De manera equivalente, el modelo de semiplano de Poincaré a veces se describe como un plano complejo donde la parte imaginaria (la coordenada y mencionada anteriormente) es positiva.
Este modelo se puede generalizar para modelar un espacio hiperbólico dimensional reemplazando el número real x por un vector en un espacio vectorial euclidiano de n dimensiones.
donde s mide la longitud a lo largo de una línea (posiblemente curva). Las líneas rectas en el plano hiperbólico ( geodésicas para este tensor métrico, es decir, curvas que minimizan la distancia) se representan en este modelo mediante arcos circulares perpendiculares al eje x (semicírculos cuyos centros están en el eje x ) y rayos verticales rectos perpendiculares al eje x .
Cálculo de distancia
Si y son dos puntos en el semiplano y es el reflejo de a través del eje x en el semiplano inferior, la distancia entre los dos puntos bajo la métrica del plano hiperbólico es:
donde es la distancia euclidiana entre puntos y es el seno hiperbólico inverso , y es la tangente hiperbólica inversa . Se puede considerar que esta fórmula proviene de la longitud de la cuerda en la métrica de Minkowski entre puntos en el modelo hiperboloide , análoga a encontrar la longitud del arco en una esfera en términos de la longitud de la cuerda. Se puede considerar que esta fórmula proviene de la distancia euclidiana en el modelo del disco de Poincaré con un punto en el origen, análoga a encontrar la longitud del arco en la esfera tomando una proyección estereográfica centrada en un punto y midiendo la distancia euclidiana en el plano desde el origen. al otro punto.
Si los dos puntos y están en una línea hiperbólica (semicírculo euclidiano) que cruza el eje x en los puntos ideales y la distancia de a es:
una línea paralela al eje x , en este caso el centro es el punto ideal en .
Sinopsis euclidiana
Un círculo euclidiano con centro y radio representa:
cuando el círculo está completamente dentro del semiplano un círculo hiperbólico con centro
y radio
cuando el círculo está completamente dentro del semiplano y toca el límite, un horociclo centrado alrededor del punto ideal
cuando el círculo corta el límite ortogonal una línea hiperbólica
cuando el círculo corta el límite no ortogonal se produce un hiperciclo.
Construcciones con compás y regla
Así es como se pueden utilizar construcciones con compás y regla en el modelo para lograr el efecto de las construcciones básicas en el plano hiperbólico . [2]
Por ejemplo, cómo construir el semicírculo en el semiplano euclidiano que modela una línea en el plano hiperbólico que pasa por dos puntos dados.
Creando la línea a través de dos puntos existentes
Dibuja el segmento de línea entre los dos puntos. Construye la mediatriz del segmento de recta. Encuentra su intersección con el eje x . Dibuja el círculo alrededor de la intersección que pasa por los puntos dados. Borre la parte que está en o debajo del eje x .
O en el caso especial en el que los dos puntos dados se encuentran en una línea vertical, dibuje esa línea vertical a través de los dos puntos y borre la parte que está en o debajo del eje x .
Creando el círculo a través de un punto con centro en otro punto.
Si los dos puntos no están en una línea vertical:
Dibuja la línea radial (semicírculo) entre los dos puntos dados como en el caso anterior. Construye una tangente a esa línea en el punto no central. Coloque una perpendicular desde el punto central dado al eje x . Encuentra la intersección de estas dos líneas para obtener el centro del círculo modelo. Dibuja el círculo modelo alrededor de ese nuevo centro y pasando por el punto no central dado.
Si los dos puntos dados se encuentran sobre una recta vertical y el centro dado está por encima del otro punto dado:
Dibuja un círculo alrededor de la intersección de la línea vertical y el eje x que pasa por el punto central dado. Dibuja una línea horizontal a través del punto no central. Construye la tangente al círculo en su intersección con esa línea horizontal.
El punto medio entre la intersección de la tangente con la línea vertical y el punto no central dado es el centro del círculo modelo. Dibuja el círculo modelo alrededor de ese nuevo centro y pasando por el punto no central dado.
Si los dos puntos dados se encuentran en una recta vertical y el centro dado está debajo del otro punto dado:
Dibuja un círculo alrededor de la intersección de la línea vertical y el eje x que pasa por el punto central dado. Traza una recta tangente a la circunferencia que pasa por el punto no central dado. Dibuja una línea horizontal que pase por ese punto de tangencia y encuentra su intersección con la línea vertical.
El punto medio entre esa intersección y el punto no central dado es el centro del círculo modelo. Dibuja el círculo modelo alrededor de ese nuevo centro y pasando por el punto no central dado.
Dado un círculo, encuentre su centro (hiperbólico)
Coloque una p perpendicular desde el centro euclidiano del círculo hasta el eje x .
Sea el punto q la intersección de esta recta y el eje x .
Traza una recta tangente a la circunferencia que pasa por q .
Dibuja el semicírculo h con centro q pasando por el punto donde se unen la tangente y el círculo.
El centro (hiperbólico) es el punto donde h y p se cruzan. [3]
Otras construcciones
Creando el punto que es la intersección de dos líneas existentes, si se cruzan:
Encuentra la intersección de los dos semicírculos dados (o líneas verticales).
Creando uno o dos puntos en la intersección de una línea y un círculo (si se cruzan):
Encuentra la intersección del semicírculo dado (o línea vertical) con el círculo dado.
Creando uno o dos puntos en la intersección de dos círculos (si se cruzan):
Encuentra la intersección de los dos círculos dados.
