Carl Johan Malmsten

Matemático y político sueco (1814-1886)

Carl Johan Malmsten (9 de abril de 1814, Uddetorp, condado de Skara, Suecia - 11 de febrero de 1886, Uppsala , Suecia) fue un matemático y político sueco. Se destaca por sus primeras investigaciones ^[1] sobre la teoría de funciones de una variable compleja , por la evaluación de varias integrales y series logarítmicas importantes , por sus estudios en la teoría de series e integrales relacionadas con funciones Zeta, así como por ayudar Mittag-Leffler inicia la revista Acta Mathematica . ^[2] Malmsten se convirtió en docente en 1840 y luego en profesor de matemáticas en la Universidad de Uppsala en 1842. Fue elegido miembro de la Real Academia Sueca de Ciencias en 1844. También fue ministro sin cartera en 1859-1866 y gobernador. del condado de Skaraborg en 1866-1879.

Principales contribuciones

Por lo general, Malmsten es conocido por sus trabajos anteriores en análisis complejos. ^[1] Sin embargo, también contribuyó enormemente en otras ramas de las matemáticas, pero sus resultados fueron inmerecidamente olvidados y muchos de ellos fueron atribuidos erróneamente a otras personas. Así, hace relativamente poco tiempo Iaroslav Blagouchine ^[3] descubrió que Malmsten fue el primero en evaluar varias integrales y series logarítmicas importantes, que están estrechamente relacionadas con las funciones gamma y zeta , y entre las que podemos encontrar las tan -llamada integral de Vardi y serie de Kummer para el logaritmo de la función Gamma. En particular, en 1842 evaluó las siguientes integrales logarítmicas lnln.

${\displaystyle \int _{0}^{1}\!{\frac {\,\ln \ln {\frac {1}{x}}\,}{1+x^{2}}}\,dx\,=\,\int _{1}^{\infty }\!{\frac {\,\ln \ln {x}\,}{1+x^{2}}}\,dx\,=\,{\frac {\pi }{\,2\,}}\ln \left\{{\frac {\Gamma {(3/4)}}{\Gamma {(1/4)}}}{\sqrt {2\pi \,}}\right\}}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{(1+x)^{2}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{(1+x)^{2}}}\,dx={\frac {1}{2}}{\bigl (}\ln \pi -\ln 2-\gamma {\bigr )},}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1-x+x^{2}}}\,dx=\int _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{1-x+x^{2}}}\,dx={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\ln {\biggl \{}{\frac {\sqrt[{6}]{32\pi ^{5}}}{\Gamma {(1/6)}}}{\biggr \}}}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+x+x^{2}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{1+x+x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{\sqrt {3}}}\ln {\biggl \{}{\frac {\Gamma {(2/3)}}{\Gamma {(1/3)}}}{\sqrt[{3}]{2\pi }}{\biggr \}}}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+2x\cos \varphi +x^{2}}}\,dx\,=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{1+2x\cos \varphi +x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2\sin \varphi }}\ln \left\{{\frac {(2\pi )^{\frac {\scriptstyle \varphi }{\scriptstyle \pi }}\,\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}+{\frac {\varphi }{\,2\pi \,}}\!\right)}{\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}-{\frac {\varphi }{\,2\pi \,}}\!\right)}}\right\},\qquad -\pi <\varphi <\pi }$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x^{n-2}\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1-x^{2}+x^{4}-\cdots +x^{2n-2}}}\,dx\,=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {x^{n-2}\ln \ln {x}}{1-x^{2}+x^{4}-\cdots +x^{2n-2}}}\,dx=}$

${\displaystyle \quad =\,{\frac {\pi }{\,2n\,}}\sec {\frac {\,\pi \,}{2n}}\!\cdot \ln \pi +{\frac {\pi }{\,n\,}}\cdot \!\!\!\!\!\!\sum _{l=1}^{\;\;{\frac {1}{2}}(n-1)}\!\!\!\!(-1)^{l-1}\cos {\frac {\,(2l-1)\pi \,}{2n}}\cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(1-\displaystyle {\frac {2l-1}{2n}}\right)}{\Gamma \!\left(\displaystyle {\frac {2l-1}{2n}}\right)}}\right\},\qquad n=3,5,7,\ldots }$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x^{n-2}\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+x^{2}+x^{4}+\cdots +x^{2n-2}}}\,dx\,=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {x^{n-2}\ln \ln {x}}{1+x^{2}+x^{4}+\cdots +x^{2n-2}}}\,dx=}$

