Elementos máximos y mínimos.

Elemento que no es ≤ (o ≥) ningún otro elemento

Diagrama de Hasse del conjunto P de divisores de 60, parcialmente ordenados por la relación " x divide y ". El subconjunto rojo = {1,2,3,4} tiene dos elementos máximos, a saber. 3 y 4, y un elemento mínimo, a saber. 1, que también es su elemento mínimo. ${\displaystyle S}$

En matemáticas , especialmente en teoría del orden , un elemento máximo de un subconjunto de algún conjunto preordenado es un elemento de que no es más pequeño que cualquier otro elemento de . Un elemento mínimo de un subconjunto de algún conjunto preordenado se define dualmente como un elemento que no es mayor que cualquier otro elemento en . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Las nociones de elemento máximo y mínimo son más débiles que las de elemento mayor y elemento mínimo , que también se conocen, respectivamente, como máximo y mínimo. El máximo de un subconjunto de un conjunto preordenado es un elemento del cual es mayor o igual que cualquier otro elemento de y el mínimo de se define nuevamente de manera dual. En el caso particular de un conjunto parcialmente ordenado , si bien puede haber como máximo un máximo y como máximo un mínimo, puede haber múltiples elementos máximos o mínimos. ^{[1] [2]} Especializándose más en conjuntos totalmente ordenados , las nociones de elemento máximo y máximo coinciden, y las nociones de elemento mínimo y mínimo coinciden. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$

Por ejemplo, en la colección

$${\displaystyle S:=\left\{\{d,o\},\{d,o,g\},\{g,o,a,d\},\{o,a,f\}\right\}}$$

contencióndogoaddogoaf ${\displaystyle S.}$

El lema de Zorn establece que todo conjunto parcialmente ordenado para el cual cada subconjunto totalmente ordenado tiene un límite superior contiene al menos un elemento máximo. Este lema es equivalente al teorema del bien ordenamiento y al axioma de elección ^[3] e implica resultados importantes en otras áreas matemáticas como el teorema de Hahn-Banach , el teorema de Kirszbraun , el teorema de Tychonoff , la existencia de una base de Hamel para todo espacio vectorial y la existencia de una clausura algebraica para cada campo .

Definición

Sea un conjunto preordenado y sea un elemento máximo de con respecto a es un elemento tal que ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle S\subseteq P.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle m\in S}$

si satisface entonces necesariamente ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle m\leq s,}$ ${\displaystyle s\leq m.}$

De manera similar, unelemento mínimo decon respecto a ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$es un elementotal que ${\displaystyle m\in S}$

si satisface entonces necesariamente ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle s\leq m,}$ ${\displaystyle m\leq s.}$

De manera equivalente, es un elemento mínimo de con respecto a si y solo si es un elemento máximo de con respecto a dónde por definición, si y solo si (para todos ). ${\displaystyle m\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \,\geq ,\,}$ ${\displaystyle q\geq p}$ ${\displaystyle p\leq q}$ ${\displaystyle p,q\in P}$

Si no se especifica el subconjunto, se debe asumir que explícitamente, un ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S:=P.}$elemento máximo (respectivamente,elemento mínimo)de ${\displaystyle (P,\leq )}$es un elemento máximo (resp. mínimo) decon respecto a ${\displaystyle S:=P}$ ${\displaystyle \,\leq .}$

Si el conjunto preordenado también resulta ser un conjunto parcialmente ordenado (o más generalmente, si la restricción es un conjunto parcialmente ordenado), entonces es un elemento máximo de si y sólo si no contiene ningún elemento estrictamente mayor que explícitamente, esto significa que no existe cualquier elemento tal que y La caracterización de elementos mínimos se obtiene utilizando en lugar de ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle (S,\leq )}$ ${\displaystyle m\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m;}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle m\leq s}$ ${\displaystyle m\neq s.}$ ${\displaystyle \,\geq \,}$ ${\displaystyle \,\leq .}$

Existencia y unicidad

Una valla consta únicamente de elementos mínimos y máximos (Ejemplo 3).

No es necesario que existan elementos máximos.

