Teorema de Kirszbraun

Teorema matemático relacionado con el análisis real y funcional

En matemáticas , específicamente en análisis real y análisis funcional , el teorema de Kirszbraun establece que si U es un subconjunto de algún espacio de Hilbert H ₁ , y H ₂ es otro espacio de Hilbert, y

${\displaystyle f:U\rightarrow H_{2}}$

es una función Lipschitz-continua , entonces hay una función Lipschitz-continua

${\displaystyle F:H_{1}\rightarrow H_{2}}$

que extiende f y tiene la misma constante de Lipschitz que f .

Obsérvese que este resultado se aplica en particular a los espacios euclidianos E ⁿ y E ^m , y fue en esta forma que Kirszbraun formuló y demostró originalmente el teorema. ^[1] La versión para los espacios de Hilbert se puede encontrar, por ejemplo, en (Schwartz 1969, p. 21). ^[2] Si H ₁ es un espacio separable (en particular, si es un espacio euclidiano), el resultado es verdadero en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ; para el caso completamente general, parece necesitar alguna forma del axioma de elección; se sabe que el teorema del ideal primo de Boole es suficiente. ^[3]

La demostración del teorema utiliza características geométricas de los espacios de Hilbert; la afirmación correspondiente para los espacios de Banach no es cierta en general, ni siquiera para espacios de Banach de dimensión finita. Por ejemplo, es posible construir contraejemplos donde el dominio es un subconjunto de con la norma máxima y lleva la norma euclidiana. ^[4] De manera más general, el teorema falla para equipados con cualquier norma ( ) (Schwartz 1969, p. 20). ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \ell _{p}}$ ${\displaystyle p\neq 2}$

Fórmulas explícitas

Para una función con valor - la extensión la proporciona donde es la constante de Lipschitz de en U . ^[5] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\tilde {f}}(x):=\inf _{u\in U}{\big (}f(u)+{\text{Lip}}(f)\cdot d(x,u){\big )},}$ ${\displaystyle {\text{Lip}}(f)}$ ${\displaystyle f}$

En general, una extensión también se puede escribir para funciones con valores como donde y conv( g ) es la envolvente convexa inferior de g . ^[6] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}(x):=\nabla _{y}({\textrm {conv}}(g(x,y))(x,0)}$ ${\displaystyle g(x,y):=\inf _{u\in U}\left\{\langle f(u),y\rangle +{\frac {{\text{Lip}}(f)}{2}}\|x-u\|^{2}\right\}+{\frac {{\text{Lip}}(f)}{2}}\|x\|^{2}+{\text{Lip}}(f)\|y\|^{2}}$

Historia

El teorema fue demostrado por Mojżesz David Kirszbraun , y más tarde fue reprobado por Frederick Valentine, ^[7] quien fue el primero en demostrarlo para el plano euclidiano. ^[8] A veces este teorema también se denomina teorema de Kirszbraun-Valentine .

Referencias

1. Kirszbraun, médico (1934). "Über die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen". Fundamentos Mathematicae . 22 : 77-108. doi : 10.4064/fm-22-1-77-108 .
2. Schwartz, JT (1969). Análisis funcional no lineal . Nueva York: Gordon and Breach Science.
3. Fremlin, DH (2011). "Teorema de Kirszbraun" (PDF) . Preimpresión .
4. Federer, H. (1969). Teoría de la medida geométrica . Berlín: Springer. pág. 202.
5. McShane, EJ (1934). "Extensión del rango de funciones". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 40 (12): 837–842. doi : 10.1090/S0002-9904-1934-05978-0 . ISSN  0002-9904.
6. Azagra, Daniel; Le Gruyer, Erwan; Mudarra, Carlos (2021). "Teorema de Kirszbraun mediante una fórmula explícita". Boletín de Matemáticas Canadiense . 64 (1): 142-153. arXiv : 1810.10288 . doi : 10.4153/S0008439520000314 . ISSN  0008-4395.
7. Valentine, FA (1945). "Una condición de Lipschitz que preserva la extensión para una función vectorial". American Journal of Mathematics . 67 (1): 83–93. doi :10.2307/2371917. JSTOR  2371917.
8. Valentine, FA (1943). "Sobre la extensión de una función vectorial de modo que se preserve una condición de Lipschitz". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 49 (2): 100–108. doi : 10.1090/s0002-9904-1943-07859-7 . MR  0008251.

Enlaces externos

• Teorema de Kirszbraun en la Enciclopedia de Matemáticas .