura. ^[4]

Véase también

• Nudo de Salomón
• Semanas múltiples
• Cabeza blanca doble

Referencias

1. Skopenkov, A. (2020), "Fig. 22: Isotopía del enlace de Whitehead", Guía del usuario sobre la teoría básica de nudos y enlaces , pág. 17, arXiv : 2001.01472v1
2. Cundy, H. Martyn ; Rollett, AP (1961), Modelos matemáticos (2.ª ed.), Oxford: Clarendon Press, pág. 59, MR  0124167
3. Agol, Ian (2010), "Las variedades hiperbólicas de 2 cúspides y 3 cúspides orientables de volumen mínimo", Actas de la American Mathematical Society , 138 (10): 3723–3732, arXiv : 0804.0043 , doi :10.1090/S0002-9939-10-10364-5, MR  2661571
4. Gordon, C. McA. (1999), "Topología tridimensional hasta 1960" (PDF) , en James, IM (ed.), History of Topology , Ámsterdam: Holanda Septentrional, págs. 449–489, doi :10.1016/B978-044482375-5/50016-X, MR  1674921; ver pág. 480

Enlaces externos

• "Enlace teórico-nudo L5a1", The Knot Atlas .
• Weisstein, Eric W. , "Enlace de Whitehead", MathWorld