• Ejemplo 1: Sea donde denota los números reales . Para todos menos (es decir, pero no ). ${\displaystyle S=[1,\infty )\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle m\in S,}$ ${\displaystyle s=m+1\in S}$ ${\displaystyle m<s}$ ${\displaystyle m\leq s}$ ${\displaystyle m=s}$
• Ejemplo 2: Sea donde denota los números racionales y donde es irracional. ${\displaystyle S=\{s\in \mathbb {Q} ~:~1\leq s^{2}\leq 2\},}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

En general es sólo un orden parcial en If es un elemento maximal y entonces sigue siendo posible que ni ni. Esto deja abierta la posibilidad de que exista más de un elemento maximal. ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle s\leq m}$ ${\displaystyle m\leq s.}$

• Ejemplo 3: En la valla todos son mínimos y todos son máximos, como se muestra en la imagen. ${\displaystyle a_{1}<b_{1}>a_{2}<b_{2}>a_{3}<b_{3}>\ldots ,}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$
• Ejemplo 4: Sea A un conjunto con al menos dos elementos y sea el subconjunto del conjunto potencia que consta de subconjuntos singleton , parcialmente ordenados por Este es el poset discreto donde no hay dos elementos comparables y, por lo tanto, cada elemento es máximo (y mínimo). ); Además, para cualquier distinto ni ni ${\displaystyle S=\{\{a\}~:~a\in A\}}$ ${\displaystyle \wp (A)}$ ${\displaystyle \,\subseteq .}$ ${\displaystyle \{a\}\in S}$ ${\displaystyle a,b\in A,}$ ${\displaystyle \{a\}\subseteq \{b\}}$ ${\displaystyle \{b\}\subseteq \{a\}.}$

Elementos más grandes

Para un conjunto parcialmente ordenado, el núcleo irreflexivo de se denota como y se define por if y Para miembros arbitrarios se aplica exactamente uno de los siguientes casos: ${\displaystyle (P,\leq ),}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x\neq y.}$ ${\displaystyle x,y\in P,}$

1. ${\displaystyle x<y}$;
2. ${\displaystyle x=y}$;
3. ${\displaystyle y<x}$;
4. ${\displaystyle x}$y son incomparables. ${\displaystyle y}$

Dado un subconjunto y algunos ${\displaystyle S\subseteq P}$ ${\displaystyle x\in S,}$

• si el caso 1 nunca se aplica a ninguno, entonces es un elemento máximo de como se define anteriormente; ${\displaystyle y\in S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$
• Si los casos 1 y 4 nunca se aplican a ninguno, entonces se llama elemento mayor de ${\displaystyle y\in S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$

Por tanto, la definición de elemento mayor es más fuerte que la de elemento máximo.

De manera equivalente, un elemento mayor de un subconjunto se puede definir como un elemento de que es mayor que cualquier otro elemento de Un subconjunto puede tener como máximo un elemento mayor. ^{[prueba 1]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

El mayor elemento de si existe, es también un elemento máximo de ^{[prueba 2]} y el único. ^{[prueba 3]} Por contraposición , si tiene varios elementos máximos, no puede tener un elemento mayor; vea el ejemplo 3. Si satisface la condición de la cadena ascendente , un subconjunto de tiene un elemento mayor si, y solo si , tiene un elemento máximo. ^{[prueba 4]} ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$

Cuando la restricción de to es un orden total ( en la imagen superior hay un ejemplo), entonces las nociones de elemento máximo y elemento mayor coinciden. ^{[prueba 5]} Esta no es una condición necesaria: siempre que tiene un elemento mayor, las nociones también coinciden, como se indicó anteriormente. Si las nociones de elemento máximo y elemento mayor coinciden en cada subconjunto de dos elementos de entonces hay un orden total en ^{[prueba 6]} ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\{1,2,4\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P.}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle P.}$

Conjuntos dirigidos

En un conjunto totalmente ordenado , los términos elemento máximo y elemento mayor coinciden, razón por la cual ambos términos se usan indistintamente en campos como el análisis donde solo se consideran los órdenes totales. Esta observación se aplica no sólo a subconjuntos totalmente ordenados de cualquier conjunto parcialmente ordenado, sino también a su generalización teórica del orden a través de conjuntos dirigidos . En un conjunto dirigido, cada par de elementos (particularmente pares de elementos incomparables) tiene un límite superior común dentro del conjunto. Si un conjunto dirigido tiene un elemento máximo, también es su elemento mayor ^{[prueba 7]} y, por tanto, su único elemento máximo. Para un conjunto dirigido sin elementos máximos o mayores, consulte los ejemplos 1 y 2 anteriores.