${\displaystyle \qquad ={\begin{cases}\displaystyle {\frac {\,\pi \,}{2n}}\tan {\frac {\,\pi \,}{2n}}\ln 2\pi +{\frac {\pi }{n}}\sum _{l=1}^{n-1}(-1)^{l-1}\sin {\frac {\,\pi l\,}{n}}\cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}+\displaystyle {\frac {l}{\,2n}}\!\right)}{\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {l}{\,2n}}\!\right)}}\right\},\quad n=2,4,6,\ldots \\[10mm]\displaystyle {\frac {\,\pi \,}{2n}}\tan {\frac {\,\pi \,}{2n}}\ln \pi +{\frac {\pi }{n}}\!\!\!\!\!\sum _{l=1}^{\;\;\;{\frac {1}{2}}(n-1)}\!\!\!\!(-1)^{l-1}\sin {\frac {\,\pi l\,}{n}}\cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(1-\displaystyle {\frac {\,l}{n}}\!\right)}{\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {\,l}{n}}\!\right)}}\right\},\qquad n=3,5,7,\ldots \end{cases}}}$

Los detalles y un interesante análisis histórico se dan en el artículo de Blagouchine. ^[3] Muchas de estas integrales fueron redescubiertas más tarde por varios investigadores, incluidos Vardi, ^[4] Adamchik, ^[5] Medina ^[6] y Moll. ^[7] Además, algunos autores incluso nombraron la primera de estas integrales en honor a Vardi, quien la reevaluó en 1988 (la llaman integral de Vardi ), y lo mismo hicieron muchos recursos de Internet conocidos como el sitio Wolfram MathWorld ^[8] o Sitio de la Fundación OEIS ^[9] (teniendo en cuenta la indudable prioridad de Malmsten en la evaluación de este tipo de integrales logarítmicas, parece que el nombre integrales de Malmsten sería más apropiado para ellas ^[3] ). Malmsten derivó las fórmulas anteriores haciendo uso de diferentes representaciones de series. Al mismo tiempo, se ha demostrado que también pueden evaluarse mediante métodos de integración de contornos , ^[3] haciendo uso de la función Hurwitz Zeta , ^[5] empleando polilogaritmos ^[6] y usando funciones L. ^[4] Aparecen formas más complicadas de las integrales de Malmsten en las obras de Adamchik ^[5] y Blagouchine ^[3] (más de 70 integrales). A continuación se muestran varios ejemplos de tales integrales.

