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La simetría (del griego antiguo συμμετρία ( summetría ) 'concordancia en dimensiones, debida proporción, disposición') [1] en la vida cotidiana se refiere a una sensación de proporción y equilibrio armonioso y hermoso. [2] [3] [a] En matemáticas , el término tiene una definición más precisa y generalmente se usa para referirse a un objeto que es invariante bajo algunas transformaciones , como traslación , reflexión , rotación o escalamiento . Aunque estos dos significados de la palabra a veces pueden diferenciarse, están estrechamente relacionados y, por lo tanto, se analizan juntos en este artículo.
Se puede observar simetría matemática con respecto al paso del tiempo ; como relación espacial ; mediante transformaciones geométricas ; mediante otro tipo de transformaciones funcionales; y como un aspecto de los objetos abstractos , incluidos los modelos teóricos , el lenguaje y la música . [4] [b]
Este artículo describe la simetría desde tres perspectivas: en matemáticas , incluida la geometría , el tipo de simetría más familiar para muchas personas; en ciencia y naturaleza ; y en las artes, abarcando arquitectura , arte y música.
Lo opuesto a la simetría es la asimetría , que hace referencia a la ausencia de simetría.
Una forma u objeto geométrico es simétrico si se puede dividir en dos o más piezas idénticas dispuestas de forma organizada. [5] Esto significa que un objeto es simétrico si hay una transformación que mueve piezas individuales del objeto, pero no cambia la forma general. El tipo de simetría viene determinado por la forma en que se organizan las piezas, o por el tipo de transformación:
Una relación diádica R = S × S es simétrica si para todos los elementos a , b en S , siempre que sea cierto que Rab , también es cierto que Rba . [13] Por lo tanto, la relación "tiene la misma edad que" es simétrica, porque si Pablo tiene la misma edad que María, entonces María tiene la misma edad que Pablo.
En lógica proposicional, los conectivos lógicos binarios simétricos incluyen y (∧, o &), o (∨, o |) y si y solo si (↔), mientras que el conectivo si (→) no es simétrico. [14] Otros conectivos lógicos simétricos incluyen nand (no-y, o ⊼), xor (no-bicondicional, o ⊻) y nor (no-o, o ⊽).
Generalizando a partir de la simetría geométrica en la sección anterior, se puede decir que un objeto matemático es simétrico con respecto a una operación matemática dada , si, cuando se aplica al objeto, esta operación conserva alguna propiedad del objeto. [15] El conjunto de operaciones que preservan una determinada propiedad del objeto forman un grupo .
En general, cada tipo de estructura en matemáticas tendrá su propio tipo de simetría. Los ejemplos incluyen funciones pares e impares en cálculo , grupos simétricos en álgebra abstracta , matrices simétricas en álgebra lineal y grupos de Galois en la teoría de Galois . En estadística , la simetría también se manifiesta como distribuciones de probabilidad simétricas y como asimetría (la asimetría de las distribuciones). [dieciséis]
La simetría en física se ha generalizado en el sentido de invariancia (es decir, falta de cambio) bajo cualquier tipo de transformación, por ejemplo, transformaciones de coordenadas arbitrarias . [17] Este concepto se ha convertido en una de las herramientas más poderosas de la física teórica , ya que se ha hecho evidente que prácticamente todas las leyes de la naturaleza se originan en simetrías. De hecho, este papel inspiró al premio Nobel PW Anderson a escribir en su muy leído artículo de 1972 More is Different que "es sólo ligeramente exagerado decir que la física es el estudio de la simetría". [18] Véase el teorema de Noether (que, en una forma muy simplificada, establece que para cada simetría matemática continua, existe una cantidad conservada correspondiente, como energía o momento; una corriente conservada, en el lenguaje original de Noether); [19] y también, la clasificación de Wigner , que dice que las simetrías de las leyes de la física determinan las propiedades de las partículas que se encuentran en la naturaleza. [20]
Las simetrías importantes en física incluyen simetrías continuas y simetrías discretas del espacio-tiempo ; simetrías internas de partículas; y supersimetría de las teorías físicas.
