Transformación de Cayley

Operación matemática

En matemáticas , la transformada de Cayley , llamada así por Arthur Cayley , es cualquiera de un conjunto de cosas relacionadas. Como la describió originalmente Cayley (1846), la transformada de Cayley es una aplicación entre matrices antisimétricas y matrices ortogonales especiales . La transformada es una homografía utilizada en análisis real , análisis complejo y análisis cuaterniónico . En la teoría de los espacios de Hilbert , la transformada de Cayley es una aplicación entre operadores lineales (Nikolski 1988).

Homografía real

Un ejemplo simple de una transformada de Cayley se puede realizar en la línea proyectiva real . La transformada de Cayley aquí permutará los elementos de {1, 0, −1, ∞} en secuencia. Por ejemplo, asigna los números reales positivos al intervalo [−1, 1]. Por lo tanto, la transformada de Cayley se utiliza para adaptar polinomios de Legendre para su uso con funciones en los números reales positivos con funciones racionales de Legendre .

Como homografía real , los puntos se describen con coordenadas proyectivas y el mapeo es

${\displaystyle [y,\ 1]=\left[{\frac {x-1}{x+1}},\ 1\right]\thicksim [x-1,\ x+1]=[x,\ 1]{\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}.}$

Homografía compleja

Transformada de Cayley del semiplano complejo superior al disco unitario

En la mitad superior del plano complejo , la transformada de Cayley es: ^{[1] [2]}

${\displaystyle f(z)={\frac {z-i}{z+i}}.}$

Dado que se asigna a , y las transformaciones de Möbius permutan los círculos generalizados en el plano complejo , asigna la línea real al círculo unitario . Además, dado que es un homeomorfismo y se lleva a 0 por , el semiplano superior se asigna al disco unitario . ${\displaystyle \{\infty ,1,-1\}}$ ${\displaystyle \{1,-i,i\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f}$

En términos de los modelos de geometría hiperbólica , esta transformada de Cayley relaciona el modelo de semiplano de Poincaré con el modelo de disco de Poincaré .

En ingeniería eléctrica, la transformada de Cayley se ha utilizado para mapear un semiplano de reactancia al diagrama de Smith utilizado para la adaptación de impedancia de líneas de transmisión.

Homografía de cuaterniones

En el espacio cuatridimensional de los cuaterniones , los versores ${\displaystyle a+b{\vec {i}}+c{\vec {j}}+d{\vec {k}}}$

${\displaystyle u(\theta ,r)=\cos \theta +r\sin \theta }$Forman la unidad 3-esfera .

Como los cuaterniones no son conmutativos, los elementos de su línea proyectiva tienen coordenadas homogéneas escritas para indicar que el factor homogéneo se multiplica por la izquierda. La transformación de cuaterniones es ${\displaystyle U[a,b]}$

${\displaystyle f(u,q)=U[q,1]{\begin{pmatrix}1&1\\-u&u\end{pmatrix}}=U[q-u,\ q+u]\sim U[(q+u)^{-1}(q-u),\ 1].}$

Las homografías reales y complejas descritas anteriormente son instancias de la homografía de cuaternión donde es cero o , respectivamente. Evidentemente, la transformación toma y toma . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \pi /2}$ ${\displaystyle u\to 0\to -1}$ ${\displaystyle -u\to \infty \to 1}$

Evaluando esta homografía en los mapas del versor en su eje: ${\displaystyle q=1}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle f(u,1)=(1+u)^{-1}(1-u)=(1+u)^{*}(1-u)/|1+u|^{2}.}$

Pero ${\displaystyle |1+u|^{2}=(1+u)(1+u^{*})=2+2\cos \theta ,\quad {\text{and}}\quad (1+u^{*})(1-u)=-2r\sin \theta .}$

De este modo ${\displaystyle f(u,1)=-r{\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}=-r\tan {\frac {\theta }{2}}.}$

De esta forma, la transformada de Cayley se ha descrito como una parametrización racional de la rotación: Sea la identidad del número complejo ^[3] ${\displaystyle t=\tan \phi /2}$

${\displaystyle e^{-i\varphi }={\frac {1-ti}{1+ti}}}$

donde el lado derecho es la transformada de y el lado izquierdo representa la rotación del plano en radianes negativos. ${\displaystyle ti}$ ${\displaystyle \phi }$

Inverso

Dejar desde ${\displaystyle u^{*}=\cos \theta -r\sin \theta =u^{-1}.}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\-u&u\end{pmatrix}}\ {\begin{pmatrix}1&-u^{*}\\1&u^{*}\end{pmatrix}}\ =\ {\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}\ \sim \ {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\ ,}$

donde la equivalencia está en el grupo lineal proyectivo sobre cuaterniones, la inversa de es ${\displaystyle f(u,1)}$

