Grupo de nudos

Grupo fundamental de un complemento de nudo

En matemáticas , un nudo es una incrustación de un círculo en el espacio euclidiano tridimensional . El grupo de nudos de un nudo K se define como el grupo fundamental del complemento de nudo de K en R ³ ,

${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K).}$

Otras convenciones consideran que los nudos están incrustados en la 3-esfera, en cuyo caso el grupo de nudos es el grupo fundamental de su complemento en . ${\displaystyle S^{3}}$

Propiedades

Dos nudos equivalentes tienen grupos de nudos isomorfos , por lo que el grupo de nudos es un invariante de nudos y se puede utilizar para distinguir entre ciertos pares de nudos no equivalentes. Esto se debe a que una equivalencia entre dos nudos es un autohomeomorfismo de que es isotópico a la identidad y envía el primer nudo al segundo. Tal homeomorfismo se restringe a un homeomorfismo de los complementos de los nudos, y este homeomorfismo restringido induce un isomorfismo de los grupos fundamentales. Sin embargo, es posible que dos nudos no equivalentes tengan grupos de nudos isomorfos (ver a continuación un ejemplo). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

La abelianización de un grupo de nudos es siempre isomorfa al grupo cíclico infinito Z ; esto se debe a que la abelianización concuerda con el primer grupo de homología , que se puede calcular fácilmente.

El grupo de nudos (o grupo fundamental de un enlace orientado en general) se puede calcular en la presentación de Wirtinger mediante un algoritmo relativamente simple.

Ejemplos

• El nudo no formado tiene un grupo de nudos isomorfo a Z.
• El nudo de trébol tiene un grupo de nudos isomorfo al grupo de trenza B ₃ . Este grupo tiene la presentación

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2}=y^{3}\rangle }$o ${\displaystyle \langle a,b\mid aba=bab\rangle .}$

• Un nudo toroidal ( p , q ) tiene un grupo de nudos con presentación

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle .}$

• El nudo en forma de ocho tiene un grupo de nudos con presentación

${\displaystyle \langle x,y\mid yxy^{-1}xy=xyx^{-1}yx\rangle }$

• El nudo cuadrado y el nudo granny tienen grupos de nudos isomorfos, aunque estos dos nudos no son equivalentes.

Véase también

• Grupo de enlaces

Lectura adicional

• Hazewinkel, Michiel , ed. (2001), "Grupos de nudos y enlaces", Enciclopedia de matemáticas , Springer, ISBN  978-1556080104