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+x^{3}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x\ln \ln x}{1+x^{3}}}\,dx={\frac {\ln 2}{6}}\ln {\frac {3}{2}}-{\frac {\pi }{6{\sqrt {3}}}}\left\{\ln 54-8\ln 2\pi +12\ln \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)\right\}}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x\ln \ln {\frac {1}{x}}}{(1-x+x^{2})^{2}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {x\ln \ln x}{(1-x+x^{2})^{2}}}\,dx=-{\frac {\gamma }{3}}-{\frac {1}{3}}\ln {\frac {6{\sqrt {3}}}{\pi }}+{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{27}}\left\{5\ln 2\pi -6\ln \Gamma \left({\frac {1}{6}}\right)\right\}}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {\left(x^{4}-6x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1+x^{2})^{3}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\left(x^{4}-6x^{2}+1\right)\ln \ln {x}}{\,(1+x^{2})^{3}\,}}\,dx={\frac {2\,\mathrm {G} }{\pi }}}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln {x}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx={\frac {7\zeta (3)}{8\pi ^{2}}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x\!\left(x^{\frac {m}{n}}-x^{-{\frac {m}{n}}}\right)^{\!2}\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1-x^{2})^{2}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x\!\left(x^{\frac {m}{n}}-x^{-{\frac {m}{n}}}\right)^{\!2}\ln \ln {x}}{\,(1-x^{2})^{2}\,}}\,dx=\!\!\!&\displaystyle {\frac {\,m\pi \,}{\,n\,}}\sum _{l=1}^{n-1}\sin {\dfrac {2\pi ml}{n}}\cdot \ln \Gamma \!\left(\!{\frac {l}{n}}\!\right)-\,{\frac {\pi m}{\,2n\,}}\cot {\frac {\pi m}{n}}\cdot \ln \pi n\\[3mm]&\displaystyle -\,{\frac {\,1\,}{2}}\ln \!\left(\!{\frac {\,2\,}{\pi }}\sin {\frac {\,m\pi \,}{n}}\!\right)-\,{\frac {\gamma }{2}}\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}\!\left(x^{\frac {m}{n}}+x^{-{\frac {m}{n}}}\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1+x^{2})^{3}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}\!\left(x^{\frac {m}{n}}+x^{-{\frac {m}{n}}}\right)\ln \ln {x}}{\,(1+x^{2})^{3}\,}}\,dx=-{\frac {\,\pi \left(n^{2}-m^{2}\right)\,}{8n^{2}}}\!\sum _{l=0}^{2n-1}\!(-1)^{l}\cos {\dfrac {(2l+1)m\pi }{2n}}\cdot \ln \Gamma \!\left(\!{\frac {2l+1}{4n}}\right)\\[3mm]\displaystyle \,\,+{\frac {\,m\,}{\,8n^{2}\,}}\!\sum _{l=0}^{2n-1}\!(-1)^{l}\sin {\dfrac {(2l+1)m\pi }{2n}}\cdot \Psi \!\left(\!{\frac {2l+1}{4n}}\right)-{\frac {\,1\,}{\,32\pi n^{2}\,}}\!\sum _{l=0}^{2n-1}(-1)^{l}\cos {\dfrac {(2l+1)m\pi }{2n}}\cdot \Psi _{1}\!\left(\!{\frac {2l+1}{4n}}\right)+\,{\frac {\,\pi (n^{2}-m^{2})\,}{16n^{2}}}\sec {\dfrac {m\pi }{2n}}\cdot \ln 2\pi n\end{array}}}$

donde m y n son enteros positivos tales que m < n , G es la constante de Catalan , ζ representa la función zeta de Riemann , Ψ es la función digamma y Ψ ₁ es la función trigamma ; ver respectivamente la ec. (43), (47) y (48) en Adamchik ^[5] para las tres primeras integrales, y los ejercicios núm. 36-a, 36-b, 11-b y 13-b en Blagouchine ^[3] para las últimas cuatro integrales respectivamente (la tercera integral se calcula en ambas obras). Es curioso que algunas de las integrales de Malmsten conduzcan a las funciones gamma y poligamma de un argumento complejo, que no se encuentran a menudo en el análisis. Por ejemplo, como lo muestra Iaroslav Blagouchine, ^[3]

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+4x^{2}+x^{4}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {x\ln \ln {x}}{1+4x^{2}+x^{4}}}\,dx={\frac {\,\pi \,}{\,2{\sqrt {3\,}}\,}}\mathrm {Im} \!\left[\ln \Gamma \!\left(\!{\frac {1}{2}}-{\frac {\ln(2+{\sqrt {3\,}})}{2\pi i}}\right)\!\right]+\,{\frac {\ln(2+{\sqrt {3\,}})}{\,4{\sqrt {3\,}}\,}}\ln \pi }$

o,

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\,x\ln \ln {\frac {1}{x}}\,}{\,x^{4}-2x^{2}\cosh {2}+1\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\,x\ln \ln {x}\,}{\,x^{4}-2x^{2}\cosh {2}+1\,}}\,dx=-{\frac {\,\pi \,}{2\,\sinh {2}\,}}\mathrm {Im} \!\left[\ln \Gamma \!\left(\!{\frac {i}{2\pi }}\right)-\ln \Gamma \!\left(\!{\frac {1}{2}}-{\frac {i}{2\pi }}\right)\!\right]-{\frac {\,\pi ^{2}}{8\,\sinh {2}\,}}-{\frac {\,\ln 2\pi \,}{2\,\sinh {2}\,}}}$

ver ejercicios 7-а y 37 respectivamente. Por cierto, las integrales de Malmsten también están estrechamente relacionadas con las constantes de Stieltjes . ^{[3] [10]}

