En geometría , la media esfera o interesfera de un poliedro convexo es una esfera que es tangente a cada borde del poliedro. No todos los poliedros tienen una media esfera, pero los poliedros uniformes , incluidos los poliedros regulares , cuasiregulares y semirregulares y sus duales , todos tienen medias esferas. El radio de la media esfera se llama radio medio. Se dice que un poliedro que tiene una esfera media está inscrito en la mitad de esta esfera. [1]
Cuando un poliedro tiene una mediaesfera, se pueden formar dos empaquetamientos circulares perpendiculares sobre la mediaesfera, uno correspondiente a las adyacencias entre vértices del poliedro, y el otro correspondiente de la misma manera a su poliedro polar , que tiene la misma mediaesfera. La longitud de cada borde del poliedro es la suma de las distancias desde sus dos puntos finales hasta sus círculos correspondientes en este empaquetamiento circular.
Todo poliedro convexo tiene un poliedro combinatoriamente equivalente, el poliedro canónico , que sí tiene una media esfera, centrada en el centroide de los puntos de tangencia de sus aristas. Los algoritmos de aproximación numérica pueden construir el poliedro canónico, pero sus coordenadas no pueden representarse exactamente como una expresión de forma cerrada . Cualquier poliedro canónico y su dual polar pueden usarse para formar dos caras opuestas de un antiprisma de cuatro dimensiones .
Una esfera media de un poliedro convexo tridimensional se define como una esfera que es tangente a cada borde del poliedro. Es decir, cada borde debe tocarlo, en un punto interior del borde, sin cruzarlo. De manera equivalente, es una esfera que contiene el círculo inscrito de cada cara del poliedro. [2] Cuando existe una media esfera, es única. No todos los poliedros convexos tienen una media esfera; Para tener una media esfera, cada cara debe tener un círculo inscrito (es decir, debe ser un polígono tangencial ), y todos estos círculos inscritos deben pertenecer a una sola esfera. Por ejemplo, un cuboide rectangular tiene mediaesfera sólo cuando es un cubo, porque de lo contrario tiene como caras rectángulos no cuadrados, y estos no tienen círculos inscritos. [3]
Para un cubo unitario centrado en el origen del sistema de coordenadas cartesiano , con vértices en los ocho puntos , los puntos medios de las aristas están a distancia del origen. Por lo tanto, para este cubo, la media esfera está centrada en el origen, con radio . Éste es mayor que el radio de la esfera inscrita , y menor que el radio de la esfera circunscrita . De manera más general, para cualquier sólido platónico de longitud de arista , el radio medio es [4]
Los poliedros uniformes , incluidos los poliedros regulares , cuasiregulares y semirregulares y sus duales , tienen esferas medias. En los poliedros regulares, la esfera inscrita, la esfera media y la esfera circunscrita existen y son concéntricas , [5] y la esfera media toca cada borde en su punto medio. [6]
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No todos los tetraedros irregulares tienen una media esfera. Los tetraedros que tienen una media esfera han sido llamados "tetraedros de Crelle"; Forman una subfamilia de cuatro dimensiones del espacio de seis dimensiones de todos los tetraedros (según lo parametrizado por las longitudes de sus seis aristas). Más precisamente, los tetraedros de Crelle son exactamente los tetraedros formados por los centros de cuatro esferas que son todas externamente tangentes entre sí. En este caso, las seis longitudes de aristas del tetraedro son las sumas por pares de los cuatro radios de estas esferas. [7] La esfera media de tal tetraedro toca sus bordes en los puntos donde dos de las cuatro esferas generadoras son tangentes entre sí, y es perpendicular a las cuatro esferas generadoras. [8]
Si O es la esfera media de un poliedro convexo P , entonces la intersección de O con cualquier cara de P es un círculo que se encuentra dentro de la cara y es tangente a sus bordes en los mismos puntos donde la esfera media es tangente. Por lo tanto, cada cara de P tiene un círculo inscrito, y estos círculos son tangentes entre sí exactamente cuando las caras en las que se encuentran comparten una arista. (Sin embargo, no todos los sistemas de círculos con estas propiedades provienen de esferas medias). [1]
Dualmente, si v es un vértice de P , entonces hay un cono que tiene su vértice en v y que es tangente a O en un círculo; este círculo forma el límite de un casquete esférico dentro del cual la superficie de la esfera es visible desde el vértice. Es decir, el círculo es el horizonte de la media esfera, visto desde el vértice. Los círculos así formados son tangentes entre sí exactamente cuando los vértices a los que corresponden están conectados por una arista. [9]
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Si un poliedro P tiene una media esfera O , entonces el poliedro polar con respecto a O también tiene O como media esfera. Los planos de las caras del poliedro polar pasan por los círculos de O que son tangentes a los conos que tienen los vértices de P como vértices. [2] Los bordes del poliedro polar tienen los mismos puntos de tangencia con la media esfera, en los que son perpendiculares a los bordes de P. [10]
Para un poliedro con mediaesfera, es posible asignar un número real a cada vértice (la potencia del vértice con respecto a la mediaesfera) que sea igual a la distancia desde ese vértice hasta el punto de tangencia de cada arista que lo toca. Para cada arista, la suma de los dos números asignados a sus puntos finales es simplemente la longitud de la arista. Por ejemplo, los tetraedros de Crelle pueden parametrizarse mediante los cuatro números asignados de esta manera a sus cuatro vértices, lo que demuestra que forman una familia de cuatro dimensiones. [11]
Por ejemplo, los cuatro puntos (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) forman uno de los tetraedros de Crelle, con tres triángulos rectángulos isósceles. y un triángulo equilátero por cara. Estos cuatro puntos son los centros de cuatro esferas tangentes por pares, con radios para los tres puntos distintos de cero en el triángulo equilátero y para el origen. Estos cuatro números (tres iguales y uno más pequeño) son los cuatro números que parametrizan este tetraedro. Tres de los bordes del tetraedro conectan dos puntos y ambos tienen el radio mayor; la longitud de estos bordes es la suma de estos radios iguales, . Las otras tres aristas conectan dos puntos con radios diferentes que suman uno.
