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fractales

Mandelbrot situado en el límite izquierdo cardioide
El conjunto de Mandelbrot : su límite es una curva fractal con dimensión de Hausdorff 2. (Tenga en cuenta que las secciones coloreadas de la imagen en realidad no son parte del Conjunto de Mandelbrot, sino que se basan en la rapidez con la que diverge la función que lo produce).
Conjunto de Mandelbrot con 12 cercos.

Acercándonos al límite del conjunto de Mandelbrot

En matemáticas , un fractal es una forma geométrica que contiene una estructura detallada a escalas arbitrariamente pequeñas, y que generalmente tiene una dimensión fractal que excede estrictamente la dimensión topológica . Muchos fractales parecen similares en varias escalas, como se ilustra en las sucesivas ampliaciones del conjunto de Mandelbrot . [1] [2] [3] [4] Esta exhibición de patrones similares a escalas cada vez más pequeñas se llama autosimilitud , también conocida como simetría en expansión o simetría en despliegue; Si esta replicación es exactamente la misma en todas las escalas, como en la esponja de Menger , la forma se llama autosemejante afín . [5] La geometría fractal se encuentra dentro de la rama matemática de la teoría de la medida .

Una forma en que los fractales se diferencian de las figuras geométricas finitas es su escala . Duplicar la longitud de los bordes de un polígono relleno multiplica su área por cuatro, que es dos (la relación entre la longitud del lado nuevo y el antiguo) elevada a la potencia de dos (la dimensión convencional del polígono relleno). Del mismo modo, si el radio de una esfera llena se duplica, su volumen aumenta en ocho, que es dos (la relación entre el radio nuevo y el antiguo) elevado a tres (la dimensión convencional de la esfera llena). Sin embargo, si todas las longitudes unidimensionales de un fractal se duplican, el contenido espacial del fractal aumenta en una potencia que no es necesariamente un número entero y, en general, es mayor que su dimensión convencional. [1] Esta potencia se denomina dimensión fractal del objeto geométrico, para distinguirla de la dimensión convencional (que formalmente se denomina dimensión topológica ). [6]

Analíticamente, muchos fractales no son diferenciables en ninguna parte . [1] [4] Se puede concebir una curva fractal infinita como si serpenteara a través del espacio de manera diferente a una línea ordinaria; aunque todavía es topológicamente unidimensional , su dimensión fractal indica que localmente llena el espacio de manera más eficiente que una línea ordinaria. [dieciséis ]

Alfombra de Sierpinski (hasta el nivel 6), un fractal con una dimensión topológica de 1 y una dimensión de Hausdorff de 1,893
Un segmento de línea es similar a una parte propia de sí mismo, pero difícilmente es un fractal.

A partir del siglo XVII con nociones de recursividad , los fractales pasaron de un tratamiento matemático cada vez más riguroso al estudio de funciones continuas pero no diferenciables en el siglo XIX mediante el trabajo fundamental de Bernard Bolzano , Bernhard Riemann y Karl Weierstrass , [7] y hasta la acuñación de la palabra fractal en el siglo XX con un posterior florecimiento del interés por los fractales y el modelado por computadora en el siglo XX. [8] [9]

Existe cierto desacuerdo entre los matemáticos sobre cómo debería definirse formalmente el concepto de fractal. El propio Mandelbrot lo resumió como "hermoso, muy difícil, cada vez más útil. Eso son fractales". [10] Más formalmente, en 1982 Mandelbrot definió fractal de la siguiente manera: "Un fractal es por definición un conjunto para el cual la dimensión de Hausdorff-Besicovitch excede estrictamente la dimensión topológica ". [11] Más tarde, al ver esto como demasiado restrictivo, simplificó y amplió la definición a esto: "Un fractal es una forma geométrica rugosa o fragmentada que puede dividirse en partes, cada una de las cuales es (al menos aproximadamente) una figura de tamaño reducido". copia del todo." [1] Aún más tarde, Mandelbrot propuso "usar fractal sin una definición pedante, usar dimensión fractal como término genérico aplicable a todas las variantes". [12]