En 1842, Malmsten también evaluó varias series logarítmicas importantes, entre las que podemos encontrar estas dos series

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\ln(2n+1)}{2n+1}}\,=\,{\frac {\pi }{4}}{\big (}\ln \pi -\gamma )-\pi \ln \Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}$

y

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {\sin an\cdot \ln {n}}{n}}\,=\,\pi \ln \left\{{\frac {\pi ^{{\frac {1}{2}}-{\frac {a}{2\pi }}}}{\Gamma \left(\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {a}{2\pi }}\right)}}\right\}-{\frac {a}{2}}{\big (}\gamma +\ln 2{\big )}-{\frac {\pi }{2}}\ln \cos {\frac {a}{2}}\,,\qquad -\pi <a<\pi .}$

Esta última serie fue redescubierta más tarde en una forma ligeramente diferente por Ernst Kummer , quien derivó una expresión similar

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin 2\pi nx\cdot \ln {n}}{n}}=\ln \Gamma (x)-{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )+{\frac {1}{2}}\ln(2\sin \pi x)-{\frac {1}{2}}(\gamma +\ln 2\pi )(1-2x)\,,\qquad 0<x<1,}$

en 1847 ^[3] (estrictamente hablando, el resultado de Kummer se obtiene del de Malmsten poniendo a=π(2x-1)). Además, esta serie incluso se conoce en análisis como serie de Kummer para el logaritmo de la función Gamma , aunque Malmsten la derivó 5 años antes que Kummer.

Malsmten también contribuyó notablemente a la teoría de las integrales y series relacionadas con la función zeta. En 1842 demostró la siguiente relación funcional importante para la función L.

${\displaystyle L(s)\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}\qquad \qquad L(1-s)=L(s)\Gamma (s)2^{s}\pi ^{-s}\sin {\frac {\pi s}{2}},}$

así como para la función M

${\displaystyle M(s)\equiv {\frac {2}{\sqrt {3}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}\sin {\frac {\pi n}{3}}\qquad \qquad M(1-s)=\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}\,M(s)\Gamma (s)3^{s}(2\pi )^{-s}\sin {\frac {\pi s}{2}},}$

donde en ambas fórmulas 0<s<1. La primera de estas fórmulas fue propuesta por Leonhard Euler ya en 1749, ^[11] pero fue Malmsten quien la demostró (Euler sólo sugirió esta fórmula y la verificó para varios valores enteros y semienteros de s). Curiosamente, Oscar Schlömilch redescubrió inconscientemente la misma fórmula para L(s) en 1849 (la prueba no se proporcionó hasta 1858). ^{[3] [12] [13] [14]} Cuatro años más tarde, Malmsten derivó varias otras fórmulas de reflexión similares, que resultan ser casos particulares de la ecuación funcional de Hurwitz .

Hablando de la contribución de Malmsten a la teoría de las funciones zeta, no podemos dejar de mencionar el reciente descubrimiento de su autoría de la fórmula de reflexión para la primera constante generalizada de Stieltjes en el argumento racional.

${\displaystyle \gamma _{1}{\biggl (}{\frac {m}{n}}{\biggr )}-\gamma _{1}{\biggl (}1-{\frac {m}{n}}{\biggr )}=2\pi \sum _{l=1}^{n-1}\sin {\frac {2\pi ml}{n}}\cdot \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {l}{n}}{\biggr )}-\pi (\gamma +\ln 2\pi n)\cot {\frac {m\pi }{n}}}$

donde m y n son números enteros positivos tales que m < n . Esta identidad fue deducida, aunque de forma ligeramente diferente, por Malmsten ya en 1846 y también ha sido descubierta de forma independiente varias veces por varios autores. En particular, en la literatura dedicada a las constantes de Stieltjes , a menudo se atribuye a Almkvist y Meurman, quienes la derivaron en la década de 1990. ^[10]

