En geometría hiperbólica tridimensional , un poliedro ideal es un poliedro convexo cuyos vértices son puntos ideales , puntos "en el infinito" en lugar de en el interior del espacio hiperbólico tridimensional . Puede definirse como la cáscara convexa de un conjunto finito de puntos ideales. Un poliedro ideal tiene polígonos ideales como caras , que se encuentran a lo largo de líneas del espacio hiperbólico.
Los sólidos platónicos y los sólidos de Arquímedes tienen versiones ideales, con la misma estructura combinatoria que sus versiones euclidianas más familiares. Varios panales hiperbólicos uniformes dividen el espacio hiperbólico en celdas de estas formas, de forma muy parecida a la conocida división del espacio euclidiano en cubos. Sin embargo, no todos los poliedros pueden representarse como poliedros ideales: un poliedro puede ser ideal sólo cuando puede representarse en geometría euclidiana con todos sus vértices en una esfera circunscrita . Usando programación lineal , es posible probar si un poliedro dado tiene una versión ideal, en tiempo polinomial .
Cada dos poliedros ideales con el mismo número de vértices tienen la misma superficie y es posible calcular el volumen de un poliedro ideal utilizando la función de Lobachevsky . La superficie de un poliedro ideal forma una variedad hiperbólica , topológicamente equivalente a una esfera perforada, y cada una de esas variedades forma la superficie de un poliedro ideal único.
Un poliedro ideal se puede construir como la cáscara convexa de un conjunto finito de puntos ideales del espacio hiperbólico, siempre que no todos los puntos se encuentren en un solo plano. La forma resultante es la intersección de todos los semiespacios cerrados que tienen los puntos ideales dados como puntos límite. Alternativamente, cualquier poliedro convexo euclidiano que tenga una esfera circunscrita puede reinterpretarse como un poliedro ideal interpretando el interior de la esfera como un modelo de Klein para el espacio hiperbólico. [1] En el modelo de Klein, cada poliedro euclidiano encerrado por la esfera representa un poliedro hiperbólico, y cada poliedro euclidiano con sus vértices en la esfera representa un poliedro hiperbólico ideal. [2]
Todo poliedro isogonal convexo (uno con simetrías que llevan cada vértice a cada otro vértice) puede representarse como un poliedro ideal, de manera que respete sus simetrías, porque tiene una esfera circunscrita centrada en el centro de simetría del poliedro. [3] En particular, esto implica que los sólidos platónicos y los sólidos de Arquímedes tienen formas ideales. Sin embargo, otra clase de poliedros altamente simétrica, los sólidos catalanes , no todos tienen formas ideales. Los sólidos catalanes son los poliedros duales de los sólidos de Arquímedes y tienen simetrías que llevan cualquier cara a cualquier otra cara. Los sólidos catalanes que no pueden ser ideales incluyen el dodecaedro rómbico y el tetraedro triakis . [4]
La eliminación de ciertos triples de vértices del tetraedro triakis separa los vértices restantes en múltiples componentes conectados. Cuando no existe tal separación de tres vértices, se dice que un poliedro tiene 4 conexos . Cada poliedro de 4 conexiones tiene una representación como un poliedro ideal; por ejemplo, esto es cierto para el hexaedro tetrakis , otro sólido catalán. [5]
Truncar un solo vértice de un cubo produce un poliedro simple (uno con tres aristas por vértice) que no puede realizarse como un poliedro ideal: según el teorema de los seis círculos de Miquel , si siete de los ocho vértices de un cubo son ideales, el octavo vértice es también ideal, por lo que los vértices creados al truncarlo no pueden ser ideales. También existen poliedros con cuatro aristas por vértice que no pueden considerarse poliedros ideales. [6] Si un poliedro simplicial (uno con todas las caras triangulares) tiene todos los grados de vértice entre cuatro y seis (inclusive), entonces tiene una representación ideal, pero el tetraedro triakis es simplicial y no ideal, y el 4-regular no- El ejemplo ideal anterior muestra que para poliedros no simpliciales, tener todos los grados en este rango no garantiza una realización ideal. [7]
Todo poliedro ideal con vértices tiene una superficie que se puede subdividir en triángulos ideales , [8] cada uno con área . [9] Por lo tanto, el área de la superficie es exactamente .