${\displaystyle U[p,1]{\begin{pmatrix}1&-u^{*}\\1&u^{*}\end{pmatrix}}\ =\ U[p+1,\ (1-p)u^{*}]\sim U[u(1-p)^{-1}(p+1),\ 1].}$

Dado que las homografías son biyecciones , asigna los cuaterniones vectoriales a la 3-esfera de los versores. Como los versores representan rotaciones en el 3-espacio, la homografía produce rotaciones desde la bola en . ${\displaystyle f^{-1}(u,1)}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Mapa de matriz

Entre n × n matrices cuadradas sobre los números reales , con I la matriz identidad, sea A cualquier matriz antisimétrica (de modo que A ^T  = − A ).

Entonces I  +  A es invertible y la transformada de Cayley

${\displaystyle Q=(I-A)(I+A)^{-1}\,\!}$

produce una matriz ortogonal , Q (de modo que Q ^T Q  = I ). La multiplicación de matrices en la definición de Q anterior es conmutativa, por lo que Q se puede definir alternativamente como . De hecho, Q debe tener determinante +1, por lo que es ortogonal especial. ${\displaystyle Q=(I+A)^{-1}(I-A)}$

Por el contrario, sea Q cualquier matriz ortogonal que no tenga −1 como valor propio ; entonces

${\displaystyle A=(I-Q)(I+Q)^{-1}\,\!}$

es una matriz antisimétrica. (Véase también: Involución .) La condición sobre Q excluye automáticamente las matrices con determinante −1, pero también excluye ciertas matrices ortogonales especiales.

Sin embargo, cualquier matriz de rotación (ortogonal especial) Q se puede escribir como

${\displaystyle Q={\bigl (}(I-A)(I+A)^{-1}{\bigr )}^{2}}$

para alguna matriz antisimétrica A ; de manera más general, cualquier matriz ortogonal Q puede escribirse como

${\displaystyle Q=E(I-A)(I+A)^{-1}}$

para alguna matriz A antisimétrica y alguna matriz diagonal E con ±1 como entradas. ^[4]

También se observa una forma ligeramente diferente, ^{[5] [6]} que requiere diferentes asignaciones en cada dirección,

${\displaystyle {\begin{aligned}Q&=(I-A)^{-1}(I+A),\\[5mu]A&=(Q-I)(Q+I)^{-1}.\end{aligned}}}$

Las asignaciones también pueden escribirse con el orden de los factores invertido; ^{[7] [8]} sin embargo, A siempre conmuta con (μ I  ±  A ) ⁻¹ , por lo que el reordenamiento no afecta la definición.

Ejemplos

En el caso 2×2, tenemos

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&\tan {\frac {\theta }{2}}\\-\tan {\frac {\theta }{2}}&0\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}.}$

Se excluye la matriz de rotación de 180°, − I , aunque es el límite cuando tan  ^θ ⁄ ₂ tiende a infinito.

En el caso 3×3, tenemos

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\frac {1}{K}}{\begin{bmatrix}w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}&2(xy-wz)&2(wy+xz)\\2(xy+wz)&w^{2}-x^{2}+y^{2}-z^{2}&2(yz-wx)\\2(xz-wy)&2(wx+yz)&w^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\end{bmatrix}},}$

donde K  =  w ²  +  x ²  +  y ²  +  z ² , y donde w  = 1. Esto lo reconocemos como la matriz de rotación correspondiente al cuaternión.

${\displaystyle w+\mathbf {i} x+\mathbf {j} y+\mathbf {k} z\,\!}$

(según una fórmula que Cayley había publicado el año anterior), excepto que se escala de modo que w  = 1 en lugar de la escala habitual de modo que w ²  +  x ²  +  y ²  +  z ²  = 1. Por lo tanto, el vector ( x , y , z ) es el eje unitario de rotación escalado por tan  ^θ ⁄ ₂ . Nuevamente se excluyen las rotaciones de 180°, que en este caso son todas Q que son simétricas (de modo que Q ^T  = Q ).

Otras matrices

Se puede extender la aplicación a matrices complejas sustituyendo " unitario " por "ortogonal" y " hemihermítico " por "hemisimétrico", con la diferencia de que la transpuesta (· ^T ) se reemplaza por la transpuesta conjugada (· ^{H ). Esto es coherente con la sustitución del} producto interno real estándar por el producto interno complejo estándar. De hecho, se puede extender la definición aún más con opciones de adjuntos que no sean transpuesta o transpuesta conjugada.

