Función indicadora

Función matemática que caracteriza la pertenencia a conjuntos.

Un gráfico tridimensional de una función indicadora, mostrado sobre un dominio bidimensional cuadrado (conjunto X ): la porción "elevada" se superpone a aquellos puntos bidimensionales que son miembros del subconjunto "indicado" ( A ).

En matemáticas , una función indicadora o una función característica de un subconjunto de un conjunto es una función que asigna elementos del subconjunto a uno y todos los demás elementos a cero. Es decir, si A es un subconjunto de algún conjunto X , entonces , si y en caso contrario, donde es una notación común para la función indicadora. Otras notaciones comunes son y ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=1}$ ${\displaystyle x\in A,}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=0}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ ${\displaystyle I_{A},}$ ${\displaystyle \chi _{A}.}$

La función indicadora de A es el corchete de Iverson de la propiedad de pertenecer a A ; eso es,

$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=[x\in A].}$$

Por ejemplo, la función de Dirichlet es la función indicadora de los números racionales como subconjunto de los números reales .

Definición

La función indicadora de un subconjunto A de un conjunto X es una función

$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\colon X\to \{0,1\}}$$

definido como

1 A ( x ) := { 1 si x ∈ A , 0 si x ∉ A . {\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1~&{\text{ if }}~x\in A~,\\0~&{\text{ if }}~x\notin A~.\end{casos}}}

El corchete de Iverson proporciona la notación equivalente, o ⟦ x ∈ A ⟧ , que se utilizará en lugar de ${\displaystyle [x\in A]}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)\,.}$

La función a veces se denota I _A , χ _A , K _A o incluso simplemente A . ^{[a] [b]} ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$

Notación y terminología

La notación también se utiliza para denotar la función característica en el análisis convexo , que se define como si se utilizara el recíproco de la definición estándar de la función indicadora. ${\displaystyle \chi _{A}}$

Un concepto relacionado en estadística es el de variable ficticia . (Esto no debe confundirse con "variables ficticias", ya que ese término se usa generalmente en matemáticas, también llamado variable ligada ).

El término " función característica " tiene un significado no relacionado en la teoría de probabilidad clásica . Por esta razón, los probabilistas tradicionales utilizan el término función indicadora para la función definida aquí casi exclusivamente, mientras que los matemáticos de otros campos son más propensos a utilizar el término función característica ^[a] para describir la función que indica pertenencia a un conjunto.

En la lógica difusa y la lógica multivaluada moderna , los predicados son las funciones características de una distribución de probabilidad . Es decir, la estricta valoración verdadero/falso del predicado se reemplaza por una cantidad interpretada como el grado de verdad.

Propiedades básicas

El indicador o función característica de un subconjunto A de algún conjunto X asigna elementos de X al rango . ${\displaystyle \{0,1\}}$

Este mapeo es sobreyectivo solo cuando A es un subconjunto propio no vacío de X . Si entonces Por un argumento similar, si entonces ${\displaystyle A\equiv X,}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}=1.}$ ${\displaystyle A\equiv \emptyset }$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}=0.}$

Si y son dos subconjuntos de entonces ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {1} _{A\cap B}&=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\\\mathbf {1} _{A\cup B}&=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\end{aligned}}}$$

y la función indicadora del complemento de ie es: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{C}}$

$${\displaystyle \mathbf {1} _{A^{\complement }}=1-\mathbf {1} _{A}.}$$

De manera más general, supongamos que es una colección de subconjuntos de X. Para cualquier ${\displaystyle A_{1},\dotsc ,A_{n}}$ ${\displaystyle x\in X:}$

$${\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))}$$

es claramente un producto de 0 s y 1 s. Este producto tiene el valor 1 precisamente en aquellos que no pertenecen a ninguno de los conjuntos y es 0 en caso contrario. Eso es ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle A_{k}}$

$${\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.}$$

Ampliando el producto en el lado izquierdo,

$${\displaystyle \mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\emptyset \neq F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}}$$

donde está la cardinalidad de F . Ésta es una forma del principio de inclusión-exclusión . ${\displaystyle |F|}$

Como lo sugiere el ejemplo anterior, la función indicadora es un recurso de notación útil en combinatoria . La notación también se utiliza en otros lugares, por ejemplo en la teoría de la probabilidad : si X es un espacio de probabilidad con medida de probabilidad y A es un conjunto mensurable , entonces se convierte en una variable aleatoria cuyo valor esperado es igual a la probabilidad de A : ${\displaystyle \operatorname {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$

$${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {1} _{A})=\int _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\,d\operatorname {P} =\int _{A}d\operatorname {P} =\operatorname {P} (A).}$$

Esta identidad se utiliza en una prueba simple de la desigualdad de Markov .

