↔⇔≡⟺
Símbolos lógicos que representan si y solo si
En lógica y campos relacionados como las matemáticas y la filosofía , " si y solo si " (a menudo abreviado como " si y solo si ") se parafrasea con el bicondicional , un conectivo lógico [1] entre enunciados. El bicondicional es verdadero en dos casos, donde ambos enunciados son verdaderos o ambos son falsos. El conectivo es bicondicional (un enunciado de equivalencia material ), [2] y puede compararse con el condicional material estándar ("solo si", igual a "si ... entonces") combinado con su inverso ("si"); de ahí el nombre. El resultado es que la verdad de cualquiera de los enunciados conectados requiere la verdad del otro (es decir, ambos enunciados son verdaderos o ambos son falsos), aunque es controvertido si el conectivo así definido se traduce correctamente por el inglés "si y solo si", con su significado preexistente. Por ejemplo, P si y solo si Q significa que P es verdadero siempre que Q sea verdadero, y el único caso en el que P es verdadero es si Q también es verdadero, mientras que en el caso de P si Q , podría haber otros escenarios donde P sea verdadero y Q sea falso.
En la escritura, las frases comúnmente usadas como alternativas a P "si y solo si" Q incluyen: Q es necesario y suficiente para P , para P es necesario y suficiente que Q , P es equivalente (o materialmente equivalente) a Q (comparar con implicación material ), P precisamente si Q , P precisamente (o exactamente) cuando Q , P exactamente en el caso Q , y P solo en el caso Q . [3] Algunos autores consideran que "si y solo si" no es adecuado en la escritura formal; [4] otros lo consideran un "caso límite" y toleran su uso. [5] En fórmulas lógicas , se usan símbolos lógicos, como y , [6] en lugar de estas frases; vea § Notación a continuación.
La tabla de verdad de P Q es la siguiente: [7] [8]
Es equivalente al producido por la puerta XNOR , y opuesto al producido por la puerta XOR . [9]
Los símbolos lógicos correspondientes son " ", " ", [6] y , [10] y, a veces, "iff". Estos suelen tratarse como equivalentes. Sin embargo, algunos textos de lógica matemática (en particular los de lógica de primer orden , en lugar de lógica proposicional ) hacen una distinción entre estos, en la que el primero, ↔, se utiliza como símbolo en fórmulas lógicas, mientras que ⇔ se utiliza en el razonamiento sobre esas fórmulas lógicas (por ejemplo, en metalógica ). En la notación polaca de Łukasiewicz , es el símbolo de prefijo . [11]
Otro término para el conectivo lógico , es decir, el símbolo en las fórmulas lógicas, es ni exclusivo .
En TeX , "si y sólo si" se muestra como una flecha doble larga: mediante el comando \iff o \Longleftrightarrow. [12]
En la mayoría de los sistemas lógicos , se prueba un enunciado de la forma "P si y solo si Q" probando "si P, entonces Q" y "si Q, entonces P", o "si P, entonces Q" y "si no-P, entonces no-Q". Probar estos pares de enunciados a veces conduce a una prueba más natural, ya que no hay condiciones obvias en las que uno inferiría un bicondicional directamente. Una alternativa es probar la disyunción "(P y Q) o (no-P y no-Q)", que a su vez puede inferirse directamente de cualquiera de sus disyunciones; es decir, como "si y solo si" es veritativo-funcional , "P si y solo si Q" se sigue si se ha demostrado que P y Q son ambas verdaderas o ambas falsas.
El uso de la abreviatura "iff" apareció por primera vez impresa en el libro Topología general de John L. Kelley de 1955. [13] Su invención se atribuye a menudo a Paul Halmos , quien escribió: "Inventé 'iff', para 'si y solo si', pero nunca pude creer que realmente fui su primer inventor". [14]
No está muy claro cómo se debe pronunciar "iff". En la práctica actual, la única "palabra" "iff" casi siempre se lee como las cuatro palabras "if and only if". Sin embargo, en el prefacio de General Topology , Kelley sugiere que debería leerse de manera diferente: "En algunos casos en los que el contenido matemático requiere 'if and only if' y la eufonía exige algo menos, uso 'iff' de Halmos". Los autores de un libro de texto de matemáticas discretas sugieren: [15] "Si necesita pronunciar iff, realmente quédese con la 'ff' para que la gente escuche la diferencia con 'if'", lo que implica que "iff" podría pronunciarse como [ɪfː] .
