En la teoría matemática de nudos , el enlace de Hopf es el enlace no trivial más simple con más de un componente. [1] Consiste en dos círculos unidos exactamente una vez, [2] y recibe su nombre de Heinz Hopf . [3]
Un modelo concreto consta de dos círculos unitarios en planos perpendiculares, cada uno pasando por el centro del otro. [2] Este modelo minimiza la longitud de la cuerda del eslabón y hasta 2002 el eslabón de Hopf era el único eslabón cuya longitud de cuerda se conocía. [4] La envoltura convexa de estos dos círculos forma una figura llamada oloide . [5]
Dependiendo de las orientaciones relativas de los dos componentes, el número de enlace del enlace de Hopf es ±1. [6]
El enlace de Hopf es un enlace de toro (2,2) [7] con la palabra trenzada [8]
El complemento de nudos del enlace de Hopf es R × S 1 × S 1 , el cilindro sobre un toro . [9] Este espacio tiene una geometría euclidiana local , por lo que el enlace de Hopf no es un enlace hiperbólico . El grupo de nudos del enlace de Hopf (el grupo fundamental de su complemento) es Z 2 (el grupo abeliano libre en dos generadores), lo que lo distingue de un par de bucles no enlazados que tiene como grupo el grupo libre en dos generadores. [10]
El enlace de Hopf no es tricolor : no es posible colorear las hebras de su diagrama con tres colores, de modo que se utilicen al menos dos de los colores y de modo que cada cruce tenga uno o tres colores presentes. Cada enlace tiene solo una hebra, y si a ambas hebras se les da el mismo color, entonces se utiliza solo un color, mientras que si se les dan colores diferentes, entonces los cruces tendrán dos colores presentes.
La fibración de Hopf es una función continua de la 3-esfera (una superficie tridimensional en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones) en la más familiar 2-esfera , con la propiedad de que la imagen inversa de cada punto en la 2-esfera es un círculo. Por lo tanto, estas imágenes descomponen la 3-esfera en una familia continua de círculos, y cada dos círculos distintos forman un enlace de Hopf. Esta fue la motivación de Hopf para estudiar el enlace de Hopf: debido a que cada dos fibras están vinculadas, la fibración de Hopf es una fibración no trivial . Este ejemplo inició el estudio de los grupos de homotopía de esferas . [11]
El enlace de Hopf también está presente en algunas proteínas. [12] [13] Consiste en dos bucles covalentes, formados por fragmentos de la estructura de la proteína , cerrados con enlaces disulfuro . La topología del enlace de Hopf está altamente conservada en las proteínas y contribuye a su estabilidad. [12]
El enlace de Hopf recibe su nombre del topólogo Heinz Hopf , quien lo consideró en 1931 como parte de su investigación sobre la fibración de Hopf . [14] Sin embargo, en matemáticas, Carl Friedrich Gauss lo conocía antes del trabajo de Hopf. [3] También se ha utilizado durante mucho tiempo fuera de las matemáticas, por ejemplo, como el escudo de Buzan-ha , una secta budista japonesa fundada en el siglo XVI.