En un poliedro ideal, todos los ángulos de las caras y todos los ángulos sólidos en los vértices son cero. Sin embargo, los ángulos diédricos en las aristas de un poliedro ideal son distintos de cero. En cada vértice, los ángulos suplementarios de los ángulos diédricos incidentes en ese vértice suman exactamente . [2] Este hecho se puede utilizar para calcular los ángulos diédricos de un poliedro ideal regular o de aristas simétricas (en el que todos estos ángulos son iguales), contando cuántas aristas se encuentran en cada vértice: un tetraedro regular ideal, un cubo o un dodecaedro, de tres aristas por vértice, tiene ángulos diédricos , un octaedro regular ideal o cuboctaedro , de cuatro aristas por vértice, tiene ángulos diédricos , y un icosaedro regular ideal, de cinco aristas por vértice, tiene ángulos diédricos . [10]
El volumen de un tetraedro ideal se puede expresar en términos de la función de Clausen o la función de Lobachevsky de sus ángulos diédricos, y el volumen de un poliedro ideal arbitrario se puede encontrar dividiéndolo en tetraedros y sumando los volúmenes de los tetraedros. [11]
El invariante de Dehn de un poliedro normalmente se encuentra combinando las longitudes de las aristas y los ángulos diédricos del poliedro, pero en el caso de un poliedro ideal las longitudes de las aristas son infinitas. Esta dificultad se puede evitar utilizando una horósfera para truncar cada vértice, dejando una longitud finita a lo largo de cada borde. La forma resultante no es en sí misma un poliedro porque las caras truncadas no son planas, pero tiene longitudes de borde finitas y su invariante de Dehn se puede calcular de la manera normal, ignorando los nuevos bordes donde las caras truncadas se encuentran con las caras originales del poliedro. . Debido a la forma en que se define la invariante de Dehn y las restricciones sobre los ángulos diédricos que se encuentran en un solo vértice de un poliedro ideal, el resultado de este cálculo no depende de la elección de las horósferas utilizadas para truncar los vértices. [12]
Como demostró Ernst Steinitz (1928), el conjunto máximo independiente de cualquier poliedro ideal (el subconjunto más grande posible de vértices no adyacentes) debe tener como máximo la mitad de los vértices del poliedro. Puede tener exactamente la mitad sólo cuando los vértices se pueden dividir en dos conjuntos independientes de igual tamaño, de modo que la gráfica del poliedro sea una gráfica bipartita equilibrada , como lo es para un cubo ideal. [13] Más claramente, la gráfica de cualquier poliedro ideal es 1-difícil , lo que significa que, para cualquier , la eliminación de vértices de la gráfica deja como máximo los componentes conectados. [14] Por ejemplo, el dodecaedro rómbico es bipartito, pero tiene un conjunto independiente con más de la mitad de sus vértices, y el tetraedro triakis tiene un conjunto independiente de exactamente la mitad de los vértices pero no es bipartito, por lo que ninguno de los dos puede realizarse como un poliedro ideal. [13]
No todos los poliedros convexos son combinatoriamente equivalentes a los poliedros ideales. René Descartes intentó, sin éxito, la caracterización geométrica de los poliedros inscritos en su manuscrito de 1630 De solidorum elementis . [15] La cuestión de encontrar una caracterización combinatoria de los poliedros ideales, análoga al teorema de Steinitz que caracteriza los poliedros convexos euclidianos, fue planteada por Jakob Steiner (1832); Hodgson, Rivin y Smith (1992) proporcionaron una caracterización numérica (en lugar de combinatoria). Su caracterización se basa en el hecho de que los ángulos diédricos de un poliedro ideal, incidentes a un único vértice ideal, deben tener ángulos suplementarios que sumen exactamente , mientras que los ángulos suplementarios atravesados por cualquier curva de Jordan en la superficie del poliedro que tiene más más de un vértice en ambos lados debe ser mayor. Por ejemplo, para el cubo ideal, los ángulos diédricos son y sus suplementos son . Los tres ángulos suplementarios en un solo vértice suman pero los cuatro ángulos cruzados por una curva a medio camino entre dos caras opuestas suman , y otras curvas cruzan aún más de estos ángulos con sumas aún mayores. Hodgson, Rivin y Smith (1992) muestran que un poliedro convexo es equivalente a un poliedro ideal si y sólo si es posible asignar números a sus aristas con las mismas propiedades: todos estos números se encuentran entre y , suman en cada vértice, y suman más que en cada ciclo no facial del gráfico dual . Cuando existe tal asignación, existe un poliedro ideal único cuyos ángulos diédricos son suplementarios a estos números. Como consecuencia de esta caracterización, la realizabilidad como poliedro ideal puede expresarse como un programa lineal con muchas restricciones exponenciales (una para cada ciclo no facial) y probarse en tiempo polinómico utilizando el algoritmo elipsoide . [dieciséis]