En biología, la noción de simetría se utiliza principalmente de forma explícita para describir las formas corporales. Los animales bilaterales , incluido el ser humano, son más o menos simétricos con respecto al plano sagital que divide el cuerpo en mitades izquierda y derecha. [21] Los animales que se mueven en una dirección necesariamente tienen lados superior e inferior, extremos de cabeza y cola y, por lo tanto, un lado izquierdo y otro derecho. La cabeza se especializa con una boca y órganos de los sentidos, y el cuerpo se vuelve bilateralmente simétrico para el movimiento, con pares simétricos de músculos y elementos esqueléticos, aunque los órganos internos a menudo permanecen asimétricos. [22]
Las plantas y los animales sésiles (adheridos), como las anémonas de mar, suelen tener simetría radial o rotacional , lo que les conviene porque el alimento o las amenazas pueden llegar desde cualquier dirección. La simetría quíntuple se encuentra en los equinodermos , el grupo que incluye las estrellas de mar , los erizos de mar y los lirios de mar . [23]
En biología, la noción de simetría también se utiliza como en física, es decir para describir las propiedades de los objetos estudiados, incluidas sus interacciones. Una propiedad notable de la evolución biológica son los cambios de simetría correspondientes a la aparición de nuevas partes y dinámicas. [24] [25]
La simetría es importante para la química porque sustenta esencialmente todas las interacciones específicas entre moléculas en la naturaleza (es decir, a través de la interacción de moléculas quirales naturales y artificiales con sistemas biológicos inherentemente quirales). El control de la simetría de las moléculas producidas en la síntesis química moderna contribuye a la capacidad de los científicos de ofrecer intervenciones terapéuticas con efectos secundarios mínimos . Una comprensión rigurosa de la simetría explica las observaciones fundamentales en la química cuántica y en las áreas aplicadas de la espectroscopia y la cristalografía . La teoría y aplicación de la simetría a estas áreas de la ciencia física se basa en gran medida en el área matemática de la teoría de grupos . [26]
Para un observador humano, algunos tipos de simetría son más destacados que otros, en particular el más destacado es un reflejo con un eje vertical, como el presente en el rostro humano. Ernst Mach hizo esta observación en su libro "El análisis de las sensaciones" (1897), [27] y esto implica que la percepción de simetría no es una respuesta general a todo tipo de regularidades. Tanto los estudios conductuales como los neurofisiológicos han confirmado la especial sensibilidad a la simetría de reflexión en humanos y también en otros animales. [28] Los primeros estudios dentro de la tradición Gestalt sugirieron que la simetría bilateral era uno de los factores clave en la agrupación perceptiva . Esto se conoce como Ley de Simetría . El papel de la simetría en el agrupamiento y la organización figura/fondo ha sido confirmado en muchos estudios. Por ejemplo, la detección de simetría reflexiva es más rápida cuando es una propiedad de un solo objeto. [29] Los estudios de percepción humana y psicofísica han demostrado que la detección de simetría es rápida, eficiente y resistente a las perturbaciones. Por ejemplo, se puede detectar simetría con presentaciones de entre 100 y 150 milisegundos. [30]
Estudios de neuroimagen más recientes han documentado qué regiones del cerebro están activas durante la percepción de la simetría. Sasaki et al. [31] utilizaron imágenes por resonancia magnética funcional (fMRI) para comparar las respuestas de patrones con puntos simétricos o aleatorios. Una fuerte actividad estuvo presente en las regiones extraestriadas de la corteza occipital pero no en la corteza visual primaria. Las regiones extraestriadas incluyeron V3A, V4, V7 y el complejo occipital lateral (LOC). Los estudios electrofisiológicos han encontrado una negatividad posterior tardía que se origina en las mismas zonas. [32] En general, una gran parte del sistema visual parece estar involucrada en el procesamiento de la simetría visual, y estas áreas involucran redes similares a las responsables de detectar y reconocer objetos. [33]
