En la teoría de nudos , un área de las matemáticas , el grupo de enlace de un enlace es un análogo del grupo de nudos de un nudo . Fueron descritos por John Milnor en su tesis doctoral (Milnor 1954). Cabe destacar que el grupo de enlace no es en general el grupo fundamental del complemento de enlace .
El grupo de enlaces de un enlace de n componentes es esencialmente el conjunto de enlaces de ( n + 1) componentes que extienden este enlace, hasta la homotopía de enlace. En otras palabras, cada componente del enlace extendido puede moverse a través de la homotopía regular (homotopía a través de inmersiones ), anudándose o desanudándose a sí mismo, pero no puede moverse a través de otros componentes. Esta es una condición más débil que la isotopía: por ejemplo, el enlace de Whitehead tiene número de enlace 0 y, por lo tanto, es un enlace homotópico al desenlace , pero no es isotópico al desenlace.
El grupo de enlace no es el grupo fundamental del complemento de enlace , ya que los componentes del enlace pueden moverse a través de sí mismos, aunque no entre sí, sino que por lo tanto es un grupo cociente del grupo fundamental del complemento de enlace, ya que se puede empezar con elementos del grupo fundamental, y luego, anudando o desanudando componentes, algunos de estos elementos pueden volverse equivalentes entre sí.
El grupo de enlace del desenlace de n componentes es el grupo libre en n generadores, , ya que el grupo de enlace de un solo enlace es el grupo de nudos del desenlace , que son los números enteros, y el grupo de enlace de una unión no enlazada es el producto libre de los grupos de enlace de los componentes.
El grupo de enlace del enlace de Hopf , el enlace no trivial más simple (dos círculos, enlazados una vez) es el grupo abeliano libre en dos generadores. Nótese que el grupo de enlace de dos círculos no enlazados es el grupo no abeliano libre en dos generadores, del cual el grupo abeliano libre en dos generadores es un cociente . En este caso, el grupo de enlace es el grupo fundamental del complemento de enlace, ya que la deformación del complemento de enlace se retrae sobre un toro.
El enlace de Whitehead es homotópico al enlace no enlazado – aunque no es isotópico al enlace no enlazado – y por lo tanto tiene como grupo de enlace el grupo libre en dos generadores.
Milnor definió invariantes de un enlace (funciones en el grupo de enlaces) en (Milnor 1954), utilizando los caracteres que han llegado a denominarse " invariantes μ -bar de Milnor", o simplemente "invariantes de Milnor". Para cada k , existe una función k -aria que define invariantes según qué k de los enlaces se seleccione, en qué orden.
Los invariantes de Milnor se pueden relacionar con los productos de Massey en el complemento de enlace (el complemento del enlace); esto fue sugerido en (Stallings 1965), y se precisó en (Turaev 1976) y (Porter 1980).
Al igual que con los productos Massey, los invariantes de Milnor de longitud k + 1 se definen si todos los invariantes de Milnor de longitud menor o igual a k se anulan. El primer invariante de Milnor (doble) es simplemente el número de enlace (así como el producto Massey doble es el producto de copa, que es dual a la intersección), mientras que el invariante de Milnor triple mide si 3 círculos no enlazados por pares son anillos borromeos y, de ser así, en algún sentido, cuántas veces (es decir, los anillos borromeos tienen un invariante triple de Milnor de 1 o -1, dependiendo del orden, pero otros enlaces de 3 elementos pueden tener un invariante de 2 o más, así como los números de enlace pueden ser mayores que 1).
Otra definición es la siguiente: considere un enlace . Suponga que para y . Elija cualquier superficie de Seifert para los respectivos componentes del enlace, digamos, , tal que para todos . Entonces el invariante triple de Milnor es igual a menos el número de puntos de intersección al contar con signos; (Cochran 1990).
Los invariantes de Milnor también se pueden definir si los invariantes de orden inferior no se anulan, pero entonces existe una indeterminación, que depende de los valores de los invariantes de orden inferior. Esta indeterminación se puede entender geométricamente como la indeterminación al expresar un enlace como un enlace de cadena cerrada, como se analiza a continuación (también se puede ver algebraicamente como la indeterminación de los productos de Massey si los productos de Massey de orden inferior no se anulan).
Los invariantes de Milnor pueden considerarse como invariantes de enlaces de cuerdas , en cuyo caso están definidos universalmente, y la indeterminación del invariante de Milnor de un enlace se debe precisamente a las múltiples formas en que un enlace dado puede cortarse en un enlace de cuerda; esto permite la clasificación de enlaces hasta la homotopía de enlace, como en (Habegger y Lin 1990). Vistos desde este punto de vista, los invariantes de Milnor son invariantes de tipo finito , y de hecho ellos (y sus productos) son los únicos invariantes de concordancia de tipo finito racional de enlaces de cuerdas; (Habegger y Masbaum 2000).
El número de invariantes de Milnor linealmente independientes de longitud para enlaces de m componentes es , donde es el número de conmutadores básicos de longitud k en el álgebra de Lie libre en m generadores, a saber:
donde es la función de Möbius ; véase por ejemplo (Orr 1989). Este número crece en el orden de .
Los grupos de enlaces se pueden utilizar para clasificar los enlaces brunnianos .