Grupos de simetría
El grupo lineal proyectivo PGL(2, C ) actúa sobre la esfera de Riemann mediante las transformaciones de Möbius . El subgrupo que mapea el semiplano superior, H , sobre sí mismo es PSL(2, R ), las transformadas con coeficientes reales, y éstas actúan transitiva e isométricamente sobre el semiplano superior, convirtiéndolo en un espacio homogéneo .
Hay cuatro grupos de Lie estrechamente relacionados que actúan en el semiplano superior mediante transformaciones lineales fraccionarias y preservan la distancia hiperbólica.
El grupo lineal especial SL(2, R ) que consta del conjunto de matrices de 2×2 con entradas reales cuyo determinante es igual a +1. Tenga en cuenta que muchos textos (incluida Wikipedia) suelen decir SL(2, R ) cuando en realidad quieren decir PSL(2, R ).
El grupo S*L(2, R ) que consta del conjunto de matrices de 2×2 con entradas reales cuyo determinante es igual a +1 o −1. Tenga en cuenta que SL(2, R ) es un subgrupo de este grupo.
El grupo PS * L(2, R ) = S * L(2, R )/{± I }=PGL(2, R ) es nuevamente un grupo proyectivo, y nuevamente, módulo más o menos la matriz identidad. PSL(2, R ) está contenido como un subgrupo normal de índice dos, siendo la otra clase lateral el conjunto de matrices de 2×2 con entradas reales cuyo determinante es igual a −1, módulo más o menos la identidad.
La relación de estos grupos con el modelo de Poincaré es la siguiente:
The group of all isometries of H, sometimes denoted as Isom(H), is isomorphic to PS*L(2,R). This includes both the orientation preserving and the orientation-reversing isometries. The orientation-reversing map (the mirror map) is .
The group of orientation-preserving isometries of H, sometimes denoted as Isom+(H), is isomorphic to PSL(2,R).
Important subgroups of the isometry group are the Fuchsian groups.
One also frequently sees the modular group SL(2,Z). This group is important in two ways. First, it is a symmetry group of the square 2x2 lattice of points. Thus, functions that are periodic on a square grid, such as modular forms and elliptic functions, will thus inherit an SL(2,Z) symmetry from the grid. Second, SL(2,Z) is of course a subgroup of SL(2,R), and thus has a hyperbolic behavior embedded in it. In particular, SL(2,Z) can be used to tessellate the hyperbolic plane into cells of equal (Poincaré) area.
Note that the action is transitive: for any , there exists a such that . It is also faithful, in that if for all then g = e.
The stabilizer or isotropy subgroup of an element is the set of which leave z unchanged: gz = z. The stabilizer of i is the rotation group
Since any element is mapped to i by some element of , this means that the isotropy subgroup of any z is isomorphic to SO(2). Thus, . Alternatively, the bundle of unit-length tangent vectors on the upper half-plane, called the unit tangent bundle, is isomorphic to .
The geodesics for this metric tensor are circular arcs perpendicular to the real axis (half-circles whose origin is on the real axis) and straight vertical lines ending on the real axis.
La geodésica de velocidad unitaria que sube verticalmente, a través del punto i, está dada por
Debido a que PSL(2, R ) actúa transitivamente mediante isometrías del semiplano superior, esta geodésica se mapea en las otras geodésicas mediante la acción de PSL(2, R ). Por lo tanto, la geodésica general de velocidad unitaria está dada por
La métrica del modelo en el semiespacio viene dada por
donde s mide la longitud a lo largo de una línea posiblemente curva. Las rectas en el espacio hiperbólico ( geodésicas para este tensor métrico, es decir, curvas que minimizan la distancia) se representan en este modelo mediante arcos circulares normales al plano z = 0 (semicírculos cuyo origen está en z = 0 - plano) y rayos verticales rectos normales al plano z = 0 .
La distancia entre dos puntos medida en esta métrica a lo largo de dicha geodésica es:
El modelo en n dimensiones.
Este modelo se puede generalizar para modelar un espacio hiperbólico dimensional reemplazando el número real x por un vector en un espacio vectorial euclidiano de n dimensiones.
^ "Fórmula de distancia para puntos en el modelo de semiplano de Poincaré en una" geodésica vertical"". intercambio de pila de matemáticas. 6 de agosto de 2015 . Consultado el 19 de septiembre de 2015 .
^ Bochaca, Judit Abardía. "Herramientas para trabajar con el modelo Semiplano". Herramientas para trabajar con el modo Medio Plano . Consultado el 25 de junio de 2015 .
^ Flavors of Geometry, MSRI Publications, volumen 31, 1997, Hyperbolic Geometry, JW Cannon, WJ Floyd, R. Kenyon y WR Parry, página 87, Figura 19. Construcción del centro hiperbólico de un círculo
Henri Poincaré (1882) "Théorie des Groupes Fuchsiens", Acta Mathematica v.1, p. 1. Primer artículo de una serie que explota el modelo de semiplano. Una copia archivada está disponible gratuitamente. En la página 52 se puede ver un ejemplo de los diagramas de semicírculo tan característicos del modelo.
Jürgen Jost , Superficies compactas de Riemann (2002), Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 3-540-43299-X (Ver Sección 2.3) .
Saul Stahl, El semiplano de Poincaré , Jones y Bartlett, 1993, ISBN 0-86720-298-X .
John Stillwell (1998) Números y geometría , págs. 100-104, Springer-Verlag, Nueva York ISBN 0-387-98289-2 . Una introducción elemental al modelo de semiplano de Poincaré del plano hiperbólico.