Conclusiones similares son válidas para elementos mínimos.

Se encuentra más información introductoria en el artículo sobre teoría del orden .

Propiedades

• Cada subconjunto finito no vacío tiene elementos máximos y mínimos. Un subconjunto infinito no necesita tener ninguno de ellos, por ejemplo, los números enteros con el orden habitual. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• El conjunto de elementos máximos de un subconjunto es siempre una anticadena , es decir, no hay dos elementos máximos diferentes que sean comparables. Lo mismo se aplica a los elementos mínimos. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Ejemplos

• En la eficiencia de Pareto , un óptimo de Pareto es un elemento máximo con respecto al orden parcial de mejora de Pareto, y el conjunto de elementos máximos se denomina frontera de Pareto.
• En la teoría de la decisión , una regla de decisión admisible es un elemento máximo con respecto al orden parcial de la regla de decisión dominante .
• En la teoría moderna de carteras , el conjunto de elementos máximos con respecto al orden del producto en cuanto a riesgo y rendimiento se denomina frontera eficiente .
• En la teoría de conjuntos , un conjunto es finito si y sólo si cada familia de subconjuntos no vacía tiene un elemento mínimo cuando está ordenado por la relación de inclusión .
• En álgebra abstracta , el concepto de divisor común máximo es necesario para generalizar los máximos divisores comunes a sistemas numéricos en los que los divisores comunes de un conjunto de elementos pueden tener más de un elemento máximo.
• En geometría computacional , los máximos de un conjunto de puntos son máximos con respecto al orden parcial de dominación coordinada.

Teoría del consumidor

En economía, se puede relajar el axioma de la antisimetría, utilizando pedidos anticipados (generalmente pedidos anticipados totales ) en lugar de pedidos parciales; La noción análoga a elemento máximo es muy similar, pero se utiliza una terminología diferente, como se detalla a continuación.

En la teoría del consumidor, el espacio de consumo es un conjunto , generalmente el ortante positivo de algún espacio vectorial, de modo que cada uno representa una cantidad de consumo especificada para cada bien existente en la economía. Las preferencias de un consumidor suelen estar representadas por un pedido anticipado total de modo que y diga: es como máximo tan preferido como . Cuando y se interpreta que el consumidor es indiferente entre y pero no es razón para concluir que nunca se supone que las relaciones de preferencia sean antisimétricas. En este contexto, para cualquier elemento se dice que es un elemento máximo si ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle x\preceq y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\preceq y}$ ${\displaystyle y\preceq x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x=y.}$ ${\displaystyle B\subseteq X,}$ ${\displaystyle x\in B}$

$${\displaystyle y\in B}$$

${\displaystyle y\preceq x}$ ${\displaystyle x\prec y,}$ ${\displaystyle x\preceq y}$ ${\displaystyle y\preceq x.}$

Cabe señalar que la definición formal se parece mucho a la de elemento mayor para un conjunto ordenado. Sin embargo, cuando es solo un pedido anticipado, un elemento con la propiedad anterior se comporta de manera muy parecida a un elemento máximo en un pedido. Por ejemplo, un elemento maximal no es único porque no excluye la posibilidad de que (mientras y no implican sino simplemente indiferencia ). La noción de mayor elemento para un pedido anticipado de preferencia sería la de opción más preferida . Es decir, algunos con ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in B}$ ${\displaystyle y\preceq x}$ ${\displaystyle x\preceq y}$ ${\displaystyle y\preceq x}$ ${\displaystyle x\preceq y}$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle x\in B}$

$${\displaystyle y\in B}$$

${\displaystyle y\prec x.}$

Una aplicación obvia es la definición de correspondencia de demanda. Sea la clase de funcionales en . Un elemento se denomina funcional de precios o sistema de precios y asigna cada paquete de consumo a su valor de mercado . La correspondencia presupuestaria es una correspondencia que mapea cualquier sistema de precios y cualquier nivel de ingreso en un subconjunto. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in P}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p(x)\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \Gamma \colon P\times \mathbb {R} _{+}\rightarrow X}$

$${\displaystyle \Gamma (p,m)=\{x\in X~:~p(x)\leq m\}.}$$

La correspondencia de demanda asigna cualquier precio y cualquier nivel de ingreso al conjunto de elementos máximos de . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle \Gamma (p,m)}$

$${\displaystyle D(p,m)=\left\{x\in X~:~x{\text{ is a maximal element of }}\Gamma (p,m)\right\}.}$$