En muchos casos, como en la teoría del orden , se puede definir la inversa de la función indicadora. Esto se denomina comúnmente función de Möbius generalizada , como generalización de la inversa de la función indicadora en la teoría elemental de números , la función de Möbius . (Consulte el párrafo siguiente sobre el uso de la inversa en la teoría de la recursividad clásica).

Media, varianza y covarianza.

Dado un espacio de probabilidad con la variable aleatoria indicadora se define por si no ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )=1}$ ${\displaystyle \omega \in A,}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )=0.}$

Significar

${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)}$ (también llamado "Puente Fundamental").

Diferencia

${\displaystyle \operatorname {Var} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)(1-\operatorname {P} (A))}$

Covarianza

${\displaystyle \operatorname {Cov} (\mathbf {1} _{A}(\omega ),\mathbf {1} _{B}(\omega ))=\operatorname {P} (A\cap B)-\operatorname {P} (A)\operatorname {P} (B)}$

Función característica en la teoría de la recursividad, función representativa de Gödel y Kleene

Kurt Gödel describió la función representativa en su artículo de 1934 "Sobre proposiciones indecidibles de sistemas matemáticos formales" (el "¬" indica inversión lógica, es decir, "NO"): ^{[1] : 42}

A cada clase o relación R corresponderá una función representativa si y si ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots x_{n})=0}$ ${\displaystyle R(x_{1},\ldots x_{n})}$ ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots x_{n})=1}$ ${\displaystyle \neg R(x_{1},\ldots x_{n}).}$

Kleene ofrece la misma definición en el contexto de las funciones recursivas primitivas como una función φ de un predicado P toma valores 0 si el predicado es verdadero y 1 si el predicado es falso. ^[2]

Por ejemplo, debido a que el producto de funciones características siempre que cualquiera de las funciones es igual a 0 , desempeña el papel de O lógico: SI O O... O ENTONCES su producto es 0 . Lo que al lector moderno le parece la inversión lógica de la función representativa, es decir, la función representativa es 0 cuando la función R es "verdadera" o satisfecha", juega un papel útil en la definición de Kleene de las funciones lógicas O, Y e IMPLY, ^{[ 2] : 228} los operadores mu acotados- ^{[2] : 228} e ilimitados ^{[2] : 279 y} siguientes y la función CASE. ^{[2] : 229} ${\displaystyle \phi _{1}*\phi _{2}*\cdots *\phi _{n}=0}$ ${\displaystyle \phi _{1}=0}$ ${\displaystyle \phi _{2}=0}$ ${\displaystyle \phi _{n}=0}$

Función característica en la teoría de conjuntos difusos

En matemáticas clásicas, las funciones características de conjuntos sólo toman valores 1 (miembros) o 0 (no miembros). En la teoría de conjuntos difusos , las funciones características se generalizan para tomar valor en el intervalo unitario real [0, 1] , o más generalmente, en alguna álgebra o estructura (generalmente se requiere que sea al menos un poset o celosía ). Estas funciones características generalizadas suelen denominarse funciones de membresía y los "conjuntos" correspondientes se denominan conjuntos difusos . Los conjuntos difusos modelan el cambio gradual en el grado de membresía que se observa en muchos predicados del mundo real como "alto", "cálido", etc.

Suavidad

En general, la función indicadora de un conjunto no es fluida; es continuo si y sólo si su soporte es un componente conexo . En la geometría algebraica de cuerpos finitos , sin embargo, cada variedad afín admite una función indicadora continua ( Zariski ). ^[3] Dado un conjunto finito de funciones, sea su lugar de fuga. Entonces, la función actúa como función indicadora de . Si entonces , de lo contrario, para algunos , tenemos , lo que implica que , por lo tanto . ${\displaystyle f_{\alpha }\in \mathbb {F} _{q}[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle V=\left\{x\in \mathbb {F} _{q}^{n}:f_{\alpha }(x)=0\right\}}$ ${\textstyle P(x)=\prod \left(1-f_{\alpha }(x)^{q-1}\right)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle P(x)=1}$ ${\displaystyle f_{\alpha }}$ ${\displaystyle f_{\alpha }(x)\neq 0}$ ${\displaystyle f_{\alpha }(x)^{q-1}=1}$ ${\displaystyle P(x)=0}$