El consenso entre los matemáticos es que los fractales teóricos son construcciones matemáticas infinitamente autosimilares, iteradas y detalladas, de las cuales se han formulado y estudiado muchos ejemplos . [1] [2] [3] Los fractales no se limitan a patrones geométricos, sino que también pueden describir procesos en el tiempo. [5] [4] [13] [14] [15] [16] Los patrones fractales con diversos grados de autosemejanza se han representado o estudiado en medios visuales, físicos y auditivos [17] y se han encontrado en la naturaleza, [18 ] [19] [20] [21] tecnología, [22] [23] [24] [25] arte, [26] [27] y arquitectura . [28] Los fractales son de particular relevancia en el campo de la teoría del caos porque aparecen en las representaciones geométricas de la mayoría de los procesos caóticos (normalmente como atractores o como límites entre cuencas de atracción). [29]

Etimología

El término "fractal" fue acuñado por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975. [30] Mandelbrot lo basó en el latín frāctus , que significa "roto" o "fracturado", y lo utilizó para extender el concepto de dimensiones fraccionarias teóricas a patrones geométricos en naturaleza . [1] [31] [32]

Introducción

Un árbol fractal simple
Un "árbol" fractal de once iteraciones

La palabra "fractal" a menudo tiene connotaciones diferentes para el público no especializado que para los matemáticos, donde es más probable que el público esté más familiarizado con el arte fractal que con el concepto matemático. El concepto matemático es difícil de definir formalmente, incluso para los matemáticos, pero las características clave pueden entenderse con un poco de experiencia matemática.

La característica de "auto-semejanza", por ejemplo, se entiende fácilmente por analogía con el acercamiento con una lente u otro dispositivo que acerca imágenes digitales para descubrir una nueva estructura más fina, antes invisible. Sin embargo, si esto se hace con fractales, no aparece ningún detalle nuevo; nada cambia y el mismo patrón se repite una y otra vez, o en algunos fractales, casi el mismo patrón reaparece una y otra vez. La autosemejanza en sí misma no es necesariamente contraria a la intuición (por ejemplo, la gente ha reflexionado sobre la autosemejanza de manera informal, como en la regresión infinita en espejos paralelos o el homúnculo , el hombrecito dentro de la cabeza del hombrecito dentro de la cabeza...) . La diferencia con los fractales es que el patrón reproducido debe ser detallado. [1] : 166, 18  [2] [31]

Esta idea de ser detallado se relaciona con otra característica que puede entenderse sin muchos conocimientos matemáticos: tener una dimensión fractal mayor que su dimensión topológica, por ejemplo, se refiere a cómo un fractal escala en comparación con cómo se perciben habitualmente las formas geométricas. Por ejemplo, convencionalmente se entiende que una línea recta es unidimensional; Si dicha figura se vuelve a colocar en pedazos cada uno de 1/3 de la longitud del original, entonces siempre habrá tres pedazos iguales. Se entiende que un cuadrado sólido es bidimensional; Si dicha figura se vuelve a dividir en piezas, cada una reducida en un factor de 1/3 en ambas dimensiones, hay un total de 3 2 = 9 piezas.

Vemos que para objetos autosemejantes ordinarios, ser n-dimensional significa que cuando se replantea en piezas, cada una reducida en un factor de escala de 1/ r , hay un total de r n piezas. Consideremos ahora la curva de Koch . Se puede dividir en cuatro subcopias, cada una reducida en un factor de escala de 1/3. Entonces, estrictamente por analogía, podemos considerar la "dimensión" de la curva de Koch como el único número real D que satisface 3 D = 4. Este número se llama dimensión fractal de la curva de Koch; no es la dimensión convencionalmente percibida de una curva. En general, una propiedad clave de los fractales es que la dimensión fractal difiere de la dimensión entendida convencionalmente (formalmente llamada dimensión topológica).

Fractal generado por computadora en 3D

Esto también lleva a comprender una tercera característica: que los fractales como ecuaciones matemáticas "no son diferenciables en ninguna parte ". En concreto, esto significa que los fractales no se pueden medir de forma tradicional. [1] [4] [33] Para profundizar, al tratar de encontrar la longitud de una curva ondulada no fractal, se podrían encontrar segmentos rectos de alguna herramienta de medición lo suficientemente pequeña como para colocarse de extremo a extremo sobre las ondas, donde las piezas podrían se vuelve lo suficientemente pequeño como para que se considere que se ajusta a la curva en la forma normal de medir con una cinta métrica. Pero al medir una curva fractal infinitamente "movible" como el copo de nieve de Koch, nunca se encontraría un segmento recto lo suficientemente pequeño como para ajustarse a la curva, porque el patrón irregular siempre reaparecería, en escalas arbitrariamente pequeñas, esencialmente tirando un poco de la curva. más cinta métrica en la longitud total medida cada vez que se intentaba ajustarla cada vez más a la curva. El resultado es que hay que necesitar cinta infinita para cubrir perfectamente toda la curva, es decir, el copo de nieve tiene un perímetro infinito. [1]