Cuando un poliedro con mediaesfera tiene un ciclo hamiltoniano , la suma de las longitudes de las aristas en el ciclo se puede subdividir de la misma forma en el doble de la suma de las potencias de los vértices. Debido a que esta suma de potencias de los vértices no depende de la elección de las aristas en el ciclo, todos los ciclos hamiltonianos tienen longitudes iguales. [12]
Una forma más fuerte del teorema de empaquetamiento de círculos , al representar gráficos planos mediante sistemas de círculos tangentes, establece que cada gráfico poliédrico puede representarse mediante los vértices y aristas de un poliedro con una esfera media. De manera equivalente, cualquier poliedro convexo se puede transformar en una forma combinatoriamente equivalente, con sus correspondientes vértices, aristas y caras, que tenga una media esfera. Los círculos del horizonte del poliedro resultante se pueden transformar, mediante proyección estereográfica , en un círculo empaquetado en el plano euclidiano cuya gráfica de intersección es la gráfica dada: sus círculos no se cruzan y son tangentes entre sí exactamente cuando los vértices corresponden. son adyacentes. [13] Aunque cada poliedro tiene una forma combinatoria equivalente con una esfera media, algunos poliedros no tienen ninguna forma equivalente con una esfera inscrita o con una esfera circunscrita. [14]
Dos poliedros convexos cualesquiera con la misma red de caras y la misma esfera media pueden transformarse entre sí mediante una transformación proyectiva del espacio tridimensional que deja la esfera media en la misma posición. Esta transformación deja la esfera en su lugar, pero mueve puntos dentro de la esfera según una transformación de Möbius . [15] Cualquier poliedro con una media esfera, escalada de modo que la media esfera sea la esfera unitaria, puede transformarse de esta manera en un poliedro para el cual el centroide de los puntos de tangencia está en el centro de la esfera. El resultado de esta transformación es una forma equivalente del poliedro dado, llamado poliedro canónico , con la propiedad de que todos los poliedros combinatoriamente equivalentes producirán los mismos poliedros canónicos entre sí, hasta la congruencia . [16] Una opción diferente de transformación convierte cualquier poliedro con una esfera media en uno que maximiza la distancia mínima de un vértice desde la esfera media. Se puede encontrar en tiempo lineal , y el poliedro canónico definido de esta forma alternativa tiene simetría máxima entre todas las formas combinatoriamente equivalentes del mismo poliedro. [17] Para poliedros con un grupo no cíclico de simetrías que preservan la orientación, las dos opciones de transformación coinciden. [18] Por ejemplo, el poliedro canónico de un cuboide , definido de cualquiera de estas dos formas, es un cubo, con la distancia desde su centroide hasta los puntos medios de sus aristas igual a uno y la longitud de su arista igual a . [19]
Se puede construir una aproximación numérica al poliedro canónico para un gráfico poliédrico dado representando el gráfico y su gráfico dual como empaquetamientos circulares perpendiculares en el plano euclidiano, [20] aplicando una proyección estereográfica para transformarlo en un par de empaquetamientos circulares en un esfera, buscando numéricamente una transformación de Möbius que lleve el centroide de los puntos de cruce al centro de la esfera, y colocando los vértices del poliedro en puntos del espacio que tengan como horizontes los círculos duales del embalaje transformado. Sin embargo, las coordenadas y los radios de los círculos en el paso de empaquetamiento de círculos pueden ser números no construibles que no tienen una expresión exacta en forma cerrada usando operaciones aritméticas y de raíz n -ésima. [21]
Alternativamente, un método numérico más simple para construir el poliedro canónico propuesto por George W. Hart trabaja directamente con las coordenadas de los vértices del poliedro, ajustando sus posiciones en un intento de hacer que los bordes tengan la misma distancia del origen, para hacer que los puntos de mínimo distancia desde el origen tienen el origen como su centroide, y para hacer que las caras del poliedro permanezcan planas. A diferencia del método de empaquetamiento de círculos, no se ha demostrado que este converja al poliedro canónico, y ni siquiera se garantiza que produzca un poliedro combinatoriamente equivalente al dado, pero parece funcionar bien en ejemplos pequeños. [19]
El poliedro canónico y su dual polar se pueden utilizar para construir un análogo tetradimensional de un antiprisma , una de cuyas dos caras opuestas es combinatoriamente equivalente a cualquier poliedro tridimensional dado. Se desconoce si todo poliedro tridimensional puede utilizarse directamente como cara de un antiprisma de cuatro dimensiones, sin sustituirlo por su poliedro canónico, pero no siempre es posible hacerlo utilizando al mismo tiempo un poliedro tridimensional arbitrario y su dual polar. [1]
La media esfera en la construcción del poliedro canónico puede ser reemplazada por cualquier cuerpo liso y convexo . Dado tal cuerpo, todo poliedro tiene una realización combinatoriamente equivalente cuyas aristas son tangentes a este cuerpo. Esto se ha descrito como "enjaular un huevo": el cuerpo liso es el huevo y la realización poliédrica es su jaula. [22] Además, fijar tres bordes de la jaula para que tengan tres puntos específicos de tangencia en el huevo hace que esta realización se vuelva única. [23]