La gente observa la naturaleza simétrica, que a menudo incluye un equilibrio asimétrico, de las interacciones sociales en una variedad de contextos. Estas incluyen evaluaciones de reciprocidad , empatía , simpatía , disculpa , diálogo , respeto, justicia y venganza .El equilibrio reflexivo es el equilibrio que puede lograrse mediante el ajuste mutuo deliberativo entre principios generales y juicios específicos . [34] Las interacciones simétricas envían el mensaje moral "todos somos iguales", mientras que las interacciones asimétricas pueden enviar el mensaje "Soy especial; mejor que tú". Las relaciones entre pares, como las que pueden regirse por la regla de oro , se basan en la simetría, mientras que las relaciones de poder se basan en la asimetría. [35] Las relaciones simétricas pueden mantenerse hasta cierto punto mediante estrategias simples ( teoría de juegos ) que se ven en juegos simétricos como el ojo por ojo . [36]
Existe una lista de revistas y boletines que se sabe que tratan, al menos en parte, sobre la simetría y las artes. [37]
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La simetría encuentra su camino en la arquitectura en todas las escalas, desde las vistas exteriores generales de edificios como las catedrales góticas y la Casa Blanca , pasando por el diseño de los planos de planta individuales , hasta el diseño de elementos individuales del edificio, como los mosaicos de azulejos . Los edificios islámicos como el Taj Mahal y la mezquita Lotfollah hacen un uso elaborado de la simetría tanto en su estructura como en su ornamentación. [38] [39] Los edificios árabes como la Alhambra están adornados con patrones complejos hechos usando simetrías de traslación y reflexión, así como rotaciones. [40]
Se ha dicho que sólo los malos arquitectos se basan en una "disposición simétrica de bloques, masas y estructuras"; [41] La arquitectura modernista , comenzando con el estilo internacional , se basa en cambio en "las alas y el equilibrio de masas". [41]
Desde los primeros usos de los tornos de alfarería para ayudar a dar forma a las vasijas de arcilla, la cerámica ha tenido una fuerte relación con la simetría. La cerámica creada con un torno adquiere una simetría rotacional total en su sección transversal, al tiempo que permite una libertad sustancial de forma en la dirección vertical. Sobre este punto de partida inherentemente simétrico, los alfareros desde la antigüedad han agregado patrones que modifican la simetría rotacional para lograr objetivos visuales.
Las vasijas de metal fundido carecían de la simetría rotacional inherente a la cerámica hecha con torno, pero por lo demás brindaban una oportunidad similar de decorar sus superficies con patrones que agradaban a quienes las usaban. Los antiguos chinos , por ejemplo, utilizaban patrones simétricos en sus piezas de bronce ya en el siglo XVII a.C. Las vasijas de bronce exhibían tanto un motivo principal bilateral como un diseño de borde traducido repetitivo. [42]
Una larga tradición del uso de la simetría en los patrones de alfombras y tapetes se extiende por una variedad de culturas. Los indios navajos americanos utilizaban diagonales audaces y motivos rectangulares. Muchas alfombras orientales tienen centros y bordes reflejados intrincados que traducen un patrón. No es sorprendente que las alfombras rectangulares tengan típicamente las simetrías de un rectángulo , es decir, motivos que se reflejan tanto en el eje horizontal como en el vertical (ver Klein cuatro grupos § Geometría ). [43] [44]
Como las colchas se hacen a partir de bloques cuadrados (normalmente de 9, 16 o 25 piezas por bloque) y cada pieza más pequeña suele consistir en triángulos de tela, la artesanía se presta fácilmente a la aplicación de la simetría. [45]
Las simetrías aparecen en el diseño de objetos de todo tipo. Los ejemplos incluyen abalorios , muebles , pinturas de arena , nudos , máscaras e instrumentos musicales . Las simetrías son fundamentales para el arte de MC Escher y las numerosas aplicaciones de la teselación en formas de arte y artesanía, como papel tapiz , azulejos de cerámica, como en la decoración geométrica islámica , batik , ikat , fabricación de alfombras y muchos tipos de patrones textiles y bordados . [46]
La simetría también se utiliza en el diseño de logotipos. [47] Al crear un logotipo en una cuadrícula y utilizar la teoría de la simetría, los diseñadores pueden organizar su trabajo, crear un diseño simétrico o asimétrico, determinar el espacio entre letras, determinar cuánto espacio negativo se requiere en el diseño y cómo acentúe partes del logotipo para que se destaque.