Dillencourt y Smith (1995) proporcionaron una caracterización más combinatoria para el caso especial de poliedros simples , poliedros con sólo tres caras y tres aristas que se encuentran en cada vértice (ideal). Según su caracterización, un poliedro simple es ideal o inscribible si y sólo si se cumple una de dos condiciones: o la gráfica del poliedro es una gráfica bipartita y su gráfica dual es 4 conexa , o es una gráfica 1-superresistente. . En esta condición, ser 1-superresistente es una variación de la tenacidad del gráfico ; significa que, para cada conjunto de más de un vértice del gráfico, la eliminación de del gráfico deja un número de componentes conectados que es estrictamente menor que . Basándose en esta caracterización, encontraron un algoritmo combinatorio de tiempo lineal para probar la realizabilidad de poliedros simples como poliedros ideales. [17]
Debido a que el tetraedro, el cubo, el octaedro y el dodecaedro regulares ideales tienen ángulos diédricos que son fracciones enteras de , todos pueden formar un espacio hiperbólico, formando un panal regular . [18] En esto se diferencian de los sólidos regulares euclidianos, entre los cuales sólo el cubo puede enlosar el espacio. [18] El tetraedro, el cubo, el octaedro y el dodecaedro ideales forman respectivamente el panal tetraédrico de orden 6 , el panal cúbico de orden 6 , el panal octaédrico de orden 4 y el panal dodecaédrico de orden 6 ; aquí el orden se refiere al número de celdas que se encuentran en cada borde. Sin embargo, el icosaedro ideal no mosaico el espacio de la misma manera. [18]
La descomposición de Epstein-Penner, una construcción de DBA Epstein y RC Penner (1988), se puede utilizar para descomponer cualquier variedad 3 hiperbólica en cúspide en poliedros ideales y para representar la variedad como el resultado de unir estos poliedros ideales. [19] Cada variedad que se puede representar de esta manera tiene un número finito de representaciones. [20] La cubierta universal de la variedad hereda la misma descomposición, que forma un panal de poliedros ideales. Los ejemplos de variedades cúspides, que conducen a panales de esta manera, surgen naturalmente como complementos de nudos de enlaces hiperbólicos , que tienen una cúspide para cada componente del enlace. Por ejemplo, el complemento del nudo en forma de ocho se asocia de esta manera con el panal tetraédrico de orden 6, [21] y el complemento de los anillos borromeos se asocia de la misma manera con el panal octaédrico de orden 4. [22] Estos dos panales, y otros tres que utilizan el cuboctaedro ideal , el prisma triangular y el tetraedro truncado , surgen en el estudio de los grupos de Bianchi y provienen de variedades cúspides formadas como cocientes del espacio hiperbólico por subgrupos de grupos de Bianchi. Las mismas variedades también pueden interpretarse como complementos de enlace. [23]
La superficie de un poliedro ideal (sin incluir sus vértices) forma una variedad , topológicamente equivalente a una esfera perforada, con una geometría hiperbólica bidimensional uniforme; los pliegues de la superficie en su incrustación en el espacio hiperbólico no son detectables como pliegues en la geometría intrínseca de la superficie. Como esta superficie se puede dividir en triángulos ideales , su área total es finita. Por el contrario, y de manera análoga al teorema de unicidad de Alexandrov , cada variedad bidimensional con geometría hiperbólica uniforme y área finita, combinatoriamente equivalente a una esfera finitamente perforada, puede realizarse como la superficie de un poliedro ideal. (Al igual que con el teorema de Alexandrov, se debe permitir que tales superficies incluyan diedros ideales .) [24] Desde este punto de vista, la teoría de los poliedros ideales tiene estrechas conexiones con aproximaciones discretas a aplicaciones conformes . [25]
Las superficies de poliedros ideales también pueden considerarse de manera más abstracta como espacios topológicos formados pegando triángulos ideales mediante isometría a lo largo de sus bordes. Para cada superficie de este tipo, y cada curva cerrada que no simplemente envuelve un único vértice del poliedro (una o más veces) sin separar ningún otro, hay una geodésica única en la superficie que es homotópica a la curva dada. En este sentido, los poliedros ideales son diferentes de los poliedros euclidianos (y de sus modelos euclidianos de Klein): por ejemplo, en un cubo euclidiano, cualquier geodésica puede cruzar como máximo dos aristas incidentes en un solo vértice consecutivamente, antes de cruzar un borde no incidente. , pero las geodésicas en el cubo ideal no están limitadas de esta manera. [26]