Historia

Un copo de nieve de Koch es un fractal que comienza con un triángulo equilátero y luego reemplaza el tercio medio de cada segmento de línea con un par de segmentos de línea que forman una protuberancia equilátera.
Conjunto de Cantor (ternario)

La historia de los fractales traza un camino desde estudios principalmente teóricos hasta aplicaciones modernas en gráficos por computadora , con varias personas notables contribuyendo con formas fractales canónicas a lo largo del camino. [8] [9] Un tema común en la arquitectura tradicional africana es el uso de escala fractal, mediante el cual partes pequeñas de la estructura tienden a parecerse a partes más grandes, como una aldea circular hecha de casas circulares. [34] Según Pickover , las matemáticas detrás de los fractales comenzaron a tomar forma en el siglo XVII cuando el matemático y filósofo Gottfried Leibniz reflexionó sobre la autosimilitud recursiva (aunque cometió el error de pensar que sólo la línea recta era autosimilar en este caso). sentido). [35]

En sus escritos, Leibniz utilizó el término "exponentes fraccionarios", pero lamentó que la "Geometría" aún no los conociera. [1] : 405  De hecho, según varios relatos históricos, después de ese momento pocos matemáticos abordaron los problemas y el trabajo de aquellos que lo hicieron permaneció oscurecido en gran medida debido a la resistencia a conceptos emergentes tan desconocidos, a los que a veces se hacía referencia como "monstruos" matemáticos. . [33] [8] [9] Así, no fue hasta transcurridos dos siglos que el 18 de julio de 1872 Karl Weierstrass presentó la primera definición de una función con gráfica que hoy sería considerada un fractal, teniendo la no intuitiva propiedad de ser continua en todas partes pero no diferenciable en ninguna parte en la Real Academia de Ciencias de Prusia. [8] : 7  [9]

Además, la diferencia del cociente se vuelve arbitrariamente grande a medida que aumenta el índice de suma. [36] No mucho después, en 1883, Georg Cantor , que asistía a conferencias de Weierstrass, [9] publicó ejemplos de subconjuntos de la línea real conocidos como conjuntos de Cantor , que tenían propiedades inusuales y ahora se reconocen como fractales. [8] : 11–24  También en la última parte de ese siglo, Felix Klein y Henri Poincaré introdujeron una categoría de fractal que ha llegado a denominarse fractales "autoinversos". [1] : 166 

Un conjunto de Julia , un fractal relacionado con el conjunto de Mandelbrot
Un árbol fractal puede generar una junta de Sierpinski .

Uno de los siguientes hitos se produjo en 1904, cuando Helge von Koch , ampliando las ideas de Poincaré e insatisfecho con la definición abstracta y analítica de Weierstrass, dio una definición más geométrica que incluía imágenes dibujadas a mano de una función similar, que ahora se llama copo de nieve de Koch . [8] : 25  [9] Otro hito se produjo una década más tarde, en 1915, cuando Wacław Sierpiński construyó su famoso triángulo y, un año después, su alfombra . En 1918, dos matemáticos franceses, Pierre Fatou y Gaston Julia , aunque trabajaban de forma independiente, llegaron esencialmente simultáneamente a resultados que describían lo que ahora se considera un comportamiento fractal asociado con el mapeo de números complejos y funciones iterativas y que condujeron a nuevas ideas sobre atractores y repelentes (es decir, puntos que atraen o repelen otros puntos), que se han vuelto muy importantes en el estudio de los fractales. [4] [8] [9]

Muy poco después de que se presentara ese trabajo, en marzo de 1918, Felix Hausdorff amplió la definición de "dimensión", significativamente para la evolución de la definición de fractales, para permitir que los conjuntos tuvieran dimensiones no enteras. [9] La idea de curvas autosemejantes fue llevada más allá por Paul Lévy , quien, en su artículo de 1938 Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole , describió una nueva curva fractal, la curva C de Lévy . [notas 1]

Un extraño atractor que exhibe escalamiento multifractal
Fractal de triángulo de centro de masa uniforme
2x 120 grados IFS recursivo

Diferentes investigadores han postulado que sin la ayuda de los gráficos por computadora modernos, los primeros investigadores estaban limitados a lo que podían representar en dibujos manuales, por lo que carecían de los medios para visualizar la belleza y apreciar algunas de las implicaciones de muchos de los patrones que habían descubierto (los El conjunto de Julia, por ejemplo, sólo pudo visualizarse mediante unas pocas iteraciones como dibujos muy simples). [1] : 179  [33] [9] Sin embargo, eso cambió en la década de 1960, cuando Benoit Mandelbrot comenzó a escribir sobre la autosimilitud en artículos como How Long Is the Coast of Britain? Autosimilitud estadística y dimensión fraccionaria , [37] [38] que se basó en trabajos anteriores de Lewis Fry Richardson .

