En teoría matemática de nudos , un vínculo es una colección de nudos que no se cruzan, pero que pueden estar unidos (o anudados) entre sí. Un nudo puede describirse como un vínculo con un componente. Los enlaces y nudos se estudian en una rama de las matemáticas llamada teoría de nudos . Implícito en esta definición está que hay un enlace de referencia trivial , generalmente llamado desvinculación , pero la palabra también se usa a veces en contextos donde no existe la noción de un enlace trivial.
Por ejemplo, un enlace de codimensión 2 en un espacio tridimensional es un subespacio del espacio euclidiano tridimensional (o, a menudo, las 3 esferas ) cuyos componentes conectados son homeomórficos a los círculos .
El ejemplo no trivial más simple de un vínculo con más de un componente se llama vínculo de Hopf , que consta de dos círculos (o desanudos ) unidos una vez. Los círculos de los anillos borromeos están vinculados colectivamente a pesar de que no hay dos de ellos directamente vinculados. Los anillos borromeos forman así un vínculo bruniano y, de hecho, constituyen el vínculo más simple.
-Torus_Link.svg/1280px-(2,8)-Torus_Link.svg.png)
La noción de vínculo se puede generalizar de varias maneras.
Con frecuencia la palabra enlace se utiliza para describir cualquier subvariedad de la esfera difeomorfa a una unión disjunta de un número finito de esferas .
En general, la palabra enlace es esencialmente la misma que la palabra nudo : el contexto es que uno tiene una subvariedad M de una variedad N (considerada trivialmente incrustada) y una incrustación no trivial de M en N , no trivial en el sentido de que la segunda inclusión no es isotópica con respecto a la primera. Si M está desconectado, la incrustación se denomina enlace (o se dice que está vinculado ). Si M es conexo, se llama nudo.
Si bien los enlaces (unidimensionales) se definen como incrustaciones de círculos, a menudo es interesante y especialmente útil desde el punto de vista técnico considerar intervalos incrustados (hebras), como en la teoría de trenzas .
En términos más generales, se puede considerar una maraña [1] [2] – una maraña es una incrustación
de una variedad 1 compacta (suave) con límite en el plano multiplicado por el intervalo de modo que el límite esté incrustado en
El tipo de maraña es el colector X, junto con una incrustación fija de
Concretamente, una variedad 1 compacta conectada con límite es un intervalo o un círculo (la compacidad descarta el intervalo abierto y el intervalo medio abierto, ninguno de los cuales produce incrustaciones no triviales, ya que el extremo abierto significa que se pueden reducir a un punto). ), por lo que una variedad 1 compacta posiblemente desconectada es una colección de n intervalos ym círculos La condición de que el límite de X se encuentre en
dice que los intervalos conectan dos líneas o conectan dos puntos en una de las líneas, pero no impone condiciones sobre los círculos. Se puede considerar que los enredos tienen una dirección vertical ( I ), que se encuentra entre dos líneas y posiblemente las conecta.
y luego poder moverse en una dirección horizontal bidimensional ( )
entre estas líneas; se pueden proyectar para formar un diagrama de enredos , análogo a un diagrama de nudos .
Los enredos incluyen enlaces (si X consta únicamente de círculos), trenzas y otros elementos adicionales, por ejemplo, un hilo que conecta las dos líneas con un círculo enlazado a su alrededor.
En este contexto, una trenza se define como una maraña que siempre desciende, cuya derivada siempre tiene un componente distinto de cero en la dirección vertical ( I ). En particular, debe consistir únicamente en intervalos y no retroceder sobre sí mismo; sin embargo, no se especifica en qué parte de la línea se encuentran los extremos.
Un enlace de cadenaes una maraña que consta únicamente de intervalos, y los extremos de cada hebra deben estar en (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2 , 1), ... – es decir, conectando los números enteros y terminando en el mismo orden en que comenzaron (se puede usar cualquier otro conjunto fijo de puntos); si tiene ℓ componentes, lo llamamos " enlace de cadena de componentes ℓ ". Un eslabón de hilo no tiene por qué ser una trenza; puede doblarse sobre sí mismo, como un eslabón de hilo de dos componentes que presenta un nudo simple . Una trenza que también es un eslabón de hilo se llama trenza pura y corresponde a la noción habitual de este tipo.
El valor técnico clave de los enredos y los enlaces de cuerdas es que tienen una estructura algebraica. Las clases isotópicas de enredos forman una categoría tensor , donde para la estructura de categorías, uno puede componer dos enredos si el extremo inferior de uno es igual al extremo superior del otro (para que los límites se puedan unir), apilándolos, no es así. literalmente forman una categoría (puntualmente) porque no hay identidad, ya que incluso un enredo trivial ocupa espacio vertical, pero hasta la isotopía lo hacen. La estructura tensorial viene dada por la yuxtaposición de enredos: colocar un enredo a la derecha del otro.
Para un ℓ fijo, las clases de isotopías de enlaces de cadenas de componentes ℓ forman un monoide (se pueden componer todos los enlaces de cadenas de componentes ℓ y hay una identidad), pero no un grupo, ya que las clases de isotopías de enlaces de cadenas no necesitan tener inversas. Sin embargo, las clases de concordancia (y por lo tanto también las clases de homotopía ) de enlaces de cuerdas tienen inversas, donde la inversa se obtiene volteando el enlace de cuerdas al revés y así forma un grupo.
Cada enlace se puede cortar para formar un enlace de cadena, aunque esto no es único, y las invariantes de enlaces a veces pueden entenderse como invariantes de enlaces de cadena; este es el caso de las invariantes de Milnor , por ejemplo. Comparar con trenzas cerradas .
![{\displaystyle I=[0,1],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7d92516e0cde219094eac09099b587b46fd3611)
![{\displaystyle I=[0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87ec65159c44769434523e46928bc1b82681f842)