La simetría no se limita a las artes visuales. Su papel en la historia de la música toca muchos aspectos de la creación y percepción de la música.
Muchos compositores han utilizado la simetría como restricción formal , como la forma de arco (ABCBA) utilizada por Steve Reich , Béla Bartók y James Tenney . En la música clásica, Bach utilizó los conceptos de simetría de permutación e invariancia. [48]
La simetría también es una consideración importante en la formación de escalas y acordes , ya que la música tradicional o tonal se compone de grupos de tonos no simétricos , como la escala diatónica o el acorde mayor . Se dice que las escalas o acordes simétricos , como la escala tonal completa , el acorde aumentado o el acorde de séptima disminuida (séptima disminuida-disminuida), carecen de dirección o sensación de movimiento hacia adelante, son ambiguos en cuanto a la clave o centro tonal y tienen una funcionalidad diatónica menos específica . Sin embargo, compositores como Alban Berg , Béla Bartók y George Perle han utilizado ejes de simetría y/o ciclos de intervalos de forma análoga a las tonalidades o centros tonales no tonales . [49] George Perle explica que "C – E, D – F ♯, [y] Eb – G, son instancias diferentes del mismo intervalo ... el otro tipo de identidad... tiene que ver con ejes de simetría. C – E pertenece a una familia de díadas relacionadas simétricamente de la siguiente manera:" [49]
Por lo tanto, además de ser parte de la familia del intervalo 4, C – E también es parte de la familia de la suma 4 (con C igual a 0). [49]
Los ciclos de intervalo son simétricos y, por tanto, no diatónicos. Sin embargo, un segmento de siete tonos de C5 (el ciclo de quintas, que son enarmónicos con el ciclo de cuartas) producirá la escala diatónica mayor. Las progresiones tonales cíclicas en las obras de compositores románticos como Gustav Mahler y Richard Wagner forman un vínculo con las sucesiones tonales cíclicas en la música atonal de modernistas como Bartók, Alexander Scriabin , Edgard Varèse y la escuela de Viena. Al mismo tiempo, estas progresiones señalan el fin de la tonalidad. [49] [50]
La primera composición ampliada basada consistentemente en relaciones tonales simétricas fue probablemente el Cuarteto de Alban Berg , op. 3 (1910). [50]
Las filas de tonos o conjuntos de clases de tono que son invariantes en condiciones retrógradas son horizontalmente simétricas y en inversión vertical. Véase también Ritmo asimétrico .
La relación entre la simetría y la estética es compleja. Los humanos encuentran físicamente atractiva la simetría bilateral en los rostros; [51] indica salud y aptitud genética. [52] [53] Opuesto a esto está la tendencia a que la simetría excesiva se perciba como aburrida o poco interesante. Rudolf Arnheim sugirió que la gente prefiere formas que tengan cierta simetría y suficiente complejidad para hacerlas interesantes. [54]
La simetría se puede encontrar en diversas formas en la literatura , siendo un ejemplo sencillo el palíndromo donde un texto breve se lee igual hacia adelante o hacia atrás. Las historias pueden tener una estructura simétrica, como el patrón de ascenso y caída de Beowulf . [55]
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Portal de ropa"Mi punto de partida para esta construcción fue una simple declaración que leí una vez (y que no necesariamente refleja mis puntos de vista personales): 'Sólo un mal arquitecto confía en la simetría; en lugar de una disposición simétrica de bloques, masas y estructuras, la arquitectura modernista se basa en sobre alas y equilibrio de masas.'