Referencias

1. Malmsten, CJ (1867). "Om definita integraler mellan imaginära gränsor". K. veterinario. Akád. Manejar. (en sueco). 6 (3). Estocolmo: PA Norstedt & Söner: 1–18.
2. Garding, Lars (1998). Matemáticas y matemáticos: las matemáticas en Suecia antes de 1950 . Historia de las Matemáticas. vol. 13. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. doi :10.1090/hmath/013. ISBN 978-0-8218-0612-8. SEÑOR  1488153.
3. Blagouchine, Iaroslav V. (2014). "Redescubrimiento de las integrales de Malmsten, su evaluación mediante métodos de integración de contornos y algunos resultados relacionados". Ramanujan J. 35 (1): 21-110. doi :10.1007/s11139-013-9528-5. ISSN  1382-4090. SEÑOR  3258600. S2CID  254986780.Blagouchine, Iaroslav V. (2017). "Erratum y apéndice a: Redescubrimiento de las integrales de Malmsten, su evaluación mediante métodos de integración de contornos y algunos resultados relacionados [Ramanujan J. (2014), 35:21-110]". Ramanujan J. 42 (3): 777–781. doi :10.1007/s11139-015-9763-z. ISSN  1382-4090. SEÑOR  3625019. S2CID  254982221.PDF
4. Vardi, Ilán (1988). "Integrales, una introducción a la teoría analítica de números". América. Matemáticas. Mensual . 95 (4): 308–315. doi :10.2307/2323562. ISSN  0002-9890. JSTOR  2323562. SEÑOR  0935205.
5. V. Adamchik Una clase de integrales logarítmicas. Actas del Simposio internacional de 1997 sobre computación simbólica y algebraica, págs. 1-8, 1997.
6. Medina, Luis A.; Moll, Víctor H. (2009). "Una clase de integrales logarítmicas". Ramanujan J. 20 (1): 91-126. arXiv : 0808.2750 . doi :10.1007/s11139-008-9148-7. ISSN  1382-4090. SEÑOR  2546186. S2CID  115174350.
7. VH Moll Algunas preguntas sobre la evaluación de integrales definidas. Curso corto MAA, San Antonio, TX. Enero de 2006.
8. Integral de Eric W. Weisstein Vardi. De MathWorld: un recurso web de Wolfram.
9. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A115252". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
10. Blagouchine, Iaroslav V. (2015). "Un teorema para la evaluación en forma cerrada de la primera constante de Stieltjes generalizada en argumentos racionales y algunas sumas relacionadas". J. Teoría de números . 148 : 537–592. arXiv : 1401.3724 . doi :10.1016/j.jnt.2014.08.009. ISSN  0022-314X. SEÑOR  3283193.Blagouchine, Iaroslav V. (2015). "Errata de" Un teorema para la evaluación en forma cerrada de la primera constante de Stieltjes generalizada en argumentos racionales y algunas sumas relacionadas "[J. Number Theory 148 (2015) 537–592]". J. Teoría de números . 151 : 276–277. arXiv : 1401.3724 . doi :10.1016/j.jnt.2015.01.001. ISSN  0022-314X. SEÑOR  3314214.Blagouchine, Iaroslav V. (23 de febrero de 2015). "Un teorema para la evaluación en forma cerrada de la primera constante de Stieltjes generalizada en argumentos racionales y algunas sumas relacionadas". Revista de teoría de números . 148 : 537–592. arXiv : 1401.3724v3 . doi :10.1016/J.JNT.2014.08.009.
11. L. Euler Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques. Histoire de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres, année MDCCLXI, Tomo 17, págs. 83-106, A Berlin, chez Haude et Spener, Libraires de la Cour et de l'Académie Royale, 1768 [leído en 1749]
12. Hardy, GH (1949). Serie divergente. Londres: Oxford University Press. SEÑOR  0030620.
13. H. Wieleitner Geschichte der Mathematik [en 2 vols.] Berlín, 1922-1923.
14. J. Dutka Sobre la suma de algunas series divergentes de Euler y las funciones zeta. Archivo de Historia de las Ciencias Exactas, Volumen 50, Número 2, págs. 187-200, Archivo de Historia de las Ciencias Exactas, 27.VIII.1996.