Singleton (matemáticas)

Conjunto con exactamente un elemento

En matemáticas , un singleton , también conocido como conjunto unitario ^[1] o conjunto de un punto , es un conjunto con exactamente un elemento . Por ejemplo, el conjunto es un singleton cuyo elemento único es . ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle 0}$

Propiedades

En el marco de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , el axioma de regularidad garantiza que ningún conjunto es un elemento en sí mismo. Esto implica que un singleton es necesariamente distinto del elemento que contiene, ^[1] por lo tanto 1 y {1} no son lo mismo, y el conjunto vacío es distinto del conjunto que contiene solo el conjunto vacío. Un conjunto como es un singleton ya que contiene un solo elemento (que en sí mismo es un conjunto, sin embargo, no un singleton). ${\displaystyle \{\{1,2,3\}\}}$

Un conjunto es singleton si y sólo si su cardinalidad es 1 . En la construcción teórica de conjuntos de von Neumann de los números naturales , el número 1 se define como el singleton ${\displaystyle \{0\}.}$

En la teoría axiomática de conjuntos , la existencia de singletons es una consecuencia del axioma de emparejamiento : para cualquier conjunto A , el axioma aplicado a A y A afirma la existencia del cual es el mismo que el singleton (ya que contiene A , y ningún otro conjunto, como elemento). ${\displaystyle \{A,A\},}$ ${\displaystyle \{A\}}$

Si A es cualquier conjunto y S es cualquier singleton, entonces existe precisamente una función de A a S , la función envía cada elemento de A al único elemento de S. Por tanto, cada singleton es un objeto terminal en la categoría de conjuntos .

Un singleton tiene la propiedad de que cada función desde él hasta cualquier conjunto arbitrario es inyectiva. El único conjunto no singleton con esta propiedad es el conjunto vacío .

Cada conjunto singleton es un ultra prefiltro . Si es un conjunto y entonces hacia arriba del cual está el conjunto es un ultrafiltro principal en ^[2] Además, todo ultrafiltro principal en es necesariamente de esta forma. ^[2] El lema de los ultrafiltros implica que existen ultrafiltros no principales en cada conjunto infinito (estos se denominan ultrafiltros libres ). Cada red valorada en un subconjunto singleton de es una ultranet en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{S\subseteq X:x\in S\},}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

La secuencia de números enteros de Bell cuenta el número de particiones de un conjunto ( OEIS : A000110 ); si se excluyen los singleton, los números son más pequeños ( OEIS : A000296 ).

En la teoría de categorías

Las estructuras construidas sobre singletons a menudo sirven como objetos terminales u objetos cero de varias categorías :

• La afirmación anterior muestra que los conjuntos singleton son precisamente los objetos terminales en la categoría Conjunto de conjuntos . Ningún otro conjunto es terminal.
• Cualquier singleton admite una estructura espacial topológica única (ambos subconjuntos están abiertos). Estos espacios topológicos únicos son objetos terminales en la categoría de espacios topológicos y funciones continuas . Ningún otro espacio es terminal en esa categoría.
• Cualquier singleton admite una estructura de grupo única (el elemento único sirve como elemento de identidad ). Estos grupos únicos son objetos cero en la categoría de grupos y homomorfismos de grupo . Ningún otro grupo es terminal en esa categoría.

Definición por funciones indicadoras.

Sea S una clase definida por una función indicadora

$${\displaystyle b:X\to \{0,1\}.}$$

Ssingleton ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle x\in X,}$

$${\displaystyle b(x)=(x=y).}$$

Definición en Principia Mathematica

La siguiente definición fue introducida por Whitehead y Russell ^[3]

${\displaystyle \iota }$' Df. ${\displaystyle x={\hat {y}}(y=x)}$

El símbolo ' denota el singleton y denota la clase de objetos idénticos a aka . Esto ocurre como una definición en la introducción, lo que, en algunos lugares, simplifica el argumento en el texto principal, donde aparece como la proposición 51.01 (p.357 ibid.). La proposición se utiliza posteriormente para definir el número cardinal 1 como ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle {\hat {y}}(y=x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{y:y=x\}}$

${\displaystyle 1={\hat {\alpha }}((\exists x)\alpha =\iota }$' Df. ${\displaystyle x)}$

Es decir, 1 es la clase de singletons. Esta es la definición 52.01 (p.363 ibid.)

Ver también

• Clase (teoría de conjuntos)  : colección de conjuntos en matemáticas que se pueden definir en función de una propiedad de sus miembros.
• Punto aislado  : punto de un subconjunto S alrededor del cual no hay otros puntos de S
• Cuantificación de unicidad  : propiedad lógica de ser el único objeto que satisface una condición
• Urelemento  – Concepto en teoría de conjuntos

Referencias

1. Stoll, Robert (1961). Conjuntos, Lógica y Teorías Axiomáticas . WH Freeman y compañía. págs. 5–6.
2. Dolecki y Mynard 2016, págs.
3. Whitehead, Alfred Norte; Bertrand Russell (1910). Principios Matemáticos . vol. I.p. 37.

• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Fundamentos de convergencia de la topología . Nueva Jersey: Compañía Mundial de Publicaciones Científicas. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917.