Aunque las funciones indicadoras no son fluidas, admiten derivadas débiles . Por ejemplo, considere la función escalonada de Heaviside

$${\displaystyle H(x):=\mathbf {1} _{x>0}}$$

derivada distribucionalfunción delta de Dirac

$${\displaystyle {\frac {dH(x)}{dx}}=\delta (x)}$$

$${\displaystyle G(x):=\mathbf {1} _{x<0}}$$

$${\displaystyle {\frac {dG(x)}{dx}}=-\delta (x)}$$

Por tanto, la derivada de la función escalonada de Heaviside puede verse como la derivada normal hacia adentro en el límite del dominio dado por la media línea positiva. En dimensiones superiores, la derivada se generaliza naturalmente a la derivada normal interna, mientras que la función escalonada de Heaviside se generaliza naturalmente a la función indicadora de algún dominio D. La superficie de D se denotará por S. A continuación, se puede deducir que la derivada normal interna del indicador da lugar a una 'función delta de superficie', que puede indicarse mediante : ${\displaystyle \delta _{S}(\mathbf {x} )}$

$${\displaystyle \delta _{S}(\mathbf {x} )=-\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\mathbf {1} _{\mathbf {x} \in D}}$$

nnormalS.^[4]

$${\displaystyle -\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\mathbf {1} _{\mathbf {x} \in D}\;d^{n}\mathbf {x} =\oint _{S}\,f(\mathbf {\beta } )\;d^{n-1}\mathbf {\beta } .}$$

Al establecer la función f igual a uno, se deduce que la derivada normal interna del indicador se integra al valor numérico del área de superficie S.

Ver también

• medida de dirac
• Laplaciano del indicador
• delta de Dirac
• Extensión (lógica de predicados)
• Variables libres y variables ligadas
• Función de paso pesado
• Función de identidad
• soporte iverson
• Delta de Kronecker , una función que puede verse como un indicador de la relación de identidad
• brackets macaulay
• Conjunto múltiple
• Función de la membresía
• Función sencilla
• Variable ficticia (estadísticas)
• Clasificación estadística
• Función de pérdida cero uno

Notas

1. La letra griega χ aparece porque es la letra inicial de la palabra griega χαρακτήρ , que es el origen último de la palabra característica .
2. El conjunto de todas las funciones del indicador en X se puede identificar con el conjunto de potencia de X. En consecuencia, ambos conjuntos a veces se denotan por Este es un caso especial ( ) de la notación para el conjunto de todas las funciones. ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X),}$ ${\displaystyle 2^{X}.}$ ${\displaystyle Y=\{0,1\}=2}$ ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle f:X\to Y.}$

Referencias

1. Davis, Martín , ed. (1965). Lo Indecidible . Nueva York, NY: Raven Press Books. págs. 41–74.
2. Kleene, Stephen (1971) [1952]. Introducción a las metamatemáticas (Sexta reimpresión, con correcciones ed.). Países Bajos: Wolters-Noordhoff Publishing y North Holland Publishing Company. pag. 227.
3. Serré. Curso de Aritmética . pag. 5.
4. Lange, Rutger-Jan (2012). "Teoría del potencial, integrales de trayectoria y el laplaciano del indicador". Revista de Física de Altas Energías . 2012 (11): 29–30. arXiv : 1302.0864 . Código Bib : 2012JHEP...11..032L. doi :10.1007/JHEP11(2012)032. S2CID  56188533.

Fuentes

• Folland, GB (1999). Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones (Segunda ed.). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-31716-6.
• Cormen, Thomas H .; Leiserson, Charles E .; Rivest, Ronald L .; Stein, Clifford (2001). "Sección 5.2: Variables aleatorias indicadoras". Introducción a los algoritmos (Segunda ed.). MIT Press y McGraw-Hill. págs. 94–99. ISBN 978-0-262-03293-3.
• Davis, Martín , ed. (1965). Lo Indecidible . Nueva York, NY: Raven Press Books.
• Kleene, Stephen (1971) [1952]. Introducción a las metamatemáticas (Sexta reimpresión, con correcciones ed.). Países Bajos: Wolters-Noordhoff Publishing y North Holland Publishing Company.
• Boolos, George ; Burgess, John P .; Jeffrey, Richard C. (2002). Computabilidad y Lógica . Cambridge Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-00758-0.
• Zadeh, LA (junio de 1965). "Conjuntos difusos". Información y Control . 8 (3). San Diego: 338–353. doi : 10.1016/S0019-9958(65)90241-X . ISSN  0019-9958. Zbl  0139.24606. Wikidata  Q25938993.
• Goguen, José (1967). " L- conjuntos difusos". Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 18 (1): 145-174. doi :10.1016/0022-247X(67)90189-8. hdl : 10338.dmlcz/103980 .