Se llama correspondencia de demanda porque la teoría predice que, dado y dado, la elección racional de un consumidor será algún elemento ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle x^{*}\in D(p,m).}$

Nociones relacionadas

Se dice que un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado es cofinal si para cada existe algo tal que Cada subconjunto cofinal de un conjunto parcialmente ordenado con elementos máximos debe contener todos los elementos máximos. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x\in P}$ ${\displaystyle y\in Q}$ ${\displaystyle x\leq y.}$

Un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado se dice que es un conjunto inferior de si está cerrado hacia abajo: si y entonces Cada conjunto inferior de un conjunto finito ordenado es igual al conjunto inferior más pequeño que contiene todos los elementos máximos de ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle y\in L}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x\in L.}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L.}$

Ver también

• Elemento mayor y elemento menor  : elemento ≥ (o ≤) entre sí
• Infimum y supremum  : límite inferior máximo y límite superior mínimo
• Límites superior e inferior  : mayor y menor en matemáticas

Notas

Pruebas

1. Si y son ambos mayores, entonces y y por tanto por antisimetría . ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle g_{1}\leq g_{2}}$ ${\displaystyle g_{2}\leq g_{1},}$ ${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
2. Si es el mayor elemento de y entonces Por antisimetría , esto hace ( y ) imposible. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle s\leq g.}$ ${\displaystyle g\leq s}$ ${\displaystyle g\neq s}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
3. Si es un elemento máximo entonces (porque es mayor) y por tanto desde es máximo. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m\leq g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle m=g}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
4. Sólo si : ver arriba. - Si : Supongamos que la contradicción tiene solo un elemento máximo, pero ningún elemento mayor. Dado que no es mayor, debe existir algo que sea incomparable a Por lo tanto , no puede ser máximo, es decir, debe ser válido para algunos Este último debe ser incomparable también, ya que contradice la maximalidad de y al mismo tiempo contradice la incomparabilidad de y Repitiendo este argumento, un infinito ascendente Se puede encontrar una cadena (de modo que cada una sea incomparable y no máxima). Esto contradice la condición de la cadena ascendente. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s_{1}\in S}$ ${\displaystyle m.}$ ${\displaystyle s_{1}\in S}$ ${\displaystyle s_{1}<s_{2}}$ ${\displaystyle s_{2}\in S.}$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle m<s_{2}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s_{2}\leq m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s_{1}.}$ ${\displaystyle s_{1}<s_{2}<\ldots <s_{n}<\cdots }$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
5. Sea un elemento máximo, para cualquier o En el segundo caso, la definición de elemento máximo requiere eso, por lo que se deduce que En otras palabras, es un elemento mayor. ${\displaystyle m\in S}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle s\leq m}$ ${\displaystyle m\leq s.}$ ${\displaystyle s=m,}$ ${\displaystyle s\leq m.}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
6. Si fueran incomparables, entonces tendrían dos elementos máximos, pero ningún elemento mayor, que contradijeran la coincidencia. ${\displaystyle a,b\in P}$ ${\displaystyle S=\{a,b\}}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
7. Sea máximo. Seamos arbitrarios. Entonces el límite superior común de y satisface , por tanto, por maximalidad. Como se cumple por definición de , tenemos . De ahí el mayor elemento. ${\displaystyle m\in D}$ ${\displaystyle x\in D}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u\geq m}$ ${\displaystyle u=m}$ ${\displaystyle x\leq u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x\leq m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Referencias

• Portal de matemáticas

1. Richmond, Bettina ; Richmond, Thomas (2009), Una transición discreta a las matemáticas avanzadas, Sociedad Matemática Estadounidense, pág. 181, ISBN 978-0-8218-4789-3.
2. Scott, William Raymond (1987), Teoría de grupos (2ª ed.), Dover, pág. 22, ISBN 978-0-486-65377-8
3. Jech, Thomas (2008) [publicado originalmente en 1973]. El axioma de elección . Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-46624-8.