Para espacios euclidianos ordinarios , la dimensión de cobertura de Lebesgue es simplemente la dimensión euclidiana ordinaria: cero para puntos, uno para líneas, dos para planos, etc. Sin embargo, no todos los espacios topológicos tienen este tipo de dimensión "obvia" , por lo que en tales casos se necesita una definición precisa. La definición procede examinando lo que sucede cuando el espacio está cubierto por conjuntos abiertos .
En general, un espacio topológico X puede estar cubierto por conjuntos abiertos , en el sentido de que se puede encontrar una colección de conjuntos abiertos tal que X se encuentre dentro de su unión . La dimensión de cobertura es el número más pequeño n tal que para cada cobertura, hay un refinamiento en el que cada punto en X se encuentra en la intersección de no más de n + 1 conjuntos de cobertura. Ésta es la esencia de la definición formal que aparece a continuación. El objetivo de la definición es proporcionar un número (un número entero ) que describa el espacio y que no cambie a medida que el espacio se deforma continuamente; es decir, un número que es invariante bajo homeomorfismos .
La idea general se ilustra en los diagramas siguientes, que muestran una cubierta y refinamientos de un círculo y un cuadrado.
Definicion formal
Henri Lebesgue utilizó "ladrillos" cerrados para estudiar la dimensión de la cobertura en 1921. [3]
La primera definición formal de dimensión de cobertura fue dada por Eduard Čech , basándose en un resultado anterior de Henri Lebesgue . [4]
Una definición moderna es la siguiente. Una cubierta abierta de un espacio topológico X es una familia de conjuntos abiertos U α tales que su unión es todo el espacio, U α = X . El orden o capa de una cubierta abierta = { U α } es el número más pequeño m (si existe) para el cual cada punto del espacio pertenece como máximo a m conjuntos abiertos en la cubierta: en otras palabras U α 1 ∩ ⋅⋅ ⋅ ∩ U α m +1 = para α 1 , ..., α m +1 distinto. Un refinamiento de una cubierta abierta = { U α } es otra cubierta abierta = { V β }, tal que cada V β está contenida en alguna U α . La dimensión de cobertura de un espacio topológico X se define como el valor mínimo de n tal que cada cobertura abierta finita de X tiene un refinamiento abierto con orden n + 1. Por lo tanto, si n es finito, V β 1 ∩ ⋅⋅⋅ ∩ V β n +2 = para β 1 , ..., β n +2 distintos. Si no existe tal mínimo n , se dice que el espacio tiene una dimensión de cobertura infinita.
Como caso especial, un espacio topológico no vacío es de dimensión cero con respecto a la dimensión de cobertura si cada cobertura abierta del espacio tiene un refinamiento que consiste en conjuntos abiertos disjuntos , lo que significa que cualquier punto en el espacio está contenido exactamente en un conjunto abierto. de este refinamiento.
Ejemplos
El conjunto vacío tiene una dimensión de cobertura -1: para cualquier cubierta abierta del conjunto vacío, cada punto del conjunto vacío no está contenido en ningún elemento de la cubierta, por lo que el orden de cualquier cubierta abierta es 0.
Cualquier cubierta abierta dada del círculo unitario tendrá un refinamiento que consistirá en una colección de arcos abiertos . El círculo tiene dimensión uno, según esta definición, porque cualquier cobertura de este tipo puede refinarse aún más hasta el punto en que un punto dado x del círculo esté contenido en como máximo dos arcos abiertos. Es decir, cualquiera que sea el conjunto de arcos con el que comencemos, algunos pueden descartarse o reducirse, de modo que el resto aún cubra el círculo pero con superposiciones simples.
De manera similar, cualquier cubierta abierta del disco unitario en el plano bidimensional se puede refinar de modo que cualquier punto del disco esté contenido en no más de tres conjuntos abiertos, mientras que dos en general no son suficientes. La dimensión de cobertura del disco es por tanto dos.
De manera más general, el espacio euclidiano de n dimensiones tiene una dimensión de cobertura n .
La dimensión de cobertura de un espacio normal X es si y sólo si para cualquier subconjunto cerrado A de X , si es continuo, entonces hay una extensión de a . Aquí está la esfera n -dimensional .