Convencionalmente, las definiciones son declaraciones "si y solo si"; algunos textos, como la Topología general de Kelley , siguen esta convención y usan "si y solo si" o iff en definiciones de términos nuevos. [16] Sin embargo, este uso de "si y solo si" es relativamente poco común y pasa por alto el hecho lingüístico de que el "si" de una definición se interpreta como que significa "si y solo si". La mayoría de los libros de texto, trabajos de investigación y artículos (incluidos los artículos de Wikipedia en inglés) siguen la convención lingüística de interpretar "si" como "si y solo si" siempre que se trate de una definición matemática (como en "un espacio topológico es compacto si cada cubierta abierta tiene una subcubierta finita"). [17] Además, en el caso de una definición recursiva , la única mitad si de la definición se interpreta como una oración en el metalenguaje que establece que las oraciones en la definición de un predicado son las únicas oraciones que determinan la extensión del predicado.
Los diagramas de Euler muestran relaciones lógicas entre eventos, propiedades, etc. "P solo si Q", "si P entonces Q" y "P→Q" significan que P es un subconjunto , propio o impropio, de Q. "P si Q", "si Q entonces P" y Q→P significan que Q es un subconjunto propio o impropio de P. "P si y solo si Q" y "Q si y solo si P" significan que los conjuntos P y Q son idénticos entre sí.
El término if también se utiliza fuera del ámbito de la lógica. Dondequiera que se aplique la lógica, especialmente en discusiones matemáticas , tiene el mismo significado que el anterior: es una abreviatura de if y only if (si y solo si) , que indica que una afirmación es necesaria y suficiente para la otra. Este es un ejemplo de jerga matemática (aunque, como se señaló anteriormente, if se utiliza con más frecuencia que iff en afirmaciones de definición).
Los elementos de X son todos y sólo los elementos de Y, lo que significa: "Para cualquier z en el dominio del discurso , z está en X si y sólo si z está en Y ".
En su libro Artificial Intelligence: A Modern Approach , Russell y Norvig señalan (página 282), [18] que, en efecto, a menudo es más natural expresar if y only if como if junto con una "semántica de base de datos (o de programación lógica)". Dan el ejemplo de la oración inglesa "Richard tiene dos hermanos, Geoffrey y John".
En una base de datos o un programa lógico , esto podría representarse simplemente mediante dos oraciones:
La semántica de bases de datos interpreta que la base de datos (o el programa) contiene todo y únicamente el conocimiento relevante para la resolución de problemas en un dominio determinado. Interpreta únicamente if como una expresión en el metalenguaje de que las oraciones de la base de datos representan el único conocimiento que debe considerarse al extraer conclusiones de la base de datos.
En la lógica de primer orden (FOL) con la semántica estándar, la misma oración en inglés debería representarse usando if y only if , con only if interpretado en el lenguaje objeto, en alguna forma como:
En comparación con la semántica estándar para FOL, la semántica de base de datos tiene una implementación más eficiente. En lugar de razonar con oraciones de la forma:
Utiliza oraciones de la forma:
razonar hacia adelante desde las condiciones hasta las conclusiones o hacia atrás desde las conclusiones hasta las condiciones .
La semántica de las bases de datos es análoga al principio jurídico expressio unius est exclusio alterius (la mención expresa de una cosa excluye todas las demás). Además, sustenta la aplicación de la programación lógica a la representación de textos jurídicos y al razonamiento jurídico. [19]
puede suponer un verdadero ahorro de tiempo, no lo recomendamos en escritos formales.
Es común en la escritura matemática.
Los teoremas que tienen la forma "P si y sólo Q" son muy apreciados en matemáticas. Proporcionan lo que se denomina condiciones "necesarias y suficientes", y brindan formas completamente equivalentes y, con suerte, interesantes de decir exactamente lo mismo.
