En geometría hiperbólica , una horósfera (o parasfera ) es una hipersuperficie específica en el espacio n hiperbólico . Es el límite de una horobola , el límite de una secuencia de bolas crecientes que comparten (en un lado) un hiperplano tangente y su punto de tangencia. Para n = 2, una horósfera se denomina horociclo .
Una horósfera también puede describirse como el límite de las hiperesferas que comparten un hiperplano tangente en un punto dado, ya que sus radios tienden hacia el infinito. En geometría euclidiana, una "hiperesfera de radio infinito" sería un hiperplano, pero en geometría hiperbólica es una horósfera (una superficie curva).
El concepto tiene sus raíces en una noción expresada por FL Wachter en 1816 en una carta a su maestro Gauss . Al señalar que en la geometría euclidiana el límite de una esfera cuando su radio tiende al infinito es un plano, Wachter afirmó que incluso si el quinto postulado fuera falso, habría sin embargo una geometría en la superficie idéntica a la del plano ordinario. [1] Los términos horósfera y horociclo se deben a Lobachevsky , quien estableció varios resultados que mostraban que la geometría de los horociclos y la horósfera en el espacio hiperbólico eran equivalentes a las de las líneas y el plano en el espacio euclidiano. [2] El término "horobola" se debe a William Thurston , quien lo utilizó en su trabajo sobre 3-variedades hiperbólicas . Los términos horósfera y horobola se utilizan a menudo en la geometría hiperbólica tridimensional.
En el modelo de bola conforme , una horósfera se representa mediante una esfera tangente a la esfera del horizonte. En el modelo del semiespacio superior , una horósfera puede aparecer como una esfera tangente al plano del horizonte o como un plano paralelo al plano del horizonte. En el modelo hiperboloide , una horósfera se representa mediante un plano cuya normal se encuentra en el cono asintótico.
Una horosfera tiene una cantidad crítica de curvatura (isotrópica): si la curvatura fuera mayor, la superficie se cerraría, produciendo una esfera, y si la curvatura fuera menor, la superficie sería un hiperciclo de ( N − 1) dimensión .