Teorema de Ostrand sobre la dimensión coloreada. Si X es un espacio topológico normal y = { U α } es una cobertura localmente finita de X de orden ≤ n + 1, entonces, para cada 1 ≤ i ≤ n + 1, existe una familia de conjuntos abiertos disjuntos por pares i = { V i , α } se contrae , es decir, Vi , α ⊆ U α , y juntos cubren X. [5]
Relaciones con otras nociones de dimensión
Para un espacio paracompacto X , la dimensión de cobertura se puede definir de manera equivalente como el valor mínimo de n , de modo que cada cubierta abierta de X (de cualquier tamaño) tenga un refinamiento abierto con orden n + 1. [6] En particular, esto se cumple para todos los espacios métricos.
Teorema de cobertura de Lebesgue. La dimensión de cobertura de Lebesgue coincide con la dimensión afín de un complejo simplicial finito .
La dimensión de cobertura de un espacio de Hausdorff paracompacto es mayor o igual a su dimensión cohomológica (en el sentido de haces ), [7] es decir, uno tiene para cada haz de grupos abelianos en y cada uno mayor que la dimensión de cobertura de .
En un espacio métrico , se puede fortalecer la noción de multiplicidad de una cobertura: una cobertura tiene r -multiplicidad n + 1 si cada r -bola se cruza con como máximo n + 1 conjuntos en la cobertura. Esta idea conduce a las definiciones de dimensión asintótica y dimensión de Assouad-Nagata de un espacio: un espacio con dimensión asintótica n es n -dimensional "a grandes escalas", y un espacio con dimensión de Assouad-Nagata n es n -dimensional "en cada escala".
^ Lebesgue, Henri (1921). "Sur les correspondencias entre les point de deux espaces" (PDF) . Fundamenta Mathematicae (en francés). 2 : 256–285. doi :10.4064/fm-2-1-256-285.
^ Duda, R. (1979). "Los orígenes del concepto de dimensión". Coloquio Mathematicum . 42 : 95-110. doi : 10.4064/cm-42-1-95-110 . SEÑOR 0567548.
^ Lebesgue 1921.
^ Kuperberg, Krystyna , ed. (1995), Obras completas de Witold Hurewicz, Sociedad Matemática Estadounidense, Serie de obras completas, vol. 4, Sociedad Estadounidense de Matemáticas, pág. xxiii, nota al pie 3, ISBN9780821800119, el descubrimiento de Lebesgue llevó más tarde a E. Čech a introducir la dimensión de cobertura.
^ Ostrand 1971.
^ Proposición 3.2.2 de Engelking, Ryszard (1978). Teoría de las dimensiones (PDF) . Biblioteca de Matemáticas de Holanda Septentrional. vol. 19. Amsterdam-Oxford-Nueva York: Holanda Septentrional. ISBN 0-444-85176-3. SEÑOR 0482697.
^ Godement 1973, II.5.12, pág. 236
Referencias
Edgar, Gerald A. (2008). "Dimensión topológica". Medida, topología y geometría fractal . Textos de Pregrado en Matemáticas (Segunda ed.). Springer-Verlag . págs. 85-114. ISBN 978-0-387-74748-4. SEÑOR 2356043.
Engelking, Ryszard (1978). Teoría de las dimensiones (PDF) . Biblioteca de Matemáticas de Holanda Septentrional. vol. 19. Amsterdam-Oxford-Nueva York: Holanda Septentrional. ISBN 0-444-85176-3. SEÑOR 0482697.
Godement, Roger (1958). Topologie algébrique et théorie des faisceaux . Publicaciones del Institut de Mathématique de l'Université de Strasbourg (en francés). vol. III. París: Hermann. SEÑOR 0102797.
Ostrand, Phillip A. (1971). "Dimensión cubriente en espacios generales". Topología general y aplicaciones . 1 (3): 209–221. SEÑOR 0288741.
Otras lecturas
Histórico
Karl Menger , Espacios generales y espacios cartesianos , (1926) Comunicaciones a la Academia de Ciencias de Ámsterdam. Traducción al inglés reimpresa en Classics on Fractals , Gerald A.Edgar, editor, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
Karl Menger , Teoría de las dimensiones , (1928) Editorial BG Teubner, Leipzig.
VV Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory , que aparece en Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volumen 17, General Topology I , (1993) AV Arkhangel'skii y LS Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlín ISBN 3-540-18178- 4 .