Formalmente, la definición sólo requiere cierta invertibilidad, por lo que se puede sustituir por Q cualquier matriz M cuyos valores propios no incluyan −1. Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-a&ab-c\\0&0&-b\\0&0&0\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\begin{bmatrix}1&2a&2c\\0&1&2b\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Nótese que A es antisimétrico (respectivamente, antihermítico) si y solo si Q es ortogonal (respectivamente, unitario) sin valor propio −1.

Mapa del operador

Una versión de dimensión infinita de un espacio de producto interno es un espacio de Hilbert , y ya no se puede hablar de matrices . Sin embargo, las matrices son meras representaciones de operadores lineales , y estos se pueden utilizar. Por lo tanto, generalizando tanto la aplicación matricial como la aplicación del plano complejo, se puede definir una transformada de Cayley de operadores. ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}U&{}=(A-\mathbf {i} I)(A+\mathbf {i} I)^{-1}\\A&{}=\mathbf {i} (I+U)(I-U)^{-1}\end{aligned}}}$

Aquí el dominio de U , dom  U , es ( A + i I ) dom  A . Véase el operador autoadjunto para más detalles.

Véase también

• Transformación bilineal
• Extensiones de operadores simétricos

Referencias

1. Robert Everist Green y Steven G. Krantz (2006) Teoría de funciones de una variable compleja , página 189, Estudios de posgrado en matemáticas n.° 40, American Mathematical Society ISBN  9780821839621
2. Erwin Kreyszig (1983) Matemáticas avanzadas de ingeniería , 5.ª edición, página 611, Wiley ISBN 0471862517 
3. Véase la fórmula del semiángulo tangente
4. Gallier, Jean (2006). "Observaciones sobre la representación de Cayley de matrices ortogonales y sobre la perturbación de la diagonal de una matriz para hacerla invertible". arXiv : math/0606320 .
   Como lo describe Gallier, el primero de estos resultados es una variante agudizada de Weyl, Hermann (1946). The Classical Groups (2.ª ed.). Princeton University Press. Lema 2.10.D, pág. 60.

   El segundo apareció como ejercicio en Bellman, Richard (1960). Introducción al análisis matricial . Publicaciones SIAM. §6.4, ejercicio 11, págs. 91–92.

5. Golub, Gene H. ; Van Loan, Charles F. (1996), Cálculos matriciales (3.ª ed.), Johns Hopkins University Press , ISBN 978-0-8018-5414-9
6. F. Chong (1971) "Una nota geométrica sobre la transformada de Cayley", páginas 84,5 en Un espectro de matemáticas: ensayos presentados a HG Forder , editor de John C. Butcher , Auckland University Press
7. Courant, Richard ; Hilbert, David (1989), Métodos de física matemática , vol. 1 (1.ª edición en inglés), Nueva York: Wiley-Interscience, págs. 536, 7, ISBN 978-0-471-50447-4Capítulo VII, §7.2
8. Howard Eves (1966) Teoría de matrices elementales , § 5.4A Construcción de matrices ortogonales reales de Cayley, páginas 365-7, Allyn & Bacon
9. Rudin 1991, pag. 356-357 §13.17.

• Sterling K. Berberian (1974) Lecciones de análisis funcional y teoría de operadores , Textos de posgrado en matemáticas n.° 15, páginas 278, 281, Springer-Verlag ISBN 978-0-387-90081-0 
• Cayley, Arthur (1846), "Sur quelques propriétés des determinantes gauches", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 32 (2): 119–123, doi :10.1515/crll.1846.32.119, ISSN  0075-4102; reimpreso como artículo 52 (págs. 332–336) en Cayley, Arthur (1889), The collected mathematics papers of Arthur Cayley, vol. I (1841–1853), Cambridge University Press , págs. 332–336
• Lokenath Debnath y Piotr Mikusiński (1990) Introducción a los espacios de Hilbert con aplicaciones , página 213, Academic Press ISBN 0-12-208435-7 
• Gilbert Helmberg (1969) Introducción a la teoría espectral en el espacio de Hilbert , página 288, § 38: La transformada de Cayley, Matemáticas Aplicadas y Mecánica #6, North Holland
• Nikolski, Nikolai Kapitonovich (1988), "Cayley transform", en Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics , vol. 2, Kluwer, pág. 80, doi :10.1007/978-94-009-6000-8, ISBN 978-94-009-6002-2; Traducido del ruso Vinogradov, Ivan Matveevich , ed. (1977), Matematicheskaya Entsiklopediya , Moscú: Sovetskaya Entsiklopediya
• Henry Ricardo (2010) Una introducción moderna al álgebra lineal , página 504, CRC Press ISBN 978-1-4398-0040-9 . 
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .