Función simple

Función que alcanza un número finito de valores

En el campo matemático del análisis real , una función simple es una función con valores reales (o complejos ) sobre un subconjunto de la recta real , similar a una función escalonada . Las funciones simples son lo suficientemente "agradables" como para que su uso facilite el razonamiento matemático, la teoría y la demostración. Por ejemplo, las funciones simples alcanzan solo un número finito de valores. Algunos autores también requieren que las funciones simples sean mensurables ; tal como se usan en la práctica, invariablemente lo son.

Un ejemplo básico de una función simple es la función de suelo sobre el intervalo semiabierto [1, 9), cuyos únicos valores son {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Un ejemplo más avanzado es la función de Dirichlet sobre la recta real, que toma el valor 1 si x es racional y 0 en caso contrario. (Por lo tanto, el "simple" de "función simple" tiene un significado técnico que no coincide con el lenguaje común). Todas las funciones escalonadas son simples.

Las funciones simples se utilizan como una primera etapa en el desarrollo de teorías de integración , como la integral de Lebesgue , porque es fácil definir la integración para una función simple y también es sencillo aproximar funciones más generales mediante secuencias de funciones simples.

Definición

Formalmente, una función simple es una combinación lineal finita de funciones indicadoras de conjuntos medibles . Más precisamente, sea ( X , Σ) un espacio medible . Sea A ₁ , ..., A _n ∈ Σ una secuencia de conjuntos medibles disjuntos, y sea a ₁ , ..., a _n una secuencia de números reales o complejos . Una función simple es una función de la forma ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x),}$

donde es la función indicadora del conjunto A . ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{A}}$

Propiedades de funciones simples

La suma, la diferencia y el producto de dos funciones simples son nuevamente funciones simples, y la multiplicación por una constante mantiene simple una función simple; por lo tanto, se deduce que la colección de todas las funciones simples en un espacio medible dado forma un álgebra conmutativa sobre . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Integración de funciones simples

Si se define una medida en el espacio , la integral de una función simple con respecto a se define como ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \int _{X}fd\mu =\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mu (A_{k}),}$

si todos los sumandos son finitos.

Relación con la integración de Lebesgue

La integral de funciones simples anterior se puede extender a una clase más general de funciones, que es como se define la integral de Lebesgue . Esta extensión se basa en el siguiente hecho.

Teorema . Cualquier función medible no negativa es el límite puntual de una secuencia monótona creciente de funciones simples no negativas. ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ^{+}}$

En el enunciado se da a entender que el álgebra sigma en el codominio es la restricción del álgebra σ de Borel a . La demostración se realiza de la siguiente manera. Sea una función medible no negativa definida sobre el espacio de medida . Para cada , subdivida el codominio de en intervalos, de los cuales tienen longitud . Es decir, para cada , defina ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 2^{2n}+1}$ ${\displaystyle 2^{2n}}$ ${\displaystyle 2^{-n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle I_{n,k}=\left[{\frac {k-1}{2^{n}}},{\frac {k}{2^{n}}}\right)}$para , y , ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,2^{2n}}$ ${\displaystyle I_{n,2^{2n}+1}=[2^{n},\infty )}$

que son disjuntas y cubren la recta real no negativa ( ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\subseteq \cup _{k}I_{n,k},\forall n\in \mathbb {N} }$

Ahora definamos los conjuntos

${\displaystyle A_{n,k}=f^{-1}(I_{n,k})\,}$para ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,2^{2n}+1,}$

que son medibles ( ) porque se supone que son medibles. ${\displaystyle A_{n,k}\in \Sigma }$ ${\displaystyle f}$

Luego la secuencia creciente de funciones simples

${\displaystyle f_{n}=\sum _{k=1}^{2^{2n}+1}{\frac {k-1}{2^{n}}}{\mathbf {1} }_{A_{n,k}}}$

converge puntualmente a cuando . Nótese que, cuando está acotado, la convergencia es uniforme. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle f}$

Véase también

Función medible de Bochner

Referencias

• JFC Kingman, SJ Taylor . Introducción a la medida y la probabilidad , 1966, Cambridge.
• S. Lang . Análisis real y funcional , 1993, Springer-Verlag.
• W. Rudin . Análisis real y complejo , 1987, McGraw-Hill.
• HL Royden . Análisis real , 1968, Collier Macmillan.