En 1975, [31] Mandelbrot solidificó cientos de años de pensamiento y desarrollo matemático al acuñar la palabra "fractal" e ilustró su definición matemática con sorprendentes visualizaciones construidas por computadora. Estas imágenes, como la de su conjunto canónico de Mandelbrot , capturaron la imaginación popular; muchos de ellos se basaron en la recursividad, lo que dio lugar al significado popular del término "fractal". [39] [33] [8] [35]

En 1980, Loren Carpenter hizo una presentación en SIGGRAPH donde presentó su software para generar y renderizar paisajes generados fractales. [40]

Definición y características

Una descripción citada a menudo que publicó Mandelbrot para describir los fractales geométricos es "una forma geométrica rugosa o fragmentada que se puede dividir en partes, cada una de las cuales es (al menos aproximadamente) una copia de tamaño reducido del todo"; [1] esto es generalmente útil pero limitado. Los autores no están de acuerdo sobre la definición exacta de fractal , pero por lo general elaboran las ideas básicas de autosemejanza y la relación inusual que tienen los fractales con el espacio en el que están incrustados. [1] [5] [2] [4] [41]

Un punto en el que se coincide es que los patrones fractales se caracterizan por dimensiones fractales , pero mientras que estos números cuantifican la complejidad (es decir, cambian los detalles con el cambio de escala), no describen ni especifican de manera única detalles sobre cómo construir patrones fractales particulares. [42] En 1975, cuando Mandelbrot acuñó la palabra "fractal", lo hizo para denotar un objeto cuya dimensión Hausdorff-Besicovitch es mayor que su dimensión topológica . [31] Sin embargo, este requisito no se cumple con las curvas que llenan el espacio, como la curva de Hilbert . [notas 2]

Debido a la dificultad que implica encontrar una definición para los fractales, algunos argumentan que los fractales no deberían definirse estrictamente en absoluto. Según Falconer , los fractales sólo deberían caracterizarse generalmente por una gestalt de las siguientes características; [2]

  • Autosimilitud exacta: idéntica en todas las escalas, como el copo de nieve de Koch
  • Cuasi autosimilitud: se aproxima al mismo patrón en diferentes escalas; puede contener pequeñas copias de todo el fractal en formas distorsionadas y degeneradas; por ejemplo, los satélites del conjunto de Mandelbrot son aproximaciones del conjunto completo, pero no copias exactas.
  • Auto-semejanza estadística: repite un patrón estocásticamente para que las medidas numéricas o estadísticas se conserven en todas las escalas; por ejemplo, fractales generados aleatoriamente, como el conocido ejemplo de la costa de Gran Bretaña, del que no se esperaría encontrar un segmento escalado y repetido tan claramente como la unidad repetida que define fractales como el copo de nieve de Koch. [4]
  • Autosimilitud cualitativa: como en una serie temporal [13]
  • Escalado multifractal : caracterizado por más de una dimensión fractal o regla de escala

Como grupo, estos criterios forman pautas para excluir ciertos casos, como aquellos que pueden ser autosemejantes sin tener otras características típicamente fractales. Una línea recta, por ejemplo, es autosemejante pero no fractal porque carece de detalles y se describe fácilmente en lenguaje euclidiano sin necesidad de recursividad. [1] [4]

Técnicas comunes para generar fractales.

Patrón de ramificación autosimilar modelado in silico utilizando principios de sistemas L [21]

Se pueden crear imágenes de fractales mediante programas de generación de fractales . Debido al efecto mariposa , un pequeño cambio en una sola variable puede tener un resultado impredecible .

Un fractal generado por una regla de subdivisión finita para un enlace alterno

Aplicaciones

Fractales simulados

Los patrones fractales se han modelado extensamente, aunque dentro de un rango de escalas en lugar de infinitamente, debido a los límites prácticos del tiempo y el espacio físicos. Los modelos pueden simular fractales teóricos o fenómenos naturales con características fractales. Los resultados del proceso de modelado pueden ser representaciones altamente artísticas, resultados para investigación o puntos de referencia para análisis fractales . Algunas aplicaciones específicas de los fractales a la tecnología se enumeran en otra parte. Las imágenes y otros resultados del modelado normalmente se denominan "fractales" incluso si no tienen características estrictamente fractales, como cuando es posible ampliar una región de la imagen fractal que no exhibe ninguna propiedad fractal. Además, estos pueden incluir artefactos de cálculo o visualización que no son características de verdaderos fractales.

Los fractales modelados pueden ser sonidos, [17] imágenes digitales, patrones electroquímicos, ritmos circadianos , [49] etc. Los patrones fractales se han reconstruido en un espacio físico tridimensional [24] : 10  y virtualmente, a menudo llamado modelado " in silico ". [46] Los modelos de fractales generalmente se crean utilizando software de generación de fractales que implementa técnicas como las descritas anteriormente. [4] [13] [24] A modo de ilustración, los árboles, los helechos, las células del sistema nervioso, [21] la vasculatura sanguínea y pulmonar, [46] y otros patrones de ramificación en la naturaleza se pueden modelar en una computadora mediante el uso de algoritmos recursivos. y técnicas de sistemas L. [21]

La naturaleza recursiva de algunos patrones es obvia en ciertos ejemplos: una rama de un árbol o una hoja de un helecho es una réplica en miniatura del todo: no idéntica, pero sí similar en naturaleza. De manera similar, se han utilizado fractales aleatorios para describir/crear muchos objetos del mundo real altamente irregulares, como costas y montañas. Una limitación del modelado de fractales es que la semejanza de un modelo fractal con un fenómeno natural no prueba que el fenómeno que se está modelando esté formado por un proceso similar a los algoritmos de modelado.

Fenómenos naturales con características fractales.

Los fractales aproximados que se encuentran en la naturaleza muestran autosemejanza en rangos de escala extendidos, pero finitos. La conexión entre los fractales y las hojas, por ejemplo, se utiliza actualmente para determinar cuánto carbono contienen los árboles. [50] Los fenómenos que se sabe que tienen características fractales incluyen:

Fractales en biología celular

Los fractales suelen aparecer en el ámbito de los organismos vivos, donde surgen a través de procesos de ramificación y otros patrones complejos de formación. Ian Wong y sus colaboradores han demostrado que las células migratorias pueden formar fractales agrupándose y ramificándose . [70] Las células nerviosas funcionan a través de procesos en la superficie celular, con fenómenos que se mejoran al aumentar en gran medida la relación superficie-volumen. Como consecuencia, las células nerviosas a menudo se forman en patrones fractales. [71] Estos procesos son cruciales en la fisiología celular y en diferentes patologías . [72]

También se ha descubierto que múltiples estructuras subcelulares se ensamblan en fractales. Diego Krapf ha demostrado que mediante procesos de ramificación los filamentos de actina de las células humanas se ensamblan formando patrones fractales. [57] De manera similar, Matthias Weiss demostró que el retículo endoplasmático muestra características fractales. [73] El conocimiento actual es que los fractales son omnipresentes en la biología celular, desde proteínas hasta orgánulos y células enteras.

En obras creativas

Desde 1999, numerosos grupos científicos han realizado análisis fractales en más de 50 pinturas creadas por Jackson Pollock vertiendo pintura directamente sobre lienzos horizontales. [74] [75] [76]

Recientemente, el análisis fractal se ha utilizado para lograr una tasa de éxito del 93% a la hora de distinguir Pollocks reales de los de imitación. [77] Los neurocientíficos cognitivos han demostrado que los fractales de Pollock inducen la misma reducción de estrés en los observadores que los fractales generados por computadora y los fractales de la naturaleza. [78]

La decalcomania , una técnica utilizada por artistas como Max Ernst , puede producir patrones similares a fractales. [79] Implica presionar pintura entre dos superficies y separarlas.

El cibernético Ron Eglash ha sugerido que la geometría fractal y las matemáticas prevalecen en el arte , los juegos, la adivinación , el comercio y la arquitectura africanos. Las casas circulares aparecen en círculos de círculos, las casas rectangulares en rectángulos de rectángulos, etc. Estos patrones de escala también se pueden encontrar en textiles africanos, esculturas e incluso peinados con trenzas. [27] [80] Hokky Situngkir también sugirió propiedades similares en el arte tradicional de Indonesia, el batik y los adornos que se encuentran en las casas tradicionales. [81] [82]

El etnomatemático Ron Eglash ha analizado el diseño planificado de la ciudad de Benin utilizando fractales como base, no sólo en la ciudad misma y los pueblos sino incluso en las habitaciones de las casas. Comentó que "cuando los europeos llegaron por primera vez a África, consideraban que la arquitectura era muy desorganizada y, por tanto, primitiva. Nunca se les ocurrió que los africanos podrían haber estado usando una forma de matemáticas que ni siquiera habían descubierto todavía". [83]

En una entrevista de 1996 con Michael Silverblatt , David Foster Wallace explicó que la estructura del primer borrador de Infinite Jest que le dio a su editor Michael Pietsch se inspiró en fractales, específicamente el triángulo de Sierpinski (también conocido como junta de Sierpinski), pero que la novela editada es "más como una junta Sierpinsky torcida". [26]

Algunas obras del artista holandés MC Escher , como Circle Limit III , contienen formas repetidas hasta el infinito que se vuelven cada vez más pequeñas a medida que se acercan a los bordes, en un patrón que siempre se vería igual si se ampliara.

Efectos estéticos y psicológicos del diseño basado en fractales: [84] Los patrones fractales, de naturaleza muy prevalente, poseen componentes autosimilares que se repiten en diferentes escalas de tamaño. La experiencia perceptiva de entornos creados por el hombre puede verse afectada con la inclusión de estos patrones naturales. Trabajos anteriores han demostrado tendencias consistentes en la preferencia y las estimaciones de complejidad de los patrones fractales. Sin embargo, se ha recopilado información limitada sobre el impacto de otros juicios visuales. Aquí examinamos la experiencia estética y perceptual de los diseños fractales de 'bosques globales' ya instalados en espacios creados por el hombre y demostramos cómo los componentes de los patrones fractales se asocian con experiencias psicológicas positivas que pueden utilizarse para promover el bienestar de los ocupantes. Estos diseños son patrones fractales compuestos que consisten en 'semillas de árboles' fractales individuales que se combinan para crear un 'bosque fractal global'. Los patrones locales de "semillas de árboles", la configuración global de las ubicaciones de las semillas de árboles y los patrones generales resultantes de "bosques globales" tienen cualidades fractales. Estos diseños abarcan múltiples medios pero todos están destinados a reducir el estrés de los ocupantes sin restar valor a la función y al diseño general del espacio. En esta serie de estudios, primero establecimos relaciones divergentes entre varios atributos visuales, con calificaciones de complejidad de patrón, preferencia y participación que aumentan con la complejidad fractal en comparación con calificaciones de refresco y relajación que permanecen iguales o disminuyen con la complejidad. Posteriormente, determinamos que los patrones fractales constituyentes locales ("semillas de árboles") contribuyen a la percepción del diseño fractal general y abordamos cómo equilibrar los efectos estéticos y psicológicos (como las experiencias individuales de interacción y relajación percibidas) en el diseño fractal. instalaciones. Este conjunto de estudios demuestra que la preferencia fractal está impulsada por un equilibrio entre una mayor excitación (deseo de compromiso y complejidad) y una disminución de la tensión (deseo de relajación o refresco). Las instalaciones de estos patrones compuestos de 'bosque global' de complejidad media-alta que consisten en componentes de 'semillas de árboles' equilibran estas necesidades contrastantes y pueden servir como una implementación práctica de patrones biofílicos en entornos creados por el hombre para promover el bienestar de los ocupantes.

Respuestas fisiológicas

Los humanos parecen estar especialmente bien adaptados para procesar patrones fractales con dimensiones fractales entre 1,3 y 1,5. [85] Cuando los humanos ven patrones fractales con una dimensión fractal entre 1,3 y 1,5, esto tiende a reducir el estrés fisiológico. [86] [87]

Aplicaciones en tecnología

Ver también

Notas

  1. ^ El artículo original, Lévy, Paul (1938). "Les Courbes planes ou gauches et les Surfaces composées de Parties semblables au tout". Journal de l'École Polytechnique : 227–247, 249–291., está traducido en Edgar, páginas 181–239.
  2. ^ El mapa de curvas de Hilbert no es un homeomorfismo , por lo que no conserva la dimensión topológica. La dimensión topológica y la dimensión de Hausdorff de la imagen del mapa de Hilbert en R 2 son ambas 2. Tenga en cuenta, sin embargo, que la dimensión topológica de la gráfica del mapa de Hilbert (un conjunto en R 3 ) es 1.

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